Dies ist ein als exzellent ausgezeichneter Artikel.

Würfelverdoppelung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
(Weitergeleitet von Verdoppelung des Würfels)
Zur Navigation springen Zur Suche springen
01-Würfelverdoppelung-Menaichmos-1.svg

Die Würfelverdoppelung, auch bekannt als Delisches Problem, bezeichnet die geometrische Aufgabe, zu einem gegebenen Würfel einen zweiten Würfel mit dem doppelten Volumen zu konstruieren. Das Problem gehört zu den drei „klassischen Problemen der antiken Mathematik“ und wurde bereits im 5. Jahrhundert v. Chr. im antiken Griechenland formuliert.

Ein Ausgangswürfel mit der Kantenlänge (ein sogenannter Einheitswürfel) hat das Volumen Ein weiterer Würfel habe die Kantenlänge und das Volumen Die neue Kantenlänge ist die Kubikwurzel aus , also . Diese kann als Grenzwert geeigneter Folgen bestimmt werden, ist jedoch aus den Strecken 0 und 1 über Zirkel und Lineal nicht in endlich vielen Schritten konstruierbar. Versucht man also das Problem der Würfelverdoppelung ausschließlich mit den Hilfsmitteln zu bearbeiten, die Euklid in seinen Elementen nutzte, nämlich mit Zirkel und unmarkiertem Lineal, ist es nicht lösbar. Diese Aussage lässt sich in die Fachsprache der Algebra übersetzen, wodurch schließlich ein mathematischer Beweis für die Unmöglichkeit der Konstruktion angegeben werden kann. Ein solcher wurde zuerst vom französischen Mathematiker Pierre Wantzel im Jahr 1837 geführt. Jedoch gilt es als sehr wahrscheinlich, dass Carl Friedrich Gauß bereits früher einen Beweis kannte, diesen aber nicht niederschrieb.

Identische Probleme bestehen bei Vergrößerungen des Würfelvolumens auf das 3-, 4-, 5-, 6- und 7-fache des ursprünglichen Rauminhaltes. Dagegen ist die Aufgabe zum Beispiel einer Volumenverachtfachung kein Problem, weil die Kubikwurzel aus 8 problemlos berechenbar und die resultierende Kantenlängenverdoppelung leicht machbar ist.

Schwächt man die Einschränkung ab und lässt ein zusätzliches Hilfsmittel zu, wie zum Beispiel entsprechende Markierungen auf dem Lineal oder spezielle Kurven, dann ist die Konstruktion eines Würfels mit doppeltem Volumen möglich. Entsprechende Verfahren waren bereits in der Antike bekannt.

Geschichtliches aus der Antike[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verhältnis von Volumen zur Kantenlänge eines Würfels, Ausgangswürfel ist der Einheitswürfel mit Kantenlänge

Die wichtigste antike Quelle zur Würfelverdoppelung ist der Kommentar des spätantiken Autors Eutokios zu Archimedes’ Schrift „Über Kugel und Zylinder“ („Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου Peri sphairas kai kylindrou“), in dem diverse Lösungsansätze antiker Mathematiker gesammelt sind.[1] Unter anderem wird dort ein Brief des Gelehrten Eratosthenes (um 275–194 v. Chr.) an einen König Ptolemaios (wohl Ptolemaios III. oder Ptolemaios IV.) wörtlich zitiert, der mittlerweile als authentische Wiedergabe des Originalbriefes erwiesen wurde und in dem der Wissenschaftler sich dem Herrscher gegenüber zur Frage der Würfelverdopplung äußert.[2] Als ältesten Beleg für dieses mathematische Problem zitiert Eratosthenes dort „einen der alten Tragödiendichter“ („τῶν ἀρχαίων τινὰ τραγῳδοποιῶν tōn archaiōn tina tragōdopoiōn“), in dessen Werk der mythische König Minos das Grab seines Sohnes Glaukos errichten lässt und den Baumeister anweist, es doppelt so groß wie den ersten Entwurf anzufertigen, aber die Würfelform beizubehalten.[3] Von den drei bedeutenden athenischen Tragödiendichtern des 5. Jahrhunderts v. Chr. – Aischylos, Sophokles und Euripides – weiß man, dass sie in je einem ihrer Werke die Sage von Minos und Glaukos aufgriffen; dennoch ist möglich, dass das Zitat aus einer Tragödie eines ganz anderen Dichters stammt.[4]

