Corioliskraft

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Ein Hurrikan, der unter Beteiligung der Corioliskraft entsteht

Die Corioliskraft [kɔrjoˈliːskraft][1] ist eine Trägheitskraft.

In einem rotierenden Bezugssystem, zum Beispiel auf einer sich drehenden Scheibe, kann festgestellt werden, dass sich ein Körper nicht gleichförmig geradlinig entsprechend dem zweiten Newtonschen Gesetz bewegt, sondern senkrecht zur Bewegungsrichtung abgelenkt wird. Diese Ablenkung wird durch die Coriolisbeschleunigung verursacht und als Wirkung einer seitlich einwirkenden Kraft, der Corioliskraft gedeutet. Ebenso stellt man bei einer im rotierenden Bezugssystem geradlinigen Bewegung fest, dass eine Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung aufgebaut werden muss, die aber zu keiner Geschwindigkeitsänderung führt. Diese Kraft ist der Corioliskraft entgegengesetzt und hat den gleichen Betrag. Im Unterschied zu den beiden anderen Trägheitskräften in rotierenden Bezugssystemen, der Zentrifugalkraft und der Eulerkraft, wirkt die Corioliskraft nur auf Körper, die sich im rotierenden Bezugssystem bewegen.

Da die Coriolisbeschleunigung senkrecht zur Bewegungsrichtung steht, bleibt der Betrag der Geschwindigkeit im rotierenden Bezugssystem konstant, es ändert sich nur ihre Richtung. Als Corioliseffekt wird jede Erscheinung bezeichnet, die durch die Corioliskraft entsteht.

Auf der rotierenden Erde wird der Einfluss der Corioliskraft bei großräumigen Phänomenen deutlich erkennbar, wie z. B. in der Meteorologie bei der Drehrichtung der Windfelder um Hoch- und Tiefdruckgebiete und bei der Ausbildung erdumspannender Windsysteme wie der Passatwinde und des Jetstreams. In der Ozeanographie beeinflusst die Corioliskraft maßgeblich die Meeresströmungen. Die verbreitete These, dass sie auch für die Drehrichtung des Strudels in der Badewanne und im Spülbecken verantwortlich sei, trifft hingegen nicht zu.

Diese Trägheitskraft wurde erstmals 1775 von Pierre-Simon Laplace abgeleitet. Sie wird aber nach Gaspard Gustave de Coriolis benannt, der sie in einer 1835 erschienenen Publikation ausführlich behandelte.

Einführung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bewegung eines Körpers vom Mittelpunkt einer rotierenden Scheibe ohne Reibung nach außen; oben: im ruhenden Bezugssystem bewegt sich der Körper gleichförmig geradlinig; unten: im mitrotierenden Bezugssystem (Scheibe) bewegt sich der Körper auf einer spiralförmig gekrümmten Bahn.

In einem bekannten Demonstrationsexperiment zum Corioliseffekt lässt man eine Kugel vom Mittelpunkt aus über eine rotierende Scheibe rollen. Nach dem Anstoßen rollt die Kugel, wenn man sie von außerhalb der Scheibe beobachtet, geradlinig; sie bewegt sich auf Grund ihrer Trägheit gleichförmig. Im realen Experiment wird sie von der Scheibe etwas in Drehrichtung mitgenommen.[2] Wird die Kugel geworfen statt gerollt lässt sich dieser Effekt vermeiden. Auf der Scheibe hingegen, also im rotierenden Bezugssystem, wird die Kugel im zur Scheibendrehung entgegengesetzten Sinn abgelenkt und beschreibt eine deutlich gekrümmte Bahn. Die seitliche Abweichung, von außen betrachtet der Weg des roten Punkts in der Animation, wird im rotierenden Bezugsystem mit der tangentialen Komponente der Coriolisbeschleunigung erklärt, die von der radialen Geschwindigkeit abhängt.

Ganz allgemein berechnet sich die die Coriolisbeschleunigung nach der Formel

.

Der vorliegende Artikel folgt dieser heute in der Physik gebräuchlichen Definition des Vorzeichens.[3] In der Formel bezeichnen die vektorielle Winkelgeschwindigkeit der Rotation des Bezugssystems, deren Betrag angibt, wie schnell das Bezugssystem rotiert, und deren Richtung die Drehachse ist. Die Geschwindigkeit, mit der sich der Körper im rotierenden Bezugssystem bewegt, wird mit bezeichnet.

In Analogie zum zweiten Newtonschen Gesetz wird in der Physik für die Beschleunigung eine dazu proportionale Kraft angenommen, die Corioliskraft, die das Produkt aus der Masse des Körpers und der Coriolisbeschleunigung ist:[4]

Diese Kraft ist eine Trägheitskraft und tritt nur im rotierenden Bezugssystem auf. Da sich aber für diese Kraft keine physikalische Ursache findet und auch kein anderer Körper, auf den sie zurückwirkt, wird sie auch als fiktive Kraft oder Scheinkraft bezeichnet. Die Verknüpfung beider Größen kann durch das Kreuzprodukt mit dem Symbol ausgedrückt werden. Die drei Vektoren bilden dabei ein Rechtssystem. Zu seiner didaktischen Veranschaulichung kann man die sogenannte „Drei-Finger-Regel“ benutzen.

Die Richtung des resultierenden Vektors ist sowohl senkrecht zur momentanen Bewegungsrichtung als auch zur Drehachse des Systems. Die Corioliskraft liegt daher stets in einer Ebene senkrecht zur Drehachse, bei Bewegungen parallel zur Drehachse ist sie Null. Schaut man im rotierenden Bezugssystem entgegen der Richtung der Winkelgeschwindigkeit, d. h. senkrecht, auf die Ebene, wird der Körper immer nach rechts abgelenkt.

Zentrifugal- und Corioliskraft beeinflussen die Bewegungsabläufe auf dem „Teufelsrad“

Einen weiteren Versuch gibt es vereinzelt auf Fahrgeschäften zu sehen, bei dem das Trägheitsprinzip erfahrbar gemacht wird. Personen sollen auf einer sich drehenden Scheibe laufen. Bewegen sie sich z. B. geradlinig radial zum Zentrum, sind dafür Kräfte erforderlich, da die Bewegung von außen betrachtet kein Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung ist. Äußere Kraft und Trägheitskräfte sind entgegengesetzt gleich groß; sie bilden ein dynamisches Gleichgewicht. Da die Umfangsgeschwindigkeit der Scheibe auf dem Weg nach innen immer kleiner wird, muss der Läufer eine Kraft entgegen der Drehrichtung aufbringen. Diese Kraft ist entgegengesetzt gleich groß wie die Corioliskraft. Die Corioliskraft kann hier auch als Trägheitswiderstand interpretiert werden. Da die Zentrifugalkraft und die Corioliskraft bei diesen Bedingungen senkrecht aufeinander stehen, könnten sie von den Personen unterschieden werden. Die Scheibe könnte auch überdacht sein und keinen Blick nach außen zulassen. Das Auftreten von äußeren Kräften bei einer gleichförmigen Bewegung ist somit auch der Nachweis, dass man sich nicht in einem Inertialsystem befindet.

Anschauliche Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgenden Überlegungen, die das Phänomen anhand endlicher Intervalle in Zeit und Raum näherungsweise verständlich machen, ergeben im Grenzfall infinitesimal kleiner Intervalle eine exakte Begründung der Corioliskraft.[5][6][7]

Coriolisbeschleunigung bei radialer Bewegung von der Drehachse weg[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ablenkung durch die Corioliskraft bei radialer Bewegung

Auf einer Scheibe steht eine Person im Abstand vom Zentrum (roter Punkt A), und weiter außen im Abstand steht ein Pfahl (roter Punkt 1). Die Person wirft einen Körper mit der Geschwindigkeit zum Pfahl. Wenn die Scheibe ruhen würde, würde der Körper längs der roten Linie fliegen und den Pfahl nach der Zeit treffen. Wenn die Person von der Drehung (oder von deren Wirkung auf freie Bewegungen) nichts weiß, wird sie immer diese geradlinige Bewegung in der Richtung erwarten, in der sie den Körper losgeworfen hat.

Während der geworfene Körper in der Luft ist, dreht sich die Scheibe um den Winkel , wobei die Winkelgeschwindigkeit ist. Die mitbewegte Person legt dabei auf dem Kreisbogen die Strecke zurück (blauer Pfeil) und befindet sich dann am roten Punkt B. Der Pfahl legt auf seinem Kreisbogen eine größere Strecke zurück, weil er weiter außen steht. Er befindet sich dann am roten Punkt 2. Die Differenz der beiden Strecken von Pfahl und Person ist

.

Der Werfer erwartet den geworfenen Körper an dem Ort, an dem der Pfahl sich jetzt befindet, also am Punkt 2 am Ende der gepunkteten geraden roten Linie. Für ihn ist aber der Körper längs der gebogenen gepunkteten roten Linie im Abstand am Pfahl vorbei geflogen.

Das lässt sich von einem „ruhenden“ Beobachter aus, der neben der Drehscheibe steht und keine vom beschleunigten Bezugssystem bedingten Trägheitskräfte zu berücksichtigen hat, so erklären: Der Körper hat sich zunächst mit der werfenden Person auf der rotierenden Scheibe mitbewegt. Er hat also im Moment des Abwurfs eine tangentiale Umlaufgeschwindigkeit und erhält senkrecht dazu die radiale Wurfgeschwindigkeit zusätzlich. Nach dem Abwurf bewegt er sich mit der aus und resultierenden Geschwindigkeit in gerader Linie (rot-blauer Pfeil). In radialer Richtung legt er die Strecke zurück, in tangentialer Richtung die Strecke und erreicht daher die mit dem grünen Kreuz markierte Stelle. Die Strecke in tangentialer Richtung ist genauso lang wie die Strecke, die die Person währenddessen auf ihrem Kreisbogen zurücklegt, denn . Wenn der Körper am grünen Kreuz ankommt, fehlt ihm bis zum Pfahl noch das Wegstück .

Nun wächst mit der Zeit quadratisch an, denn es gilt:

.

Für die mitrotierende Person sieht das aus wie eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Für sie gilt bei gegebener Beschleunigung

.

Somit kann die mitrotierende Person die Abweichung des Körpers von der beabsichtigten Richtung durch die Beschleunigung

erklären. Dies ist die Coriolisbeschleunigung, die in diesem Fall nur tangential gerichtet ist.

