Gemischte Poisson-Verteilung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die gemischte Poisson-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik, die univariat ist und zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen zählt. Sie ist als allgemeiner Ansatz für die Schadenzahlverteilung in der Versicherungsmathematik zu finden. Sie verallgemeinert die Poisson-Verteilung und sollte nicht mit der zusammengesetzten Poisson-Verteilung verwechselt werden.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Zufallsvariable genügt der Gemischten Poisson-Verteilung mit der Dichte , wenn sie die Wahrscheinlichkeiten

besitzt. Wenn wir die Wahrscheinlichkeiten der Poisson-Verteilung mit bezeichnen, gilt folglich

.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden sei der Erwartungswert der Dichte , und die Varianz dieser Dichte.

Erwartungswert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Erwartungswert ergibt sich zu

.

Varianz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Varianz erhält man

.

Standardabweichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man die Standardabweichung

.

Variationskoeffizient[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den Variationskoeffizienten ergibt sich:

.

Schiefe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Schiefe lässt sich darstellen als

.

Charakteristische Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die charakteristische Funktion hat die Form

.

Dabei ist die momenterzeugende Funktion der Dichte.

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhält man

.

Momenterzeugende Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die momenterzeugende Funktion der gemischten Poisson-Verteilung ist

.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]