Gemischte Poisson-Verteilung

Die gemischte Poisson-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik, die univariat ist und zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen zählt. Sie ist als allgemeiner Ansatz für die Schadenzahlverteilung in der Versicherungsmathematik zu finden und wird auch als epidemiologisches Modell untersucht. Sie verallgemeinert die Poisson-Verteilung und sollte nicht mit der zusammengesetzten Poisson-Verteilung verwechselt werden.

Definition

Eine Zufallsvariable $X$ genügt der Gemischten Poisson-Verteilung mit der Dichte $\pi (\lambda )$, wenn sie die Wahrscheinlichkeiten

$\operatorname {P} (X=k)=p_{\pi }(k)=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda$

besitzt. Wenn wir die Wahrscheinlichkeiten der Poisson-Verteilung mit $q_{\lambda }(k)\,$ bezeichnen, gilt folglich

$\operatorname {P} (X=k)=p_{\pi }(k)=\int \limits _{0}^{\infty }q_{\lambda }(k)\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda$.

Eigenschaften

• Die Varianz ist immer größer als der Erwartungswert. Diese Eigenschaft nennt man Überdispersion (englisch overdispersion). Dies ist im Gegensatz zur Poisson-Verteilung, bei der Erwartungswert und Varianz identisch sind.
• In der Praxis werden als Dichten $\pi (\lambda )$ nur Dichten von Gamma-Verteilungen, logarithmische Normalverteilungen und von Inversen Gauß-Verteilungen benutzt. Wählt man die Dichte der Gamma-Verteilung, so erhält man die Negative Binomialverteilung, was erklärt, warum diese auch Poisson-Gamma-Verteilung genannt wird.

Im Folgenden sei $\mu _{\pi }=\int \limits _{0}^{\infty }\lambda \,\,\pi (\lambda )d\lambda \,$ der Erwartungswert der Dichte $\pi (\lambda )\,$, und $\sigma _{\pi }^{2}=\int \limits _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{2}\,\,\pi (\lambda )d\lambda \,$ die Varianz dieser Dichte.

Erwartungswert

Der Erwartungswert ergibt sich zu

$\operatorname {E} (X)=\mu _{\pi }$.

Varianz

Für die Varianz erhält man

$\operatorname {Var} (X)=\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}$.

Standardabweichung

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man die Standardabweichung

$\sigma ={\sqrt {\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}}}$.

Variationskoeffizient

Für den Variationskoeffizienten ergibt sich:

$\operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}}{\mu _{\pi }^{2}}}}$.

Schiefe

Die Schiefe lässt sich darstellen als

$\operatorname {v} (X)={\Bigl (}\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}{\Bigr )}^{-{\frac {3}{2}}}\,{\Biggl [}\int \limits _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{3}\,\pi (\lambda )\,d{\lambda }+\mu _{\pi }{\Biggr ]}$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

$\varphi _{X}(s)=M_{\pi }(e^{is}-1)\,$.

Dabei ist $M_{\pi }$ die momenterzeugende Funktion der Dichte.

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Für die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhält man

$m_{X}(s)=M_{\pi }(s-1)\,$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der gemischten Poisson-Verteilung ist

$M_{X}(s)=M_{\pi }(e^{s}-1)\,$.

Literatur

• Jan Grandell: Mixed Poisson Processes. Chapman & Hall, London 1997, ISBN 0-412-78700-8.
• Tom Britton: Stochastic Epidemic Models with Inference. Springer, 2019, doi:10.1007/978-3-030-30900-8

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | Dirac | diskret uniform | empirisch | hypergeometrisch | kategorial | negativ hypergeometrisch | Rademacher | verallgemeinert binomial | Zipf | Zipf-Mandelbrot | Zweipunkt

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | discrete-Phase-Type | erweitert negativ binomial | Gauss-Kuzmin | gemischt Poisson | geometrisch | logarithmisch | negativ binomial | parabolisch-fraktal | Poisson | Skellam | verallgemeinert Poisson | Yule-Simon | Zeta

Kontinuierliche univariate Verteilungen

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
Beta | Cantor | Kumaraswamy | raised Cosine | Dreieck | Trapez | U-quadratisch | stetig uniform | Wigner-Halbkreis

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:
Beta prime | Bose-Einstein | Burr | Chi | Chi-Quadrat | Coxian | Erlang | Exponential | Extremwert | F | Fermi-Dirac | Folded normal | Fréchet | Gamma | Gamma-Gamma | verallgemeinert invers Gauß | halblogistisch | halbnormal | Hartman-Watson | Hotellings T-Quadrat | hyper-exponentiale | hypoexponential | invers Chi-Quadrat | scale-invers Chi-Quadrat | Invers Normal | Invers Gamma | Kolmogorow-Verteilung | Lévy | log-normal | log-logistisch | Maxwell-Boltzmann | Maxwell-Speed | Nakagami | nichtzentriert Chi-Quadrat | Pareto | Phase-Type | Rayleigh | relativistisch Breit-Wigner | Rice | Rosin-Rammler | shifted Gompertz | truncated normal | Type-2-Gumbel | Weibull | Wilks’ Lambda

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | exponential Power | Fishers z | Fisher-Tippett (Gumbel) | generalized hyperbolic | Hyperbolic-secant | Landau | Laplace | alpha-stabil | logistisch | normal (Gauß) | normal-invers Gauß’sch | Skew-normal | Studentsche t | Type-1-Gumbel | Variance-Gamma | Voigt

Multivariate Verteilungen

Diskrete multivariate Verteilungen:
Dirichlet compound multinomial | Ewens | gemischt Multinomial | multinomial | multivariat hypergeometrisch | multivariat Poisson | negativmultinomial | Pólya/Eggenberger | polyhypergeometrisch

Kontinuierliche multivariate Verteilungen:
Dirichlet | GEM | generalized Dirichlet | multivariat normal | multivariat Student | normalskaliert invers Gamma | Normal-Gamma | Poisson-Dirichlet

Multivariate Matrixverteilungen:
Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit | Invers Wishart | Matrix Beta | Matrix Gamma | Matrix invers Beta | Matrix invers Gamma | Matrix Normal | Matrix Student-t | Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung | Normal-invers-Wishart | Normal-Wishart | Wishart