Diese Herleitung ist insofern nicht ganz beweiskräftig, als die Stücke auf den Kreisbögen wie Geraden behandelt wurden. Das ist im Grenzfall infinitesimal kleiner Strecken aber exakt. Daher ist die so erhaltene Formel gültig.

Coriolisbeschleunigung bei Kreisbewegung um die Drehachse herum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ganz allgemein ist zur Beibehaltung einer Kreisbewegung im Abstand mit der beliebigen Geschwindigkeit eine Beschleunigung in Richtung Mittelpunkt erforderlich. Wenn ein rotierender Körper im Inertialsystem die Geschwindigkeit hat, ergibt sich als die Zentripetalbeschleunigung, die bei allen Kreisbewegungen auftritt und durch die Zentripetalkraft bewirkt wird.

Bewegt sich ein Körper mit der Geschwindigkeit (Relativgeschwindigkeit) in einem Bezugssystem, das eine Rotationsbewegung mit der Winkelgeschwindigkeit ausführt, dann ist die Geschwindigkeit des Körpers vom Inertialsystem aus gesehen die Summe aus der Umlaufgeschwindigkeit und der Relativgeschwindigkeit :

.

Für die Zentripetalbeschleunigung des Körpers folgt daraus:

.

Dies ist die Zentripetalbeschleunigung, die im ruhenden Bezugssystem zur betrachteten Bewegung gehört. Sie setzt sich aus drei Termen zusammen. Der erste ist die Zentripetalbeschleunigung die ein Körper erfährt, der mit dem Bezugssystem verbunden ist. Es folgen die Relativbeschleunigung und ein Term, der der Coriolisbeschleunigung entgegengesetzt ist. Das Beispiel zeigt, dass diese Aufteilung vom gewählten Bezugssystem abhängt, also willkürlich ist.[8]

Aufgelöst nach der Radialbeschleunigung im rotierenden Bezugssystem:

.

Der zweite Term ist die Zentrifugalbeschleunigung. Sie ist entgegengesetzt gleich groß wie die Zentripetalbeschleunigung eines Körpers, der mit dem Bezugssystem verbunden ist. Der dritte Term ist die Coriolisbeschleunigung.

Keine Coriolisbeschleunigung bei Bewegung parallel zur Drehachse[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Bewegung eines Körpers parallel zur Rotationsachse ruft keine Corioliskraft hervor, denn zu ihrer Erklärung sind keine zusätzlichen Kräfte nötig. Z. B. sei der Fall betrachtet, dass auf einer waagerechten Drehscheibe in gewissem Abstand vom Mittelpunkt eine senkrechte Kletterstange steht, an der eine Person herabgleitet. Für sie bleibt die Zentrifugalkraft konstant, weil der Abstand von der Drehachse konstant bleibt. Die zur Wahrung des konstanten Abstands nötige Haltekraft, die von der Stange aufgebracht wird, bleibt dann auch konstant. Für einen ruhenden Beobachter ist die Abwärtsbewegung parallel zur Achse überlagert mit einer Kreisbewegung um die Achse, zusammen ist das eine Schraubenbewegung. Die für die Kreisbewegung um die Achse erforderliche Zentripetalkraft wird von der Stange ausgeübt und ist unabhängig von der Höhe und vertikalen Bewegung des Körpers.

Anders scheint es zunächst auszusehen, wenn man auf der Drehscheibe senkrecht in die Höhe hüpft oder einen Gegenstand parallel zur Drehachse hochwirft. Beim Herabfallen wird nämlich nicht der Ausgangspunkt wieder erreicht – weder in Bezug zu der Scheibe noch in Bezug zum festen Erdboden. Aber auch bei dieser Ablenkung tritt keine Corioliskraft in Erscheinung, sondern nur das zeitweise Fehlen der Haltekraft bzw. Zentripetalkraft, die im vorigen Beispiel die ganze Zeit von der Stange ausgeübt wurde. Der Körper wird dann für den rotierenden Beobachter durch die Zentrifugalkraft nach außen beschleunigt, für den ruhenden Beobachter bewegt er sich einfach geradlinig weiter mit seiner anfänglichen Momentangeschwindigkeit. Beide Beschreibungen führen zum selben Ergebnis.

Herleitung aus den kinematischen Grundgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Herleitung durch Transformation aus einem Inertialsystem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Herleitung der Corioliskraft im Rahmen der Newtonschen Mechanik betrachte man ein Bezugssystem , das sich in einem Inertialsystem befindet und mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit rotiert. Der Koordinatenursprung des Systems sei fest im Inertialsystem verankert, außer der Rotation trete also keine Relativbewegung auf.

Gemäß dem Zweiten Newtonschen Gesetz ist das Produkt aus Masse und Beschleunigung im Inertialsystem gleich der äußeren Kraft  :

Möchte man eine analoge Gleichung in einem rotierenden Bezugssystem aufstellen, müssen die Bewegungsgrößen im Inertialsystem durch Größen, wie sie im rotierenden Bezugssystem zu beobachten sind, ausgedrückt werden. Diese sind der Ortsvektor , die Relativgeschwindigkeit und die Relativbeschleunigung . Die Geschwindigkeit im Inertialsystem setzt sich aus der Relativgeschwindigkeit und der Umlaufgeschwindigkeit aus der Rotationsbewegung zusammen. Dies ergibt sich aus der zeitlichen Ableitung des Ortsvektors , daher gilt:

Da allgemein für die vollständige Ableitung eines Vektors in K' gilt:

,

ergibt sich die Beschleunigung im Inertialsystem in gleicher Weise als zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit .

Die Terme über den geschweiften Klammern sind die Ableitungen der beiden Summanden Relativgeschwindigkeit und Umlaufgeschwindigkeit. Ausmultiplizieren, Zusammenfassen und Auflösen nach der Relativbeschleunigung im rotierenden System ergibt:

Multipliziert man die Gleichung mit der Masse und setzt gemäß dem zweiten Newtonschen Gesetz gleich der äußeren Kraft , erhält man die Bewegungsgleichung im rotierenden Bezugssystem:[9]

In dieser Gleichung finden sich die äußere Kraft, die Zentrifugalkraft und als letzter Term die Corioliskraft wieder:

Fasst man die äußere Kraft und die Trägheitskräfte zu der im rotierenden Bezugssystem wirksamen Kraft zusammen, sind in der Bewegungsgleichung formal äußere Kraft und Trägheitskräfte nicht mehr unterscheidbar:

Herleitung mit dem Lagrange-Formalismus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Lagrange-Formalismus ist die Lagrangefunktion die Differenz aus kinetischer Energie und potentieller Energie. Unter Vernachlässigung eines Potentials ist

Nach den Euler-Lagrange-Gleichungen ist

Da die Euler-Lagrange-Gleichungen invariant unter einer Koordinatentransformation sind, ist irrelevant, ob nach den Größen im bewegten Bezugssystem oder nach den Größen im Inertialsystem abgeleitet wird. Es folgt also im bewegten Bezugssystem für die beiden Terme

und

In die Euler-Lagrange-Gleichung eingesetzt und umgestellt nach ist

die Auflistung aller Kräfte im rotierenden Bezugssystem, die zusätzlich zu den durch das Potential bereits im Inertialsystem bewirkten Kräften auftreten.[10]

Wie in der kinematischen Herleitung ist der erste Term die Eulerkraft, der zweite die Zentrifugalkraft und der letzte Term die Corioliskraft, . Die Gleichung zeigt, dass die Eulerkraft und die Zentrifugalkraft im rotierenden System nur vom Ort des Körpers abhängen, der durch den Ortsvektor angegeben wird, und auch auf einen ruhenden Körper wirken. Die Corioliskraft hingegen wirkt nur auf sich bewegende Körper (Geschwindigkeitsvektor ) und ist vom Ort unabhängig, die Ablenkung erfolgt auf jedem Ort des rotierenden Systems in gleicher Weise.

In der physikalischen Interpretation ist die Eulerkraft diejenige, die einen frei beweglichen, aber ruhenden Körper an seinem Ort zu halten versucht, wohingegen die Zentrifugalkraft ihn von seinem Ort zu entfernen versucht. Die Corioliskraft versucht einen bewegten Körper zu einem bestimmten Ort zurückzuführen.

Da die Corioliskraft die Bedingung für actio und reactio nicht erfüllt und nur im rotierenden Bezugssystem angenommen werden muss, wird sie als eine Trägheitskraft bezeichnet. Formal gilt die Newtonsche Bewegungsgleichung also auch im rotierenden Bezugssystem, wenn Scheinkräfte berücksichtigt werden. Im Gegensatz zur Zentrifugalkraft besteht die Wirkung die Corioliskraft dahingehend, dass der bewegte Körper tendenziell zum Ausgangspunkt der Bewegung zurückgebracht wird.[11]

Da die Corioliskraft immer senkrecht zur Bewegungsrichtung des Körpers steht, verrichtet sie an dem Körper keine Arbeit.[12]

Spezialfälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgenden Spezialfälle gehen von einer konstanten Winkelgeschwindigkeit () aus. In der zuvor hergeleiteten Bewegungsgleichung müssen noch die äußere Kraft, die Zentrifugalkraft und die Corioliskraft berücksichtigt werden.

Bewegung durch Coriolisbeschleunigung erklärbar[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist die Bewegung z. B. durch Zwangsbedingungen auf die Oberfläche eines Körpers beschränkt und kompensieren sich äußere Kraft und die Zentrifugalkraft , so erhält man:

Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit wird nur die Komponente der Relativgeschwindigkeit in einer Ebene senkrecht zur Drehachse betrachtet. Die Relativbewegung in dieser Ebene kann ausschließlich mit der Coriolisbeschleunigung erklärt werden. Da die Beschleunigung immer senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor gerichtet ist, ergibt sich eine gleichförmige Kreisbewegung mit dem Radius :

Der Kreis wird mit der doppelten Winkelgeschwindigkeit entgegen der Drehrichtung des Bezugssystems durchlaufen. Der Radius ergibt sich zu:

Diese Bedingungen sind beim Experiment mit einem rotierenden Paraboloid zu erreichen (siehe Visualisierung des Corioliseffekts), treten aber auch auf der Erde näherungsweise bei Meeresströmungen auf.

Paraboloid[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schematisch: Harmonische Schwingung auf einer parabolischen Schale. Die Krümmung ist übertrieben.