Die Alternativbezeichnung „Delisches Problem“ geht auf eine Episode zurück, die Eratosthenes in seinem Brief ebenfalls anführt,[3] die aber auch bei diversen anderen antiken Autoren (darunter Plutarch und Theon von Smyrna) beschrieben wird und der aus altertumswissenschaftlicher Sicht durchaus ein tatsächliches historisches Ereignis zugrunde liegen könnte: Die Bewohner der Insel Delos hätten während einer schweren Seuche ein Orakel um Rat gefragt, was sie tun könnten, um ihre Situation zu verbessern. Das Orakel habe sie angewiesen, den würfelförmigen Altar im Apollontempel der Insel in seiner Größe – also seinem Volumen – zu verdoppeln. Die delischen Architekten seien jedoch ratlos gewesen, wie das konkret zu bewerkstelligen wäre, und hätten daraufhin Platon (428/427–348/347 v. Chr.) um Rat gebeten.[3] Dieser habe sie an Archytas von Tarent, Eudoxos von Knidos und Menaichmos verwiesen, die ihnen jeweils unterschiedliche Lösungsansätze eröffnet hätten. Laut Plutarch habe Platon deren Ansätze jedoch kritisiert, da sie ihm zufolge durch die Nutzung mechanischer Methoden das „Gute“, Elegante der Geometrie zerstören.[5] Im Archimedes-Kommentar des Eutokios wird Platon interessanterweise auch eine eigene mechanische Lösung des Delischen Problems (siehe Abschnitt Platons mechanische Methode) zugeschrieben. Sofern damit nicht ein anderer Platon gemeint ist als der berühmte Philosoph, dürfte es sich dabei nach vorherrschender Forschungsmeinung jedoch um eine Falschzuschreibung handeln.[6]

Ähnliche Probleme aus der Konstruktion von Altären (allerdings mit dem Problem der Verdopplung eines Quadrats statt eines Würfels) gab es in vedischer Zeit in Indien und sie gaben zu mathematischen Erörterungen Anlass (Sulbasutras).[7] Beim Quadrat lässt sich die Aufgabe der Verdopplung durch den Satz des Pythagoras lösen.

Antike Lösungen mit zusätzlichen Hilfsmitteln

  • Hippokrates von Chios (zweite Hälfte des 5. Jahrhunderts v. Chr.) zeigte als Erster den maßgeblichen Ansatz für eine theoretische Lösung des Problems. Er fand: Das Problem der Würfelverdoppelung ist äquivalent zu demjenigen der Bestimmung von zwei mittleren Proportionalen zweier Größen.[8] Dies bedeutet, dass für eine Strecke nach zwei Strecken und gesucht wird, so dass
Dies zieht nach sich.
  • Platon (428/427–348/347 v. Chr.) wurde von Eutokios als Erster benannt, der zur Lösung der Würfelverdoppelung eine mechanische Methode fand.[9] Wie bereits oben erwähnt, dürfte diese Lösung nicht von ihm stammen.
  • Eudoxos (397/390–345/338 v. Chr.) fand eine Lösung – so wird berichtet – durch die Konstruktion der zwei mittleren Proportionalen mithilfe nicht näher bekannter Kurven und ihrer Schnittpunkte.[10]
  • Archytas von Tarent († etwa 355–350 v. Chr.) war der Erste, dem die Umsetzung des oben genannten Satzes von Hippokrates unter Zuhilfenahme der nach ihm benannten Kurve gelang; beschrieben im Abschnitt Kurve des Archytas.[8]
  • Menaichmos (um 380–320 v. Chr.) fand zwei Lösungen: eine, in der eine Parabel von einer Hyperbel geschnitten wird, und eine zweite, ausführlich beschrieben im Abschnitt Mithilfe von Parabeln, als Schnitt zweier Parabeln.[8]
  • Eratosthenes (um 278–194 v. Chr.) beschreibt in seinem Brief an König Ptolemaios im Anschluss an seine Einführung zur Geschichte des Delischen Problems eine eigene „mechanische Methode“[11] durch einen Apparat, den er „Mesolabium“ nannte.[8]
  • Diokles (um 240–180 v. Chr.) benutzte für seine Lösung eine nach ihm benannte Zissoide; beschrieben im Abschnitt Zissoide des Diokles.[12]

