Gemischte Poisson-Verteilung

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Die gemischte Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die als allgemeiner Ansatz für die Schadenzahlverteilung in der Versicherungsmathematik zu finden ist. Sie verallgemeinert die Poisson-Verteilung und sollte nicht mit der zusammengesetzten Poisson-Verteilung verwechselt werden.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Zufallsvariable genügt der Gemischten Poisson-Verteilung mit der Dichte , wenn sie die Wahrscheinlichkeiten

besitzt. Wenn wir die Wahrscheinlichkeiten der Poisson-Verteilung mit bezeichnen, gilt folglich

.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden sei der Erwartungswert der Dichte , und die Varianz dieser Dichte.

Erwartungswert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Erwartungswert ergibt sich zu

.

Varianz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Varianz erhält man

.

Standardabweichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man die Standardabweichung

.

Variationskoeffizient[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den Variationskoeffizienten ergibt sich:

.

Schiefe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Schiefe lässt sich darstellen als

.

Charakteristische Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die charakteristische Funktion hat die Form

.

Dabei ist die momenterzeugende Funktion der Dichte.

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhält man

.

Momenterzeugende Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die momenterzeugende Funktion der gemischten Poisson-Verteilung ist

.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]