Die reibungsfreie Bewegung eines Körpers, der radial vom Rand eines Pararoloids mit dem Querschnitt:

losgelassen wird, kann näherungsweise mit der Differentialgleichung:

beschrieben werden. Dabei ist die Ordinate der erzeugenden Parabel beim Radius und die Erdbeschleunigung. Bei der Herleitung der Differentialgleichung wird berücksichtigt, dass parallel zur Oberfläche ausschließlich der Hangabtrieb wirkt.

Die Lösung dieser Differentialgleichung ist eine harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz .

.

Rotiert die Schale mit der zur Form passenden Winkelgeschwindigkeit ,[13] so ist die Periode der Schwingung exakt gleich der Dauer für einen Umlauf der Schale.

Die Schwingung im Inertialsystem ergibt im rotierenden System die oben erläuterten Kreise, wobei die Relativgeschwindigkeit aus Gründen der Energieerhaltung konstant bleibt. Im angenommenen Beispiel ist die Schwingung von oben betrachtet eine geradlinige Bewegung. Im rotierenden System wird die Bewegung dagegen als Kreis mit dem halben Radius der Schale wahrgenommen.

Die Bewegung im rotierenden System erhält man durch Koordinatentransformation in kartesischen Koordinaten:

.
.

Der Winkel bezeichnet den Winkel, um den das rotierende System gegen das Inertialsystem um die Drehachse verdreht ist. Mit aus der Lösung der Schwingungsgleichung des angenommenen Beispiels ergibt sich mit :

.
.

Mit den Produktformeln der Trigonometrie ergibt sich schließlich ein Kreis in Parameterdarstellung:

.

Wird dem Körper zu Beginn noch eine tangentiale Geschwindigkeit mit oder gegen den Drehsinn der Schale erteilt, ergeben sich von außen betrachtet Ellipsen. Da die Größe der im rotierenden System beobachteten Kreise von der Relativgeschwindigkeit abhängt, werden kleine Kreise erzielt, wenn der Umlaufsinn der Ellipse derjenigen der Schale entspricht.

Scheibenexperiment[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Experiment demonstriert den Einfluss der Coriolisbeschleunigung in einem rotierenden Bezugssystem. Es wird der Idealfall behandelt, bei dem zwischen dem Körper, der sich vom Mittelpunkt radial nach außen bewegt, und der Scheibe keine Kräfte wirken, wie z. B. bei einem geworfenen Ball. Der Körper bewegt sich daher von außen betrachtet gleichförmig geradlinig, wobei nur die Bewegung in der Scheibenebene betrachtet wird. Die Relativgeschwindigkeit bezüglich der Scheibe ist dann die Differenz zwischen der als konstant angenommenen Geschwindigkeit des Körpers im Inertialsystem und der Umlaufgeschwindigkeit der Scheibe: . Die beiden Terme sind zugleich auch die Komponenten der Relativgeschwindigkeit in radialer () und tangentialer () Richtung: , .

Die nach innen gerichtete Corioliskraft auf Grund der tangentialen Geschwindigkeit ist doppelt so groß wie die nach außen gerichtete Zentrifugalkraft.

Beide radial gerichteten Scheinkräfte addieren sich zur Kraft :

Sie ist genauso groß wie diejenige Kraft, die benötigt würde, wenn der Körper mit der Scheibe fest verbunden wäre.

Die Bewegungsgleichung im rotierenden Bezugssystem vereinfacht sich damit zu:

Der erste Term führt zu einer gleichförmigen Kreisbewegung. Der zweite Term ist die Corioliskraft auf Grund der radialen Geschwindigkeit und beinhaltet die Beschleunigung, die zur Steigerung der Umfangsgeschwindigkeit erforderlich ist. Die Überlagerung der Kreisbewegung mit einer konstanten Radiusvergrößerung ergibt eine Archimedische Spirale.

Da der Vektor der Winkelgeschwindigkeit senkrecht zur Scheibe steht, kann mit den Beträgen der Vektoren gerechnet werden. Die seitliche Abweichung an der Stelle mit dem Radius berechnet sich mit der Coriolisbeschleunigung zu:

.

Da sich der Körper auf der Scheibe nach der Zeit im Abstand vom Mittelpunkt befindet und sich die Scheibe um den Winkel gedreht hat, ist die seitliche Abweichung somit gleich der dazu gehörenden Bogenlänge. Soll ein mit der Scheibe verbundener Punkt erreicht werden, muss also mit dem gleichen Winkel vorgehalten werden.

Unabhängig von der Zeit ist die geometrische Bahn gegeben in Polarkoordinaten:

.

Teufelsrad[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei einer gleichförmigen Bewegung im rotierenden Bezugssystem ist die Relativbeschleunigung Null.

.

Diese Gleichung beschreibt das „dynamische Gleichgewicht“ zwischen der äußeren Kraft und den beiden Trägheitskräften Zentrifugalkraft und Corioliskraft. Beim Versuch, sich radial auf das Zentrum der Scheibe zuzubewegen, stehen Zentrifugalkraft und Corioliskraft senkrecht aufeinander und könnten daher unterschieden werden. Neben dem Spaßfaktor werden so auch Erfahrungen mit der Trägheit vermittelt.

Visualisierung des Corioliseffekts auf der Erde[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Objekt, das sich reibungsfrei über die Oberfläche eines Paraboloids bewegt. Blick von oben auf das Paraboloid.[14]
links: Elliptische Bewegung von außen betrachtet. rechts: Kreisförmige Bewegung gegen den Drehsinn der Schale im rotierenden System.

Ein Experiment, das die Corioliskraft als alleinigen Grund für einen Effekt demonstriert, ist nicht leicht zu realisieren. Während sich Luft- und Reibungswiderstand weitgehend unterdrücken lassen, unterliegt ein bewegter Körper auf einer flachen Drehscheibe immer der gemeinsamen Wirkung von Zentrifugal- und Corioliskraft.

Die isolierte Wirkung der Corioliskraft lässt sich auf einer Schale demonstrieren die mit einer Flüssigkeit gefüllt wird, die an der Luft aushärtet, während die Schale mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit rotiert; auf diese Weise stellt sich physikalisch ein Rotationsparaboloid[15] ein, das eine äquipotentiale Oberfläche besitzt.[13]

Auf der ruhenden Paraboloid-Schale wird ein Körper, der auf eine beliebige nichtzentrale Stelle gesetzt wird, auf Grund der Hangabtriebskraft eine harmonische Schwingung ausführen, die durch den Tiefstpunkt der Scheibe geht. Wenn die Schale jedoch mit derjenigen Winkelgeschwindigkeit rotiert, die bei der Paraboloid-Beschichtung verwendet wurde, wird er an seinem Ort verbleiben, da die Resultierende aus Gewichtskraft und Zentrifugalkraft senkrecht zur Oberfläche steht. Bewegt sich der Körper auf der rotierenden Schale, so beschreibt er im Idealfall einen Kreis („Inertial-Kreis“), dessen Drehrichtung der Drehbewegung der Schale entgegengesetzt ist, und der ausschließlich durch die Corioliskraft verursacht wird.

Das Experiment auf dem Paraboloid kann als Modell für Trägheitsbewegungen auf der Erde dienen. Der Erdkörper ist zwar im Gegensatz zur Schale konvex gekrümmt, hat aber im Laufe der Erdgeschichte durch Massenverlagerung angenähert die Form eines Rotationsellipsoids angenommen.[16] Die Schwerkraft an seiner Oberfläche resultiert aus dem Zusammenwirken von Gravitation und Zentrifugalkraft: die Resultierende steht senkrecht zur Oberfläche.[17]

Corioliskraft aufgrund der Erdrotation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bewegung auf der Erdoberfläche und Coriolisparameter[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aufteilung der Winkelgeschwindigkeit der Erde in Horizontal- und Vertikalkomponente auf der geographischen Breite
Der Coriolisparameter auf der Erde in Abhängigkeit vom Breitengrad

Jedes Objekt, das sich auf der Erde bewegt, wird durch die Coriolisbeschleunigung abgelenkt, da die Erde ein rotierendes System darstellt. Ausgenommen sind lediglich Bewegungen parallel zur Erdachse, z. B. an den Polen die vertikalen Bewegungen nach oben oder nach unten, am Äquator die horizontalen Bewegungen genau nach Norden oder nach Süden. Die Beeinflussung der Bewegungsrichtung durch die Coriolisbeschleunigung kann man sich am leichtesten an einer kugelförmigen Erdfigur klarmachen; für das Studium von Bewegungsabläufen unter dem Einfluss der beteiligten Kräfte ist ein genaueres Modell der Erdform heranzuziehen (vgl. Visualisierung des Corioliseffekts auf der Erde).

Für die Betrachtung von Bewegungen in beliebiger geographischer Breite ist es sinnvoll, den Vektor der Winkelgeschwindigkeit der Erde in eine horizontale Komponente in Süd-Nord-Richtung und eine vertikale Komponente zu zerlegen. Es gilt dann:

Zur Berechnung der Corioliskraft bei horizontalen Bewegungen ist es vorteilhaft, die für einen Ort in einer bestimmten geographischen Breite konstanten Werte zu einem Coriolisparameter zusammenzufassen:

Die Erdrotation (eine Umdrehung in 23 Stunden 56 Minuten 4 Sekunden = 1 Sterntag = 86164 s) erfolgt mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit[18] von

.

In mittleren nördlichen Breiten liegt der Coriolisparameter damit in der typischen Größenordnung von .

Körper die sich horizontal mit der Geschwindigkeit bewegen – also parallel zur Oberfläche der Erde – werden durch die Coriolisbeschleunigung seitlich und die Coriolisbeschleunigung senkrecht zur Erdoberfläche abgelenkt:

Die horizontale Beschleunigung spielt in den höheren geographischen Breite eine wichtigere Rolle, während äquatornah hauptsächlich nur die vertikale Beschleunigung bei Bewegungen in Ost-West-Richtung wirksam ist.

Horizontale Bewegungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Corioliskraft bei Bewegungen relativ zur Erdoberfläche:
Eine Geschwindigkeit nach Osten führt auf der Nordhalbkugel zu einer Beschleunigung nach Süden, eine Geschwindigkeit senkrecht nach oben zu einer Ablenkung nach Westen

Mit dem Coriolisparameter hat die Coriolisbeschleunigung bei Bewegungen mit der Geschwindigkeit den Betrag:

Diese Beschleunigung führt auf der Nordhalbkugel zu einer Richtungsänderung der Bewegung nach rechts, auf der Südhalbkugel nach links. Sie verschwindet am Äquator und ist maximal an den Polen.