Beweis der Unlösbarkeit mittels Zirkel und Lineal[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Geschichte des Beweises[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Grundsätzlich griffen die Mathematiker der Antike bei der Lösung von Problemen nicht nur auf Zirkel und Lineal zurück. Die Vermutung, dass es eine solche methodische Beschränkung gegeben habe, erwies sich als neuzeitlicher Mythos.[13] Dass die Aufgabe bei alleiniger Verwendung von Zirkel und Lineal auch tatsächlich unlösbar ist, bewies Pierre Wantzel im Jahr 1837.[14][15] Sein Beweis beruhte auf folgenden algebraischen Überlegungen:[16]

1. Im ersten Teil des Beweises argumentiert er, dass, wenn ein Konstruktionsproblem mit Lineal und Zirkel gelöst werden kann, „die Unbekannte des Problems durch die Lösung einer Reihe von quadratischen Gleichungen erhalten werden kann, deren Koeffizienten rationale Funktionen der Parameter des Problems und der Wurzeln der vorherigen Gleichungen sind“.

Mit der „Unbekannten des Problems“ ist dabei z. B. die gesuchte Strecke gemeint.

2. Danach zeigte er, dass jede algebraische Zahl , die Lösung der letzten Gleichung eines Systems
ist, wobei die Koeffizienten stets durch sukzessive Adjunktion im Körper liegen, stets von einem Polynom des Grades mit Koeffizienten in gelöst wird. Dabei löst die Gleichung und sind die gegebenen Parameter des Problems.
3. Wantzel wusste, dass jede algebraische Zahl Lösung eines Polynoms mit Grad einer Zweierpotenz ist, wenn diese hinreichend groß gewählt würde. Daher war sein Hauptresultat, zu zeigen, dass, wenn die Anzahl an benötigten Gleichungen zu einem Minimum reduziert würde, das resultierende Polynom irreduzibel über ist.

Die Unmöglichkeit der Konstruktion folgt nun als Korollar aus den Sätzen 1 bis 3: Wäre, beginnend beim Einheitswürfel, die Konstruktion der Würfelverdoppelung mit Zirkel und Lineal möglich, so müsste Nullstelle eines irreduziblen Polynoms über sein, das als Grad eine Zweierpotenz hat. Das Polynom ist irreduzibel über , hat aber den Grad 3. Dies ist ein Widerspruch.

Es ist zu beachten, dass Wantzels Originalpublikation von dem Mathematikhistoriker Jesper Lützen als lückenhaft und schwer zu verstehen angesehen wird – dies betrifft vor allen Dingen den „Beweis“ des Hauptsatzes 3. Von Lützen wurden die Lücken im Nachhinein geschlossen und die Resultate, wie oben beschrieben, in moderner Fachsprache formuliert.[17] Wantzels Beweis für die Unmöglichkeit, die Verdoppelung des Würfels und die Dreiteilung des Winkels mit Lineal und Zirkel zu konstruieren, war nach seiner Veröffentlichung im Jahr 1837 fast ein Jahrhundert lang vergessen. Laut Lützen waren dabei die „mangelnde Berühmtheit des Autors“, die „Tatsache, dass einige seiner Zeitgenossen das Ergebnis als bekannt oder sogar als bewiesen ansahen“, und dass „das Ergebnis zum Zeitpunkt seiner Veröffentlichung nicht als wichtiges mathematisches Ergebnis angesehen wurde“, die treibenden Gründe.[18]

