Logarithmische Verteilung

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Wahrscheinlichkeitsfunktion der logarithmischen Verteilung für (blau), (grün) und (rot)

Die logarithmische Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Sie ist univariat, eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung und kommt aus dem Bereich der Versicherungsmathematik. Sie ist interessant als Schadenshöhenverteilung, wird aber kaum zur Bestimmung der Schadensanzahlen benutzt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine diskrete Zufallsgröße genügt der logarithmischen Verteilung mit den Parametern (Anzahl der Versuche) und (Erfolgswahrscheinlichkeit), wenn sie die Wahrscheinlichkeit

besitzt.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Erwartungswert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die logarithmische Verteilung hat einen Erwartungswert von

.

Varianz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Varianz bestimmt sich zu

.

Variationskoeffizient[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man sofort den Variationskoeffizienten

.

Schiefe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Schiefe ergibt sich zu:

.

Charakteristische Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die charakteristische Funktion hat die Form

.

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhält man

.

Momenterzeugende Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die momenterzeugende Funktion der logarithmischen Verteilung ist

.

Iterative Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt die rekursive Gleichung

mit Startwert . Dies kann zur effektiven Implementierung von logarithmisch verteilten Zufallszahlen genutzt werden.

Beziehung zu anderen Verteilungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kombiniert man die logarithmische Verteilung mit der zusammengesetzten Poisson-Verteilung, so entsteht die negative Binomialverteilung und damit als Spezialfall auch die geometrische Verteilung.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]