Teilt man die Geschwindigkeit in Komponenten in Richtung Ost bzw. Nord auf, so ergeben die entsprechenden Komponenten der Coriolisbeschleunigung durch Ausführung des Kreuzprodukts in den Koordinatenrichtungen x=O, y=N zu:

Die Beschleunigungen, die sich bei einem Coriolisparameter von ergeben, sind sehr gering. Selbst bei einem Geschütz, dessen Projektil eine horizontale Geschwindigkeit von 1000 m/s besitzt, ergibt sich: . Bei einer Entfernung von 40 km errechnet sich mit den angenommenen Werten eine Abweichung von lediglich 80 m. Wesentlich größere Effekte treten bei meteorologischen Phänomenen auf, bei denen eine äußerst geringe Beschleunigung sehr lang andauert.

Bei Bewegungen in Drehrichtung der Erde, d. h. nach Osten, bewirkt der Einfluss der vertikalen Komponente der Coriolisbeschleunigung theoretisch außerhalb der engeren Polargebiete eine leichte Anhebung, bei Bewegungen in die andere Himmelsrichtung eine leichte Absenkung; dieser Effekt wird als Eötvös-Effekt bezeichnet.[19]

Nord-Süd-gerichtete Bewegungen werden nicht vertikal beeinflusst. Dieser Effekt ist aber meist vernachlässigbar, da sich die gleichgerichtete Schwerebeschleunigung wesentlich stärker bemerkbar macht. Die Vertikalkomponente der Corioliskraft spielt in der Praxis nur als Korrekturglied bei Präzisionsmessungen des Erdschwerefeldes eine Rolle. Sie verschwindet an den Polen und ist maximal am Äquator. Sie macht z. B. ein Flugzeug, das dort mit einer Geschwindigkeit von ca. 1000 km/h nach Osten fliegt, um annähernd ein Tausendstel seines Gewichts leichter – fliegt es nach Westen, wird es entsprechend schwerer. Daher bezeichnet man bei der Beschreibung der rein horizontalen Ozean- oder Luftströmungen als „Corioliskraft“ oft nur deren horizontale Komponente. Für sie gilt, wie für das oben erläuterte Beispiel der horizontalen Drehscheibe, dass die Corioliskraft stets senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkt und dass ihre Stärke nicht von der Bewegungsrichtung abhängt.

Corioliskraft und Foucaultsches Pendel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Corioliskraft bewirkt auf der Nordhalbkugel die Drehung des Schwingungsebene des Foucaultschen Pendels im Uhrzeigersinn, da das Pendel ständig nach rechts abgelenkt wird. Die geringfügigen Abweichungen der einzelnen Schwingungen addieren sich auf zu einer täglichen Gesamtabweichung von für ein Foucault-Pendel in der geographischen Breite , so dass bereits die Abweichung der Einzelschwingung einen experimentellen Beweis für die Rotation der Erde darstellt.[20] Am Pol dreht sich die Schwingungsebene pro Tag einmal um 360 Grad und nimmt mit dem Sinus der geografischen Breite zum Äquator hin auf Null ab. Auf der Südhalbkugel ändert sich das Vorzeichen des Sinus und das Pendel dreht sich gegen den Uhrzeigersinn. Allgemein gilt für die Zeit einer vollständige Drehung der Schwingungsebene:

.

Einfluss der Corioliskraft auf Strömungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einfluss der Corioliskraft auf die Wasserströmungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Beta-Effekt: Die Änderung der Corioliskraft mit der geographischen Breite bedingt eine leicht spiralförmige Erweiterung des Inertialkreises
Großräumige ozeanische Strömungen entstehen unter Beteiligung der Corioliskraft

Die Corioliskraft hat wesentlichen Einfluss auf die Richtungen der großräumigen Bewegungen in den Ozeanen, sowohl direkt als auch durch den Einfluss des ebenfalls corioliskraftgesteuerten Windes. Da die Corioliskraft von der Himmelsrichtung einer horizontalen Bewegung unabhängig ist, beschreibt eine Luft- oder Wassermasse, die sich im Bezugssystem der Erde mit der Geschwindigkeit bewegt, ohne Einfluss anderer Kräfte „Trägheitskreise“ mit Radien von:

In mittleren Breiten mit Werten des Coriolisparameters von und einer typischen Meeres-Strömungsgeschwindigkeit von ergibt sich ein Radius von Die Bewegung erfolgt auf der Nordhalbkugel im Uhrzeigersinn, auf der Südhalbkugel entgegen dem Uhrzeigersinn. Die Periode der Umlaufbewegung ist:

Bei 60 Grad geographischer Breite beträgt die Periode rund 14 Stunden. An den Polen liegt das Minimum mit 11 Stunden 58 Minuten 2 Sekunden (die halbe siderische Tageslänge), während die Periode zum Äquator hin gegen unendlich geht, sodass in den inneren Tropen keine Trägheitskreise vorkommen. Die Corioliskraft bestimmt auch den Umlaufsinn der Gezeitenwelle im tiefen Ozean, was entlang einer Küste zu unterschiedlichen Hoch- und Niedrigwasserzeiten führt.[21]

Wegen der Breitenabhängigkeit des Coriolisparameters sind die „Trägheitskreise“ keine Kreise im mathematischen Sinn, sondern nur in erster Näherung, da sie polseitig einen kleineren Radius haben als äquatorseitig. Daraus ergibt sich eine leichte Spiralform, als deren Resultat die bewegte Masse nicht genau zum Ausgangspunkt zurückgeführt, sondern etwas nach Westen versetzt wird; diese Modifikation der Trägheitskreise wird „Beta-Effekt“ genannt. Die Bewegung auf Trägheitskreisen konnte durch die Beobachtung der Strömungsversetzung von schwimmenden Bojen in der Ostsee verifiziert werden.[22] Wenn die Trägheitsbewegung als Rotation von einer großräumigen Meeresströmung als Translation überlagert wird, ergibt sich ein zykloidales Bewegungsmuster.[23]

An der Grenzfläche von Atmosphäre und Ozean tritt sowohl in der Luft wie auch im Wasser eine turbulente Grenzschicht auf. Im Ozean sorgt die turbulente Grenzschicht in ihrer gesamten Ausdehnung für eine Durchmischung des Mediums. An der Grenzschicht übt ein Wind mit vorherrschender Richtung durch Reibung eine bestimmte Schubspannung aus, die eine Wasserströmung in gleicher Richtung in Gang setzt (Ekman-Transport). Diese wird jedoch durch die Corioliskraft auf der Nordhemisphäre nach rechts, auf der Südhemisphäre nach links abgelenkt. Eine Folge dieser Ablenkung ist das sogenannte „Ekman pumping“, das beispielsweise im zentralen und östlichen Pazifik zu beobachten ist.[24] Das Oberflächenwasser, das im Bereich konstanter Passatwinde aus östlichen Richtungen nach Westen getrieben wird, wird in Äquatornähe auf der Nordhemisphäre nach rechts, auf der Südhemisphäre nach links abgelenkt; diese Divergenz wird durch aufquellendes kühleres Tiefenwasser ausgeglichen, so dass sich ein äquatorparalleler Streifen von kühlerer Wassertemperatur zeigt.[23][25]

Inertialkreise behindern die horizontale Wasserbewegung, die durch den Aufstieg des Objekts verursacht wird, wenn sich das System in Rotation befindet.

Die derart erzeugte Strömung des Oberflächenwassers wird zusätzlich durch die darunter liegende Wasserschicht gebremst, wobei sich die Geschwindigkeit wie auch die von ihr abhängende Corioliskraft vermindern. Dieser Bremseffekt pflanzt sich so weit bis zu einer bestimmten Tiefe (Ekman-Tiefe) nach unten fort, bis die Strömung völlig abgebremst ist. Bis dorthin wirkt ebenfalls – zunehmend abgeschwächt – die Corioliskraft, so dass sich insgesamt eine spiralartige Struktur ausbildet (Korkenzieherströmung). Auch die großräumigen Bewegungen im Ozean (Sverdrup-Relation) werden wesentlich durch die Corioliskraft beeinflusst.

Allgemein wird der Einfluss der Corioliskraft auf bestimmte Bewegungen im Meer und in der Atmosphäre durch die dimensionslose Rossby-Zahl charakterisiert. Je kleiner diese ist, umso stärker ist die Bewegung durch Corioliskraft geprägt.

Die Drehrichtung kleinräumiger Wasserströmungen wie zum Beispiel des Strudels einer ablaufenden Badewanne werden entgegen einer verbreiteten Behauptung nicht durch die Corioliskraft bestimmt.[26][27][28]

Die Wirkung der Corioliskraft wird auch durch Experimente in kleinem Maßstab demonstriert, die Geoffrey Ingram Taylor 1921 erstmals publizierte. Die Verteilung einer kleinen Menge einer Flüssigkeit in einer anderen, mit der sie vollständig mischbar ist, von der sie sie aber durch bestimmte Parameter unterscheidet, kann unterdrückt werden, wenn sich die andere Flüssigkeit in einer Rotationsbewegung befindet. So bildet zugefügte Tinte in einem rotierenden Wasserbehälter eine säulenartige Struktur aus („Taylor-Säule“), die längere Zeit bestehen bleibt. Der Grund liegt darin, dass sich die diffundierenden Teilchen in Inertialkreisen gegensinnig zur Behälterrotation drehen.[29]

Ein Tennisball, der in einem rotierenden Wasserbehälter freigesetzt wird, steigt mit geringerer Geschwindigkeit auf als in einem nicht rotierendem, da das beim Aufsteigen horizontal unten hinzuströmende bzw. oben verdrängte Wasser durch Bildung von Inertialkreisen in seiner Bewegung behindert wird. Durch diese Experimente wird deutlich, dass die Tendenz der Corioliskraft darin liegt, die bewegten Teilchen wieder zum Anfangspunkt zurückzubringen.[30]

Einfluss der Corioliskraft auf die atmosphärische Zirkulation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Geostrophischer Wind durch Zusammenwirken von Gradientkraft und Corioliskraft [31][32]
Ageostrophischer Wind durch Zusammenwirken von Gradientkraft , Corioliskraft und Reibungskraft [31][33]

Luftströmungen in der Erdatmosphäre sind im Allgemeinen keine Inertialbewegungen, sondern werden sowohl kleinräumig als auch großräumig durch Druckunterschiede hervorgerufen, die Folge örtlich oder regional unterschiedlicher Einstrahlung sind. Zwischen den Gebieten mit hohem und niedrigen Luftdruck wirkt eine Gradientkraft, die den Druckausgleich herbeiführen kann.