Carl Friedrich Gauß, 1828

Es wird von Historikern bezweifelt, dass Wantzel als Erster um einen Beweis wusste, da der junge Carl Friedrich Gauß sehr wahrscheinlich über einen solchen verfügt hat.[19] Ein großer Teil seines 1801 erschienenen Werkes Disquisitiones arithmeticae ist der Frage gewidmet, welche Bedingungen eine Polynomgleichung erfüllen muss, um durch quadratische Radikale lösbar zu sein. Dort finden sich auch die nach Gauß benannten Sätze, mit deren Hilfe für die meisten klassischen Aufgaben die Unlösbarkeit mit Zirkel und Lineal nachgewiesen werden kann. Mit seinen entwickelten Techniken bewies Gauß zum Beispiel, dass sich das 17-Eck mit Zirkel und Lineal konstruieren lässt. Die Tatsache, dass trotzdem Wantzel von vielen Autoren als Urheber der Sätze genannt und zitiert wird, führen die Mathematikhistoriker Christoph Scriba und Peter Schreiber auf die „Kommunikationsschwierigkeiten“ der Wissenschaft des 19. Jahrhunderts zurück.[20]

In heutiger Fachsprache ist der Beweis eine Anwendung der umfassenden Galoistheorie (nach Évariste Galois, französischer Mathematiker) und läuft im Kern darauf hinaus, dass die irrationale Zahl nicht durch ganze Zahlen, nicht durch die vier Grundrechenarten und auch nicht durch Quadratwurzeln ausgedrückt werden kann.

Algebraischer Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Einheitswürfel und ein Würfel mit Volumen 2 – dieser hat die Seitenlänge Es kann gezeigt werden, dass diese Zahl nicht aus ganzen Zahlen über Verkettungen aus Grundrechenoperationen wie Plus, Mal, Geteilt oder Quadratwurzeln gewonnen werden kann. Letztere sind aber genau die Zahlen, die bei den Strecken 0 und 1 beginnend mittels Zirkel und Lineal konstruiert werden können.

Im Detail kann der Beweis der Unmöglichkeit über folgende Ideen aus der Algebra vollzogen werden. Es seien eine Menge von Punkten (komplexen Zahlen), welche mindestens 0 und 1 enthält, und ein beliebiger Punkt gegeben. Es ist für diese Überlegungen von Wichtigkeit, dass die komplexen Zahlen als Ebene aufgefasst werden können – im Gegensatz dazu werden die reellen Zahlen schlicht als Gerade aufgefasst. Dann gilt, dass der Punkt genau dann mit Zirkel und Lineal aus den Punkten konstruierbar ist, falls er in einem Körper (dabei ist der Körper der komplexen Zahlen) liegt, der durch Adjunktion einer Quadratwurzel aus dem Körper

hervorgeht. Dabei ist grob gesprochen die Menge, die aus Bilden aller Summen, Produkte und Quotienten aus rationalen Zahlen mit entsteht. Hier ist die Menge der komplex Konjugierten von und das Symbol steht für die Vereinigung zweier Mengen. Adjunktion einer Quadratwurzel bedeutet, dass es ein geben muss, so dass . Zum Beispiel geht durch die Adjunktion einer Quadratwurzel aus den rationalen Zahlen hervor, da eine rationale Zahl ist – entsprechend ist die Menge aller Summen, Produkte und Quotienten rationaler Zahlen mit der Zahl . Bei handelt es sich um eine sogenannte Körpererweiterung. Das Problem der Würfelverdopplung mittels Zirkel und Lineal lässt sich also auf die Frage reduzieren, ob die Zahl in einem Teilkörper von liegt, der aus durch sukzessive Adjunktion von Quadratwurzeln gewonnen werden kann. Das bedeutet jedoch, dass der Erweiterungsgrad von aus eine Potenz von 2 sein muss. Es ist aber

womit es unmöglich ist, die Würfelverdopplung mittels Zirkel und Lineal vorzunehmen.[21] Dass die Körpererweiterung vom Grad 3 ist, kann wie folgt gesehen werden: Das Polynom ist irreduzibel über den ganzen Zahlen und hat als höchsten Koeffizienten 1. Nach dem Lemma von Gauß ist dann bereits irreduzibel über den rationalen Zahlen. Damit ist bereits das Minimalpolynom von und dieses hat den Grad 3. Daraus ergibt sich die Erkenntnis, dass jedes Element der Menge , bestehend aus allen rationalen Zahlen, die mit der Kubikwurzel aus 2 beliebig durch die Grundrechenarten „vermengt“ wurden, eindeutig als mit rationalen Zahlen geschrieben werden kann. Zum Beispiel ist

Damit wird zu einem drei-dimensionalen Vektorraum über .

