Wishart-Verteilung

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Die Wishart-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie ist die multivariate Entsprechung der χ2-Verteilung.

Für die Erläuterung wird zum besseren Verständnis zunächst von einer Zufallsvariablen ausgegangen: Man betrachtet eine standardnormalverteilte Zufallsvariable X, also mit dem Erwartungswert 0 und der Varianz 1. Es liegen von dieser Variablen n Beobachtungen oder Realisationen xi (i=1, ... , n) vor. Da die Realisationen unabhängig voneinander stattfinden, interpretiert man sie als eine Folge von n standardnormalverteilten Zufallsvariablen Xi. Die Quadratsumme dieser Zufallsvariablen

ist dann χ2-verteilt mit n Freiheitsgraden. Fasst man die Beobachtungen xi in einem Vektor x mit n Elementen zusammen, kann man auch y darstellen als die Norm

,

wobei xT ein Zeilenvektor ist.

Es werden nun p viele verschiedene Zufallsvariablen Xj betrachtet. Diese Zufallsvariablen sind gemeinsam normalverteilt mit dem Erwartungswert 0 und der Kovarianz-Matrix Σ. Es liegen für jede Zufallsvariable jeweils n viele Beobachtungen vor. Man kann nun diese Daten in einer (nxp)-Matrix X zusammenfassen:

.

Analog zu oben bildet man die symmetrische Matrix mit den Elementen

.

Diese Matrix W ist nun Wishart-verteilt mit n Freiheitsgraden.

Eigenschaften der Wishart-Verteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie die χ2-Verteilung ist auch die Wishart-Verteilung reproduktiv: Die Summe von p Wishart-verteilten Zufallsvariablen mit n Freiheitsgraden und p Zufallsvariablen mit m Freiheitsgraden ist wieder insgesamt Wishart-verteilt mit m+n Freiheitsgraden.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]