Bei großräumigen Luftströmungen über mehrere Hunderte oder Tausende von Kilometern spielt die Corioliskraft trotz ihrer geringen Größe eine wichtige Rolle, da sie die Luftmassen ablenkt und die direkte Luftbewegung vom Hoch- zum Tief verhindert. In der freien Atmosphäre kann die Corioliskraft die horizontale Komponente der Gradientkraft völlig kompensieren, der Wind wird dadurch zu einer isobarenparallelen Strömung abgelenkt, dem geostrophischen Wind, bei dem sich die zum Tief gerichtete Gradientkraft und die zum Hoch gerichtete Corioliskraft entgegengesetzt die Waage halten. Der Druckausgleich wird dadurch verhindert, und die Druckgebiete bleiben für einige Tage oder Wochen stabil. Ein eindrucksvolles Beispiel geostrophischer Winde stellen die Jetstreams in einigen Kilometern Höhe dar.

In der bodennahen atmosphärischen Grundschicht wirkt jedoch eine beträchtliche Reibungskraft auf die Luftströmung ein, ihr Vektor ist dem Strömungsvektor entgegengerichtet. Diese Reibung, deren Wirkung sich vertikal bis in einige Höhe fortpflanzt, verlangsamt die Strömung und vermindert damit die Größe der Corioliskraft. Für die Strömung ist nunmehr einerseits die ins Tief gerichtete Gradientkraft, andererseits die ins Hoch gerichtete Kraftkomponente, die sich aus der vektoriellen Addition von Reibungskraft und Corioliskraft ergibt, bestimmend. Die ageostrophisch genannte Strömung (Reibungswind) verläuft infolgedessen nicht mehr isobarenparallel, sondern quer zu den Isobaren vom Hoch- ins Tiefdruckgebiet hinein, wie man es auf Bodenwetterkarten erkennen kann.[34]

Mit zunehmender Höhe vermindert sich die Wirkung der Bodenreibung, und der Einfluss der Corioliskraft wird stärker: der Wind nimmt zu und die Windrichtung dreht – auf der Nordhemisphäre – nach rechts, bis in größerer Höhe der Wind einen geostrophischen Charakter angenommen hat. Zwischen Boden und Höhe kommt es dadurch zu einer Windscherung; durch Verbindung der Spitzen der Windvektoren in ansteigender Höhe erhält man eine spiralförmige Kurve (Ekman-Spirale).

Aus dem Zusammenwirken dieser Kräfte erklärt sich auch der Verlauf der Passatwinde, die aus dem Subtropischen Hochdruckgürtel zum äquatorialen Tiefdruckgebiet wehen. Die Corioliskraft lenkt diese Strömung auf beiden Hemisphären zu einer nach Westen gerichteten Ostströmung („Urpassat“) ab; durch den Reibungseinfluss wird daraus in der bodennahen Schicht der Nordhemisphäre der Nord-Ost-Passat und der Südhemisphäre der Süd-Ost-Passat. Der Nord-Ost-Passat ist demnach eine in Bodennähe zum Äquator hin abgelenkte (geostrophische) Ost-West-Strömung und nicht – wie oft auf Skizzen dargestellt – eine nach Westen abgelenkte Nord-Süd-Strömung.

Auswirkung der Corioliskraft auf ein großskaliges Windsystem, hier Tiefdruckgebiet bei Island (Nordhalbkugel)
Entstehungsgebiete und Zugbahnen von tropischen Wirbelstürmen

Die Luft strömt auf der Nordhalbkugel ausnahmslos in Hochdruckgebieten im Uhrzeigersinn, in Tiefdruckgebieten gegen den Uhrzeigersinn. Auf der Südhalbkugel ist der Drehsinn umgekehrt. In Bodennähe verlässt die Luft das Hochdruckgebiet in Form eines rechts drehenden Wirbels, also im Uhrzeigersinn, und strömt gegen den Uhrzeigersinn in das Tiefdruckgebiet ein, wo diese Wirbelbewegung im Allgemeinen durch Wolkenbildung sichtbar wird. Da am Äquator der Vektor der Winkelgeschwindigkeit parallel zur Erdoberfläche liegt, ist dort die horizontale Komponente der Corioliskraft nicht wirksam, dynamische Hoch- und Tiefdruckgebiete können in Äquatornähe nicht existieren. Dies gilt insbesondere für die tropischen Wirbelstürme, die – obwohl am Äquator die thermischen Voraussetzungen vorliegen – erst in einer Distanz von mindestens circa fünf Breitengraden nach Nord bzw. Süd entstehen.

Strahlungsbedingt besteht auf der Erde von den Tropen zu den Polargebieten ein Temperatur- und ein Druckgefälle, wobei der horizontale Gradient jeweils in der oberen Troposphäre besonders ausgeprägt ist. Die Druckabnahme verläuft zum Pol hin nicht gleichmäßig, sondern konzentriert sich am oberen Rand der Troposphäre auf ein relativ schmales Band mit starkem Luftdruckabfall, der auf Höhenwetterkarten durch eine dichte Scharung der Isobaren sichtbar wird. In diesem Bereich stellt sich eine kräftige geostrophische Strömung ein, die sich regional zu den Jetstreams verstärkt. Diese Zone des starken Luftdruckgradienten verläuft nicht breitenkreisparallel, sondern als mehr oder weniger mäandrierende Struktur (Rossby-Wellen) mit Wellenlängen und Amplituden bis zu einigen Tausend Kilometern. Die Wellen bewegen sich, analog zur Richtung der geostrophischen Strömung, langsam von West nach Ost fort, können aber auch längere Zeit stationär bleiben. Durch Massenverlagerungen im Bereich der Rossby-Wellen entstehen auf der Polseite Tiefdruckgebiete (Zyklonen), auf der Äquatorseite Hochdruckgebiete (Antizyklonen), die meist bis zur Erdoberfläche herunterreichen. In diesen dynamischen, zirkulären Druckgebilden herrscht jeweils ein Gleichgewicht aus Gradient-, Zentrifugal- und Corioliskraft. Während die ersten beiden Kräfte für ein Druckgebiet jeweils als konstant angesehen werden können, ist die Corioliskraft in diesen räumlich ausgedehnten (≥ 1000 km) Druckgebieten auf der Polarseite größer als auf der Äquatorseite. Infolgedessen scheren die Zyklonen im statistischen Mittel tendenziell in polarer Richtung aus, die Antizyklonen in äquatorialer Richtung. Dadurch bildet sich nördlich der polaren Frontalzone die subpolare Tiefdruckzone und südlich davon der subtropische Hochdruckgürtel. Insoweit bestimmt die Corioliskraft nicht nur den Verlauf der atmosphärischen Luftströmungen, sondern auch die Verteilung der großräumigen Druckgebiete auf der Erde.[35][36]

Das geostrophische Gleichgewicht formt nur die großskaligen Wettermuster. Auf die Drehrichtung von kleinräumigen Tiefdruckgebieten, beispielsweise von Tornados, hat die Corioliskraft keinen wesentlichen Einfluss, da in diesen die anderen wirksamen Kräfte größenmäßig die Corioliskraft weit überwiegen.[37] Das wird schon daran deutlich, dass in Tornados auf der Nordhemisphäre auch Drehungen mit dem Uhrzeigersinn möglich sind.

Vertikale Bewegungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn ein Körper aus der Höhe im freien Fall herunterfällt, trifft er nicht genau auf dem Punkt auf, der sich vom Startpunkt aus in Lotrichtung unter ihm befindet, sondern er wird während der Fallzeit von der Coriolisbeschleunigung abgelenkt. Da die Vektoren senkrecht aufeinander stehen, ergibt das Kreuzprodukt in einem kartesischen Koordinatensystem mit x=Ost eine Ostablenkung:

Die Abweichung wird am Äquator () maximal und ist an den Polen () Null. Mit Einsetzung von für den freien Fall erhält man eine Abweichung nach Osten durch zweimalige Integration nach der Zeit :

Mit der Fallzeit erhält man:

Die Ostabweichung führt auf der Nordhalbkugel wiederum zu einer sehr geringen Südabweichung, die aber sowohl am Äquator als auch am Pol Null wird. Auf der Südhalbkugel wäre entsprechend eine Nordabweichung zu erwarten:

Das Gedankenexperiment von Mersenne[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Historische Karikatur zum Experiment von Mersenne

Eine alte Frage, über die schon im 17. Jhdt. Marin Mersenne spekulierte, ist die, wo eine senkrecht nach oben geschossene Kanonenkugel wieder am Boden ankommt – ohne Berücksichtigung von Luftbewegung und Luftwiderstand.

Die vertikale Geschwindigkeit der Kanonenkugel folgt während des Flugs dem Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz:

Eingesetzt in die Ostkomponente der Coriolisbeschleunigung entsteht durch die Integration der Beschleunigung beim Aufstieg eine westliche Geschwindigkeitskomponente (negative Ostkomponente), die im Umkehrpunkt ihr Maximum erreicht und beim Abstieg gleichermaßen wieder abnimmt. Unten erreicht sie wieder den Wert Null.

,

bzw. durch nochmalige Integration die Ablenkung:

Die Kugel hat nach der Zeit den Boden wieder erreicht. Der gesamte Versatz nach Westen ergibt sich zu:

.

Aufstieg und Abstieg tragen jeweils zur Hälfte zur gesamten Abweichung bei. Bei 50° geographischer Breite beträgt bei einer Anfangsgeschwindigkeit von 100 m/s (Steighöhe ca. 500 m) die Westweichung theoretisch 65 cm. Am Äquator ist der Versatz am größten, zwischen Nord- und Südhalbkugel gibt es keinen Unterschied.

Zur Plausibilisierung dient das folgende Beispiel, das von der vereinfachten Vorstellung ausgeht, dass die horizontale Geschwindigkeit beibehalten wird. Da sich die Erde während der vertikalen Bewegung weiterdreht, ist das nur aber nur näherungsweise der Fall. Bei korrekter Rechnung ist die Abweichung um den Faktor 2/3 geringer.

In Äquatornähe wird neben einem Turm aus einer Kanone eine Kugel senkrecht nach oben abgefeuert, so dass sie die Höhe der Turmspitze erreicht. Turm und Kanone sind mit der Erde fest verbunden und rotieren vom extraterrestrischen Inertialsystem (IS) aus gesehen mit der Winkelgeschwindigkeit ; die Bahngeschwindigkeit an der Turmspitze ist jedoch um größer als an der Erdoberfläche. Die abgefeuerte Kugel hat zu Beginn neben ihrer Vertikalgeschwindigkeit die Bahngeschwindigkeit der Erdoberfläche und möchte diese auf ihrem Weg beibehalten.