Mit dem gleichen Argument lässt sich zeigen, dass auch eine Würfelvervielfachung um einen natürlichen Faktor , der keine Kubikzahl ist, sich nicht mit Zirkel und Lineal bewerkstelligen lässt.

Geometrische Konstruktionen mit mechanischen Hilfsmitteln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nimmt man zu den klassischen (euklidischen) Werkzeugen Zirkel und unmarkiertes Lineal ein weiteres mechanisches Hilfsmittel, wie zum Beispiel ein spezielles mechanisches Werkzeug[22] oder ein entsprechend markiertes Lineal, so kann die zur Würfelverdoppelung erforderliche Kantenlänge des Würfels theoretisch exakt dargestellt werden.

Mithilfe eines markierten Lineals[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruktionen mithilfe einer sogenannten Einschiebung,[23] auch als Neusis-Konstruktionen bezeichnet, verwenden neben dem Zirkel auch ein Lineal, auf dem eine spezielle Markierung als zusätzliche Hilfe aufgebracht ist.

  • Die folgende Neusis-Konstruktion, Heinrich Dörrie nennt sie Papierstreifenkonstruktion,[24] ist eine der bekanntesten.
Bild 1: Neusis-Konstruktion mit markiertem Lineal
Kante (Seite) des Ausgangswürfels
Bezeichnet man – wie im Bild 1 dargestellt – die Kante (Seite) des Ausgangswürfels mit , wird damit zunächst ein gleichseitiges Dreieck mit den Ecken konstruiert. Es folgt die Verdoppelung der Strecke ab dabei ergibt sich der Schnittpunkt Nun wird die Strecke ab verlängert. Anschließend wird eine Halbgerade ab durch gezeichnet. Nun setze ein mit dem Punkt markiertes Lineal (Abstand Ecke bis Punkt entspricht ) auf die Zeichnung. Drehe und schiebe das Lineal, bis dessen Ecke auf der Verlängerung der Strecke anliegt, die Markierung Punkt auf der Verlängerung der Strecke aufliegt und die Kante des Lineals durch den Punkt verläuft. Abschließend verbinde den Punkt mit
Die Strecke ist die Kantenlänge des gesuchten Würfels mit dem verdoppelten Volumen des Ausgangswürfels.
  • Von Isaac Newton stammt eine weniger bekannte Neusis-Konstruktion (Bild 2),[25] die aber wegen ihrer Einfachheit bemerkenswert ist.
Bild 2: Neusis-Konstruktion mit markiertem Lineal
Kante (Seite) des Ausgangswürfels
Sie beginnt mit dem Errichten einer Senkrechten auf eine Halbgerade ab . Ein Winkelschenkel mit der Winkelweite am Scheitel schließt sich an. Nun setze ein mit dem Punkt markiertes Lineal (Abstand Ecke bis Punkt entspricht der Kante des Ausgangswürfels) auf die Zeichnung. Drehe und schiebe das Lineal, bis dessen Ecke auf dem Winkelschenkel liegt, die Markierung Punkt auf der Halbgeraden ab aufliegt und die Kante des Lineals durch den Punkt verläuft. Abschließend verbinde den Punkt mit Der eingezeichnete Punkt dient nur der einfacheren Formulierbarkeit im folgenden Beweis.
Die Strecke ist die Kantenlänge des gesuchten Würfels mit dem verdoppelten Volumen des Ausgangswürfels.
Beweis der Richtigkeit
Das Bild 2 zeigt, die rechtwinkligen Dreiecke (blau) und (grün) sind wegen des Scheitelwinkels zueinander ähnlich,
folglich gilt nach dem 2. Strahlensatz
(1)
rechtwinkliges Dreieck und Tangens
(2)
Teile der Gleichung (2) quadriert
(3)
umgeformt ergibt sich
(4)
rechtwinkliges Dreieck nach Satz des Pythagoras
(5)
Wert von (5) eingesetzt in (4)
(6)
umgeformt ergibt sich
(7)
nach der Vereinfachung
(8)
folgt daraus schließlich
(9)
In Worten:
Das Volumen des Würfels mit der Kantenlänge ist gleich dem doppelten Volumen des Ausgangswürfels mit der Kantenlänge

Ermittlung der zwei mittleren Proportionalen mithilfe eines mechanischen Werkzeugs[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Verwendung der beiden im Folgenden beschriebenen mechanischen Werkzeuge liefert die sogenannten zwei mittleren Proportionalen und des Hippokrates von Chios.[26] Sie werden für die Verdoppelung des Ausgangswürfels mit der Kantenlänge benötigt. Die mittlere Proportionale entspricht der gesuchten Kantenlänge des verdoppelten Würfels.