Da die Kugel während des gesamten Fluges eine geringere horizontale Geschwindigkeit, also eine geringere Ostkomponente als ein Punkt des Turms auf der gleichen Höhe hat, weicht sie gegenüber der Senkrechten immer stärker nach Westen ab bis zur Distanz am Umkehrpunkt.

Auch während des anschließenden Freien Falls behält die Kugel weiterhin ihre horizontale Geschwindigkeit bei, sodass die Kugel gegenüber dem Turm zunehmend weiter westlich zurückbleibt. Am Fußpunkt angelangt stimmen die horizontalen Geschwindigkeiten aller Körper wieder überein. Da der Freie Fall genau so lange dauert wie der Aufstieg, beträgt die Gesamtabweichung . Eine Kugel, die zum Vergleich während des Umkehrzeitpunkts an der Turmspitze freigesetzt wird, startet mit der horizontalen Geschwindigkeit der Turmspitze und behält diese bis zum Fußpunkt bei, so dass sie gegenüber dem Fußpunkt nach Osten abweicht (siehe „Vertikale Bewegungen“).[38] Abseits des Äquators muss durch ersetzt werden.

Synoptische Übersicht über die Ablenkungsrichtungen auf der Erde[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ausdrücke für die Komponenten der Coriolisbeschleunigung gelten für den gesamten Erdkörper in gleicher Weise. Die Richtungsangaben sind vom Standort des Beobachters in seiner jeweiligen geographischen Breite aus gesehen. Die mittlere Spalte beschreibt den Eötvös-Effekt.

Auf der Südhemisphäre ist der vertikale Vektor dem entsprechenden Vektor der Nordhemisphäre genau entgegengesetzt. Daraus resultiert für den Beobachter auf der Südhemisphäre bei horizontalen Bewegungen eine Abweichung nach links.

Beim senkrechten Wurf nach oben zeigt sich eine Ablenkung nach West. Beim Wurf mit anschließendem Freien Fall dürfen jedoch beide Ablenkungsrichtungen nicht nacheinander addiert werden; dieser Fall wird im Kapitel „Das Gedankenexperiment von Mersenne“ abgehandelt.

Ablenkung durch die Coriolisbeschleunigung auf der Erde in Abhängigkeit von der geographischen Breite
Geographische
Breite φ
horizontale Bewegung
(in jede Richtung)
horizontale Bewegung
(nach Ost / West)
vertikale Bewegung
(Freier Fall)
horizontale Ablenkung vertikale Ablenkung horizontale Ablenkung
Gleichung Richtung Gleichung Richtung Gleichung Richtung
Nordpol (90°N) rechts
Nordhemisphäre
(0° < φ < 90°N)
rechts oben / unten Ost
Äquator (0°) oben / unten Ost
Südhemisphäre
(0° < φ < 90°S)
links oben / unten Ost
Südpol (90°S) links

Koordinatensysteme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Coriolisbeschleunigung erfährt ein Körper, der sich in einem rotierenden Bezugssystem bewegt. Dafür gilt allgemein die Formel: . In einigen typischen Koordinatendarstellungen bei rotierenden Systemen stellen sich die Formeln so dar:

Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten geografische Koordinaten

Dabei ist

  • die Winkelgeschwindigkeit des Bezugssystems und
  • der Geschwindigkeitsvektor der Bewegung des Körpers, relativ zum rotierenden Bezugssystem, und dabei bezeichnen
    • bei den Zylinderkoordinaten der Index die Komponente parallel zur Rotationsachse und die Indizes und die radiale und tangentiale Komponente senkrecht zur Rotationsachse,
    • bei den Kugelkoordinaten der Index den Abstand zum Ursprung und die Indizes und den Azimut- und Polarwinkel,
    • bei den geografischen Koordinaten der Index den Abstand zur Kugeloberfläche und die Indizes und die geografische Breite und Länge.

Wenn die Bewegung in einer Ebene senkrecht zur Drehachse stattfindet, ist der Winkel zwischen dem Geschwindigkeitsvektor und dem Winkelgeschwindigkeitsvektor 90°. Anstatt einer Berechnung des Kreuzprodukts des Geschwindigkeits- und Winkelgeschwindigkeitsvektors kann zur Bestimmung der Stärke der Corioliskraft mit deren Beträgen gerechnet werden und es gilt:

Corioliskraft in der Technik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Prinzip eines Drehratensensors. Bei einer rotierten Stimmgabel bewegen sich die Zinken zusätzlich zur normalen Bewegung seitlich aneinander vorbei. Diese Bewegung beruht auf der Corioliskraft.

Corioliskräfte sind in der Technik dann von Bedeutung, wenn eine Drehbewegung von einer zweiten Bewegung „überlagert“ wird. Dies ist beispielsweise bei einem Roboter der Fall, der sich dreht und gleichzeitig seinen Greifarm ausfährt.

  • Wenn eine Last am Ausleger eines Krans nach innen oder außen fährt, während der Kran sich dreht, hängt sie aufgrund der Corioliskraft nicht senkrecht nach unten, sondern wird seitlich ausgelenkt. Wird die Last längs des Auslegers nach innen eingefahren, eilt sie der Drehung des Krans voraus.
  • In der Getriebetechnik (Koppelgetriebe) und in der Robotik spielen die Corioliskräfte eine Rolle, da auch hier gleichzeitige Bewegungen entlang mehrerer Freiheitsgrade erfolgen. Benutzt man zur Vereinfachung der Beschreibung rotierende Bezugssysteme, treten für Bewegungen in diesen Bezugssystemen Corioliskräfte auf.
  • Zur Messung des Massenstromes durchströmender Flüssigkeiten oder Gase verwendet man den Coriolis-Massendurchflussmesser. Das Messrohr wird in Schwingungen versetzt. Diese werden im Ein- und Auslauf gemessen und verglichen.[39] Bei der Corioliswaage wird vor allem Schüttgut durch die Messung der Änderung des benötigten Drehmoments eines Rotortellers vermessen.[40]
  • Bei Kreiselpumpen wird das Medium vom meist axial gelegenen Ansaugkanal durch das Pumpenrad in Rotation versetzt und durch die Zentrifugalkraft nach außen zum Ausgang geschleudert. Dabei übt das Medium Corioliskräfte auf das Pumpenrad aus, wodurch sich ein Bremsmoment für den Antrieb ergibt. Die effektiv aufgewendete Energie der Pumpe ist also etwa proportional zum radial verlaufenden Massenstrom, dem Radius des Pumpenrades und der Drehzahl (Verwirbelungen, Rückströmungen und Reibung außer Acht gelassen).
  • Einige Drehratensensoren zur Messung von Winkelgeschwindigkeiten nutzen die Corioliskraft in Form des sogenannten „Stimmgabelprinzips“,[41] das im nebenstehenden Bild erläutert wird. Aufgrund der Drehbewegung bewegen sich die Zinken der Stimmgabel nicht nur aufeinander zu, sondern sie führen zusätzlich seitliche Bewegungen zueinander aus, die durch die Corioliskraft verursacht werden. Die seitliche Auslenkung ist näherungsweise proportional zur Winkelgeschwindigkeit und kann beispielsweise durch eine kapazitive oder induktive Messung erfasst werden.[42]

Didaktische Aspekte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Akademischer Unterricht[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In zahlreichen Lehrbüchern sowie Nachschlagewerken fanden und finden sich bis in die Gegenwart unklare und oft auch falsche Darlegungen zur Corioliskraft, insbesondere was ihre Anwendung auf die Physik der Erde betrifft, zum Beispiel in der Meteorologie und den Geowissenschaften.[43]

Einfache, aber falsche Ableitung des Corioliseffekts aus den Bahngeschwindigkeiten der Erdoberfläche in unterschiedlichen Breiten

Das Modell von George Hadley zur atmosphärischen Zirkulation (1735) hat sich wegen seiner Eingängigkeit bis in die neueste Zeit in vielen Lehrbüchern als ein didaktisches Standardmodell erhalten. Der Kerngedanke ist, dass meridionale Luftströmungen ihre breitenkreisparallele Geschwindigkeitskomponente beibehalten und dadurch bei einer Bewegung, die zum Äquator gerichtet ist, gegenüber der Erdrotation zurückbleiben, woraus sich eine westwärts gerichtete Strömung ergibt. Dies beinhaltet vor allem eine Erklärung des Nord-Ost- bzw. Süd-Ost-Passats, aber auch die vorherrschenden Westwinde nördlich des subtropischen Westwindgürtels. Wegen dieser zumindest im statistischen Mittel richtigen Beschreibung der Strömungsrichtung wird das Hadley-Modell mitunter als gerechtfertigte Vereinfachung angesehen, auch wenn es nur die Ablenkung meridionaler, keinesfalls aber breitenkreisparalleler Bewegungen erklärt.[44]

Hinter dem Hadley-Modell steht das falsche physikalische Konzept einer Erhaltung der breitenkreisparallelen Geschwindigkeit; im quantitativen Resultat führt sie für die Coriolisbeschleunigung zu , ist also um die Hälfte zu klein. Ebenso wird nicht berücksichtigt, dass sich aus dem Hadley-Modell schon auf relativ kleinen Distanzen weniger Breitengrade Windgeschwindigkeiten in völlig unrealistischer Größenordnung ergäben. Der Versuch, das Nichtauftreten solcher Geschwindigkeiten in der Realität mit der Zusatzhypothese einer bremsenden Wirkung der Reibung zu erklären, verlagert das Problem nur auf einen anderen unrealistischen Effekt: Die erforderliche Reibung hätte die Rotation der Erde im Laufe ihrer Geschichte viel stärker abbremsen müssen. Ein Luftströmung, die allein durch die unterschiedlichen Bahngeschwindigkeiten verursacht wäre, würde zu Inertialkreisen führen, die die Luft schon nach relativ kurzen Distanzen in ihrer Richtung umkehren würden. Ein rein mechanisches Modell, das die atmosphärische Zirkulation nur als Inertialbewegung erklärt, wird den tatsächlichen Verhältnissen nicht gerecht.[45] Flohn wies schon 1960 darauf hin, dass ein auf den Hadley-Vorstellungen aufgebautes Zirkulationsmodell mit den gemessenen meteorologischen Daten unvereinbar ist.[36]

Forschungsgeschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seit dem 16. Jahrhundert wurde bei der Diskussion des kopernikanischen Weltbildes über die mögliche Ablenkung von geradlinigen Bewegungen auf der Erde spekuliert. Es waren die Anti-Kopernikaner, die die Eigenrotation der Erde bestritten, unter anderem mit dem Argument, dass ein Körper beim Freien Fall auf einer rotierenden Erde gegen die Erdrotation zurückbleiben müsse, also nach Westen abgelenkt würde; eine solche Ablenkung konnte experimentell aber nicht festgestellt werden.