Platons mechanische Methode[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Würfelverdoppelung nach Platon (Prinzipdarstellung),
= Kantenlänge des Ausgangswürfels, und = Kantenlänge des verdoppelten Würfels, Animation am Ende 25 s Pause.

Wie in der Einleitung erwähnt, benennt Eutokios Platon als den Ersten, der die folgende Methode zur Lösung des Problems der Würfelverdopppelung anwandte. Zwar sprechen neuzeitliche Kommentatoren Platon dies wegen seiner vehementen Ablehnung mechanischer Hilfsmittel ab,[9] aber Lattmann beschreibt in seiner Studie Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid aus dem Jahr 2019 ausführlich, warum die Lösung zu Recht Platon zugeschrieben werden kann.[27]

„Konträr zur communis opinio steht fest, dass die Anekdote vom Delischen Problem weder insgesamt noch partiell fiktiv ist, sondern mit aller Wahrscheinlichkeit historisch korrekt ist. Auf dieser Grundlage kann in einem zweiten Schritt der in der Überlieferung Platon zugeschriebene Ansatz zum Delischen Problem als potentiell genuines, wenn auch indirekt überliefertes Platon-Zeugnis in den Blick genommen werden.“

Claas Lattmann: Verdoppeln ohne Verdoppeln: Platon und das Delische Problem[28]

Das mechanische Werkzeug (ohne eine Werkstoffangabe) hat das Aussehen eines rechteckigen Rahmens. Die beiden seitlichen Rahmenteile stehen senkrecht auf dem längeren Grundelement. Damit das lose Lineal exakt parallel zu seinem Gegenüber verschiebbar ist, wird es in den beiden Seitenteilen entsprechend geführt.[22] Für eine gute Übersichtlichkeit ist das Werkzeug in der Aufsicht dargestellt. In der nebenstehenden Zeichnung wurden die originären teilweise griechischen Punktebezeichnungen verwendet.

Vorgehensweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zuerst werden die beiden gegebenen Variablen und senkrecht zueinander und mit Verlängerungen ab dem Punkt gezeichnet.

Das Werkzeug wird nun auf folgende Art und Weise auf der Zeichnung bewegt (siehe Animation), bis die zwei mittleren Proportionalen und gefunden sind:

Die Innenkante des Grundelements verläuft stets durch Punkt und der Punkt liegt stets auf der Verlängerung der Strecke bevor der Punkt des Lineals auf die Verlängerung der Strecke geschoben wird.

Platons mechanische Methode,
Nachweis

Als Ergebnis liefert das mechanische Werkzeug

und
Nachweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wegen der Parallelität und vier rechter Winkel am Scheitel haben die folgenden Dreiecke gleiche Winkel und sind daher zueinander ähnlich:[9]

Euklid, Elemente, 1, 29:[29]

Da der Scheitel einen rechten Winkel hat, sind folgende Winkel gleich:

Euklid, Elemente, 1, 32:[30]

Weil der Scheitel einen rechten Winkel hat, sind auch folgende Winkel gleich:

Nach Euklid, Elemente 6, 4 ergeben sich somit die Proportionen:[31]

Eratosthenes’ mechanische Methode[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eratosthenes von Kyrene ersann (basierend auf dem Satz des Hippokrates) ein mechanisches Werkzeug, das er in dem Brief an König Ptolemaios beschrieb als eine:

„[…] mechanische Vorrichtung zur Bestimmung, mittels deren wir zwischen zwei gegebenen geraden Linien nicht nur zwei mittlere Proportionale finden werden, sondern soviele man zu finden anordnet.“[32]