Dementsprechend lag der Fokus der Diskussion zunächst auf der Ablenkung von vertikalen Bewegungen. Galilei erkannte zutreffend, dass beim Freien Fall eigentlich eine Ostablenkung erscheinen müsste, aber auch diese war seinerzeit experimentell nicht belegbar. Robert Hooke und Isaac Newton erkannten 1679, dass der Freie Fall nicht auf einer geradlinigen Bahn stattfinden kann, sie nahmen dafür eine elliptische Bahn an.[46]

George Hadley betrachtete erstmals großräumige horizontale Bewegungen auf der Erde und formulierte 1735 eine Hypothese für die Entstehung der tropischen Passatwinde auf Grund der Differenz der Umdrehungsgeschwindigkeit der Erde in unterschiedlichen geographischen Breiten.[47]

Leonhard Euler versuchte die Bewegungsgleichungen mathematisch abzuleiten, der Term für die Ablenkung einer gleichförmigen Bewegung war aber noch fehlerhaft.[48][49]

Als eigentlicher „Entdecker“ des Coriolis-Effekts wird zumeist Pierre Simon Laplace genannt, der 1775 das System der Bewegungsgleichungen für die Oberfläche rotierender Planeten ableitete und damit erstmals einen mathematisch korrekten Ausdruck für die ablenkende Kraft fand; jedoch ging er in der physikalischen Interpretation nicht über das Hadley-Modell hinaus.[50][47] Pionierarbeiten zur experimentellen Bestätigung durch Messung der Abweichung von der Lotrichtung lieferten Giovanni Battista Guglielmini (1791) in Bologna, Johann Friedrich Benzenberg (1802) in der Hamburger Michaeliskirche und in einem Bergbau-Schacht im Ruhrgebiet sowie Ferdinand Reich (1832), ebenfalls in einem Bergwerk in Freiberg in Sachsen.[51][52] Trotz starker Streuung stimmten die Resultate von Benzenbergs Versuchen im Mittel mit den Werten, die Laplace und Gauß berechnet hatten, in etwa überein.[19][53] Eine zusätzlich auftretende Südabweichung wurde bereits Mitte des 19. Jahrhunderts in verschiedenen Versuchen festgestellt.[54] Léon Foucault konnte 1851 mit dem nach ihm benannten Pendelversuch auch die horizontale Ablenkung experimentell bestätigen.

Gustave Coriolis analysierte 1835 mathematisch die Bewegung von Maschinenteilen, die sich relativ zu einer Rotation bewegen. Dabei fand er, dass sich die gesamte Trägheitskraft aus der Zentrifugalkraft und einer weiteren, „zusammengesetzten“ Zentrifugalkraft, die eine Ablenkung bewirkt, zusammensetzt.[55] Letztere wurde erst im 20. Jahrhundert als „Corioliskraft“ bezeichnet. Siméon Denis Poisson berechnete daraufhin 1838 die Ablenkung von Artilleriegeschossen. Joseph Bertrand legte 1847 der Pariser Akademie der Wissenschaften eine vereinfachte kinematische Ableitung vor, die später Eingang in zahlreiche Lehrbücher fand. Als erste zuverlässige experimentelle Bestätigung wurde die Ablenkung des Foucault-Pendels (1851) angesehen. William Ferrel betonte 1858, dass im Gegensatz zu den Vorstellungen von George Hadley Luftströmungen zu jeder Himmelsrichtung auf der Nordhalbkugel nach rechts (Südhalbkugel nach links) abgelenkt werden. Ferrel erkannte als Erster die Bewegung auf Inertialkreisen und die Abhängigkeit ihrer Größe sowohl von der Geschwindigkeit der Bewegung als auch von der Breitenlage.[45]

Adolf Sprung begründete 1879 die Ablenkung von breitenkreisparallelen Bewegungen. Er übertrug die für eine rotierende ebene Scheibe geltenden mathematischen Ableitungen auf das System einer parabolisch geformten Fläche, bei welcher der Einfluss der Zentrifugalkraft kompensiert werden kann, sodass der Coriolis-Effekt einer isolierten Betrachtung zugänglich wird.[56] Persson vertritt die Ansicht, dass auch Newton diese Lösung mit seinen Möglichkeiten hätte finden können.[57]

In den 1850er Jahren rückte die Erde als rotierendes System ins Blickfeld der Forschung. Der Naturforscher Karl Ernst von Baer postulierte ein „allgemeines Gesetz“, dass die Täler der großen Tieflandsströme auf der Nordhemisphäre als Ergebnis der Corioliskraft mehrheitlich ein steileres rechtes und ein flacheres linkes Ufer besäßen.[58] Allerdings beschränkte er die Begründung ausdrücklich auf Flüsse in meridionaler Richtung; offensichtlich vorhandene Flussabschnitte mit steilerem linken Ufer erklärte er mit der Wirksamkeit anderer Faktoren. Diese Theorie war unter Geowissenschaftlern allerdings stark umstritten und wurde besonders in den 1920er Jahren in meteorologischen und geowissenschaftlichen Zeitschriften sehr kontrovers diskutiert.[59][60][61] Einerseits wurde die geringe Größe der Corioliskraft ins Feld geführt, andererseits auf die langen Zeiträume der Wirksamkeit verwiesen. Eine Ursache der Kontroverse lag auch in der unklaren begrifflichen Trennung zwischen Corioliskraft und „ablenkender Kraft der Erdrotation“, die von manchen Autoren weiter gefasst wurde. Ein statistisch valider Beleg für eine größere Häufigkeit rechtsseitig versteilter Täler auf der Nordhemisphäre wurde weder von Baer noch von anderen Autoren vorgelegt. Die Talasymmetrie wurde erst ab der Mitte des 20. Jahrhunderts systematisch geomorphologisch erforscht und als multikausal begriffen, wobei geologische, tektonische und klimatische Faktoren zusammenwirken. In neueren Werken zur Geomorphologie und Geologie spielt das „Baersche Gesetz“ keine Rolle mehr.

Mit dem Fließverhalten ist das Problem der Mäanderbildung von Flüssen eng verknüpft. Albert Einstein wies mit einer qualitativen Darlegung auf die Rolle der Corioliskraft, zusätzlich zur Zentrifugalkraft, bei der Bildung von Flussmäandern hin („Teetasseneffekt“), ohne das quantitative Verhältnis der beteiligten Kräfte zu diskutieren.[62][63]

Die Überlegung, dass die Bewegung von Eisenbahnen durch die Corioliskraft beeinflusst wird und bei Gleisen, die nur in einer Richtung befahren werden, zu verstärkter einseitiger Abnutzung führen könnte, stammt von Braschman (1861) und wurde lange Zeit in zahlreichen Lehrbüchern im Sinne einer gegebenen Tatsache dargestellt;[64] ein Beleg dafür durch eine technische Publikation ist nicht bekannt. Helmut Vogel weist darauf hin, dass kleinste Unregelmäßigkeiten der Gleisführung in der Größenordnung von 0,1 mm einen weit größeren Effekt auf die Asymmetrie der Abnutzung haben.[65]

Die Erfahrungen, die Fridtjof Nansen bei seiner Fram-Expedition in der Arktis gemacht hatte, führte ihn zu der Vermutung, dass der Verlauf der driftenden Strömung von der Erdrotation beeinflusst wird. Die daraufhin von Ekman ausgearbeiteten Gedanken führten zur Entdeckung der Ekman-Spirale. Das Konzept der internen Wellen geht ebenfalls auf Nansens Beobachtungen zurück.[23]

Die Bezeichnung „Corioliskraft“ ist erst seit den 1920er Jahren gebräuchlich, vorher war „ablenkende Kraft“ eine übliche Bezeichnung.[66]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • D. Meschede: Gerthsen Physik. 23. Auflage. Springer, 2005, S. 56.
  • G. Coriolis: Memoire sur les équations du mouvement relatif des systèmes de corps. In: Journal de l’École polytechnique. Nr. 15, 1835, S. 142–154 (online [PDF]).
  • Pierre Simon Laplace: Recherches sur plusieurs points du système du monde. In: Mémoires de l’Académie Royale des Sciences. Band 88, 1775, S. 75–182 (online).
    (Zu dieser Quelle sollte man die Fußnote 12 in „A. Persson: The Coriolis Effect: Four centuries of conflict between common sense and mathematics“ lesen.)[19]
  • Adrian Gill: Atmosphere-Ocean Dynamics (International Geophysics). Academic Pr Inc, 1982, ISBN 0-12-283522-0.
  • Henry M. Stommel, Dennis W. Moore: An introduction to the Coriolis force. Columbia University Press, New York 1989, ISBN 0-231-06637-6.
  • A. O. Persson: The Coriolis Effect: Four centuries of conflict between common sense and mathematics. Part I: A history to 1885. In: History of Meteorology. Band 2, 2005, S. 1–24.[19]
  • Halliday-Resnick-Walker: Halliday Physik. 2. Auflage. Wiley-VCH, 2009, S. 154 ff.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Commons: Coriolis force – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Corioliskraft – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wikibooks: Corioliskraft – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Corioliskraft, die. Duden online, abgerufen am 30. November 2013. Im Deutschen wird anstelle der letzten Silbe meist das erste i oder das zweite o betont.
  2. Coriolis- und Zentrifugalkraft im rotierenden Bezugssystem: Video von 3:00 bis 3:30 und ab 5:00.
  3. Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik. 6. Auflage. Vieweg-Teubner, 2011, ISBN 978-3-8348-1375-6. In der Technischen Mechanik wird die „Coriolisbeschleunigung“ als Teil der Beschleunigung im Inertialsystem gesehen, und zwar als diejenige Beschleunigung, die dem bewegten Körper senkrecht zu seiner Bewegungsrichtung erteilt werden muss, um seine Ablenkung gerade zu verhindern; dafür erhält sie das entgegengesetzte Vorzeichen.
  4. Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1. 6. Auflage. Springer Spektrum, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-25465-9, S. 83.
  5. Dieter Meschede: Gerthsen Physik. 25. Auflage. Springer, Heidelberg 2017, S. 43 ff.
  6. Richard Feynman u. a.: Vorlesungen über Physik. Bd. 1, Seite 19–2, die letzten beiden Sätze des Kapitels.
  7. Jürgen Dankert und Helga Dankert: Technische Mechanik. Springer, 6. Auflage, 2011, S. 497.
  8. Richard Feynman: The Feynman Lectures on Physics. 3. Auflage. Band 1. Basic Books, 2010, ISBN 978-0-465-02414-8, S. 19-15–19-16 (englisch).
  9. Brigitte Klose: Meteorologie. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, S. 207.
  10. Lew Landau, Jewgeni Lifschitz: Mechanics. 3. Auflage. Butterworth Heinemann, 1976, ISBN 978-0-7506-2896-9, S. 126–129 (englisch).
  11. A. O. Persson: The Coriolis Effect: Four centuries of conflict between common sense and mathematics. In: History of Meteorology. Band 2, 2005, S. 2–3.
  12. E. Becker: Technische Thermodynamik: Eine Einführung in die Thermo- und Gasdynamik. B. G. Teubner, 1985, ISBN 978-3-519-03065-2, S. 185.
  13. a b John Marshal, R. Alan Plumb: Atmosphere, Ocean, and Climate Dynamics: An Introductory Text. Academic Press, 2007, S. 96–97. Google.
  14. Anders Persson: The Coriolis Effect – a conflict between common sense and mathematics. Norrköping 2005, S. 13.
  15. John Marshall: Inertial circles – visualizing the Coriolis force: GFD VI. 2003.
  16. John Marshal, R. Alan Plumb: Atmosphere, Ocean, and Climate Dynamics: An Introductory Text. Academic Press, 2007, ISBN 978-0-12-558691-7, S. 101 (google.com).
  17. Anders Persson: The Coriolis force on the physical earth. In: Weather. Vol. 55, 2000, S. 234–239.
  18. Geringfügige Schwankungen und sehr langfristige Änderungen der Winkelgeschwindigkeit können für die meisten Fälle unberücksichtigt bleiben.
  19. a b c d A. O. Persson: The Coriolis Effect: Four centuries of conflict between common sense and mathematics, Part I: A history to 1885. In: History of Meteorology. Band 2, 2005, S. 1–24 (meteohistory.org [PDF]).
    meteohistory.org. (Memento vom 11. April 2014 im Internet Archive).
  20. Robert Wichard Pohl: Mechanik, Akustik und Wärmelehre. 17. Auflage, Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York 1969, S. 94.
  21. Robert Stewart: Introduction to Physical Oceanography. Orange Grove Texts Plus, 2009, S. 311 (online [PDF; abgerufen am 19. Oktober 2019]).
  22. Anders Persson: The Coriolis force and the geostrophic wind. In: Weather. Vol. 56, 2001, S. 267–272.
  23. a b c Anders Persson: The Coriolis force and drifting icebergs. In: Weather. Vol. 56, 2001, S. 439–444.
  24. NASA: Ocean in motion: Ekman Transport.
  25. Schwedisches Meteorologisches und Hydrologisches Institut: Oberflächentemperaturen im zentralen Pazifik als Ergebnis eines durch die Corioliskraft erzeugten Auftriebs
  26. Christoph Drösser: Stimmt’s? Seltsamer Strudel. Auf: zeit.de. 12. Mai 1997, abgerufen am 14. Dezember 2014.
  27. Jearl Walker: Der fliegende Zirkus der Physik. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2007, ISBN 978-3-486-58067-9 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  28. Norbert Lossau: Fünf Minuten Physik: Badewannen und Tiefdruckgebiete. In: Die Welt. 6. Juni 2007.
  29. Anders Persson: Is the Coriolis effect an ’optical illusion’? In: Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society Band 141, 2014, S. 1957–1967.
  30. Anders Persson: The obstructive Coriolis force. In: Weather. Vol. 56, 2001, S. 204–209.
  31. a b Anders Persson: The Coriolis force and the nocturnal jet stream. In: Weather. Vol. 57, 2002, S. 28–33.
  32. Im Allgemeinen ist der Wind auch bei parallelen Isobaren nicht völlig geradlinig gerichtet, das gilt nur im statistischen Sinn, sondern er verläuft zykloidal, da sich der Translation eine Rotationsbewegung überlagert.
  33. Die Reibungskraft muss der Windrichtung nicht genau entgegen gerichtet sein auf Grund innerer Reibung in der Luft.
  34. Ernst Heyer: Witterung und Klima. 3. Auflage, BSB B.G.Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig 1975, S. 130–131.
  35. Rossby-Wellen.
  36. a b Hermann Flohn: Zur Dididaktik der allgemeinen Zirkulation der Erde. In: Geographische Rundschau. Band 12, 1960, S. 129–142, 189–196.
  37. Brigitte Klose: Meteorologie. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, S. 220.
  38. Anders Persson: Coriolis I. (Folie 20: Vergleich des Mersenne-Experiments mit dem Freien Fall mit Hilfe des Flächensatzes.)
  39. Roland Steffen: Industrielle Durchflussmessung: Coriolis-Kraft-Durchflussmessung. 2004.
  40. Klaus-Dieter Sommer: Moderne Verfahren zur Messung von Kraft, Masse und daraus abgeleiteten Größen. Universität Erlangen 2008 (mit Gleichungen und Gerätekonstruktion).
  41. MEMS-Sensoren im Überblick, Automobil-Elektronik. (Memento vom 23. Mai 2013 im Internet Archive). (PDF; 2,8 MB), April 2007.
  42. Detlef Billep: Modellierung und Simulation eines mikromechanischen Drehratensensors. (PDF; 4,6 MB), Dissertation.
  43. Kristian Silver: An Intuitiv Approach to the Coriolis Effect. Uppsala 2011, S. 34–43.
  44. Anders Persson: Hadley’s Principle. Part 1. In: Weather. Band S. 335–338; Part 2. In: Weather. Band 64 2009, S. 44–48.
  45. a b Anders Persson: Hadley’s Principle. Part 3. In: Weather. Band S. 93–96
  46. A. O. Persson: The Coriolis Effect – a conflict between common sense and mathematics. The Swedish Meteorological and Hydrological Institute: 8. 2005, S. 5–6.
  47. a b A. O. Persson: The Coriolis Effect: Four centuries of conflict between common sense and mathematics. In: History of Meteorology. Band 2, 2005, S. 6.
  48. A. O. Persson: The Coriolis Effect: Four centuries of conflict between common sense and mathematics. In: History of Meteorology. Band 2, 2005, S. 18.
  49. In einer früheren Arbeit von Leonhard Euler aus dem Jahr 1750 fehlte in der Formel noch der Faktor 2 (Giulio Maltese: On the relativity of motion in Leonhard Euler’s science. In: Archive for history of exact sciences. Band 54 (Januar 2000), S. 319–348, hier S. 343).
  50. P. S. Laplace: Recherches sur plusieuers points du Système du Monde. In: Mém. Acad. roy.des Sciences. 88, 1775, S. 75–182. Zitiert in David Edgar Cartwright: Tides: A Scientific History. Cambridge 1999, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche.
  51. Johann Friedrich Benzenberg: Versuche über das Gesetz des Falles, über den Widerstand der Luft und über die Umdrehung der Erde, nebst der Geschichte aller früheren Versuche von Galiläi bis auf Guglielmi. Dortmund 1804, 2. Auflage, Hamburg 1824.
  52. Ferdinand Reich: Fallversuche über die Umdrehung der Erde: angestellt in dem Brüderschachte bei Freiberge. Freiberg 1832.
  53. Jürgen Teichmann: Wandel des Weltbildes (= Kulturgeschichte der Naturwissenschaften und Technik, hrsg. vom Deutschen Museum München). 2. Auflage. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1983, S. 157–159.
  54. Darstellung von Rundells Experiment, Mechanics Magazine, Mai 1849, sowie ein Brief von Oersted an Herschel in den Reports der British Association for the Advancement of Science, 1846.
  55. G. G. Coriolis: Memoire sur les équations du mouvement relatif des systèmes de corps. In: Journal de l’École polytechnique. 15, 1835, S. 142–154. In dieser Veröffentlichung wird die Vorarbeit von Laplace (1775) nicht erwähnt.
  56. Adolf Sprung: Studien über den Wind und seine Beziehungen zum Luftdruck. I. Zur Mechanik der Luftbewegungen. In: Archiv der Deutschen Seewarte Band 2, 1879, S. 1–28.
  57. A. O. Persson: The Coriolis Effect: Four centuries of conflict between common sense and mathematics. In: History of Meteorology. Band 2, 2005, S. 13–15.
  58. Karl Ernst von Baer: Über ein allgemeines Gesetz in der Gestaltung der Flussbetten. In: Kaspische Studien. 1860, VIII, S. 1–6.
  59. Julius Bartels: Nochmals das Baersche Gesetz. In: Petermanns Geographische Mitteilungen. 68, Jg. 1922, S. 146–147.
  60. Adolf Schmidt: Die ablenkende Kraft der Erddrehung. In: Petermanns Geographische Mitteilungen. 68, Jg. 1922, S. 144–146.
  61. Karl-Heinz Bernhardt: Teetassen-Zyklonen und Flußmäander – Einstein klassisch. (PDF), 2005, S. 81–95, hier S. 87–88.
  62. Albert Einstein: Die Ursache der Mäanderbildung der Flußläufe und des sogenannten Baerschen Gesetzes. In: Die Naturwissenschaften. Band 14, 1926, S. 223–224; Handschriftlicher Entwurf der Veröffentlichung.
  63. Einstein referierte in Die Naturwissenschaften 1926 (S. 223) die von Geographen vertretene Ansicht einer stärkeren Erosionskraft auf der rechten Flussseite, ohne diese herzuleiten oder sich in die Diskussion darüber einzuschalten.
  64. Nikolai Braschman: Note concernant la pression des wagons sur les rails droits et des courants d’eau suer la rive droite du mouvement en vertu de la rotation de la terre. In: Comptes rendues. Band 53, 1861, S. 1068–1071.
  65. Helmut Vogel: Probleme aus der Physik. Aufgaben und Lösungen zur 17. Auflage von Gerthsen/Vogel Physik. Springer, Berlin 1993, ISBN 3-540-56632-5, S. 40.
  66. Anders Persson: The Coriolis force according to Coriolis. In: Weather. Vol. 56, 2001, S. 439–444.