Die mechanische Vorrichtung ist vorstellbar als ein Kasten, gefertigt aus Holz, Bronze oder Elfenbein, mit drei sehr dünnen Täfelchen in Form identischer rechtwinkliger Dreiecke, die mithilfe von Rillen nach rechts oder links verschoben werden können. Bei einer Aufgabe, in der zu zwei Variablen mehr als zwei mittlere Proportionale gesucht sind, ist die erforderliche Anzahl der Dreiecke stets um eins größer als die Anzahl der gesuchten mittleren Proportionalen.[33] Eratosthenes ließ seine Lösung der Würfelverdoppelung im Tempel der Ptolemäer in Alexandria in Stein meißeln.[34]

Würfelverdoppelung nach Eratosthenes (Prinzipdarstellung),
= Kantenlänge des Ausgangswürfels, und = Kantenlänge des verdoppelten Würfels,
Animation am Ende 10 s Pause.

Die im nebenstehenden Diagramm abstrahiert dargestellte mechanische Vorrichtung – wie Eratosthenes sie nennt – zeigt zwei parallele Strahlen und sie symbolisieren zwei Lineale. Zwischen den Linealen sind drei rechtwinklige Dreiecke, das erste ist fest am Punkt die beiden anderen sind bis verschiebbar geführt. Alternativ sind auch drei Rechtecke mit eingezeichneten Diagonalen möglich. Die hochkant gezeichneten Dreiecke haben als Höhe die Variable und eine kleine Kathete mit frei wählbarer Länge (im Diagramm ). Auf der zu senkrecht stehenden Strecke , im Punkt des dritten Dreiecks, ist die Länge der zweiten Variablen als Strecke abgetragen.[35] Ein (nicht eingezeichneter) Strahl ab Punkt durch schneidet in die Linie , erzeugt die Strecke und lässt somit die Grundidee der Vorrichtung, nämlich den Strahlensatz, erkennen.

Vorgehensweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nur wenige Schritte sind erforderlich, wenn z. B. das zweite Dreieck (blau) und das dritte Dreieck (gelb) auf folgende Art und Weise zwischen den Linealen bewegt werden, bis die zwei mittleren Proportionalen und gefunden sind (siehe Animation):

Stets zuerst das zweite Dreieck (blau) so in Richtung Punkt verschieben, dass sich dessen Hypotenuse , die Strecke (rot) und die Senkrechte im Punkt schneiden. Erst im nächsten Schritt das dritte Dreieck (gelb) so nachschieben, dass sich dessen Hypotenuse , die Strecke (rot) und die Senkrechte im Punkt schneiden. Wiederholungen dieser Schritte liefern die zwei mittleren Proportionalen und

Nachweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn sich die beiden Strahlen durch bzw. durch in schneiden, dann ist

Würfelverdoppelung nach Eratosthenes (Prinzipdarstellung), Nachweis[35]

und

,

während

deshalb

Ähnlich

Damit sind und in kontinuierlicher Proportion sowie und die zwei mittleren Proportionalen.

Konstruktion über spezielle Kurven[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

01-Würfelverdoppelung-2.svg

Soll ein Würfel mit der Kantenlänge bezüglich seines Volumens mit als Kantenlänge des größeren Würfels verdoppelt werden, so gilt zur Bestimmung der zwei mittleren Proportionalen und der Satz des Hippokrates von Chios:[26]

Eliminiert man , so ergibt sich:

daraus folgt:[26]

(1) 

Eliminiert man , so ergibt sich:

daraus folgt:

(2) 

Aus Gründen des besonderen Schwierigkeitsgrades – Dreidimensionalität, erste Hälfte des 4. Jahrhunderts v. Chr. – wird im Folgenden die Lösung des Problems mithilfe der Kurve des Archytas ausführlich beschrieben.

Kurve des Archytas[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Situation: Die zwei mittleren Proportionalen sind gefunden.
Gekennzeichnet ist dies durch den Kreuzungspunkt (grün) der beiden Durchdringungskurven, die durch das Zusammenspiel der drei Figuren entstehen: Halbzylinder mit Kurve des Archytas (rot gepunktet), Achtel eines Rotationstorus (anthrazit) und Kegelausschnitt (gelb) mit dreieckiger Schnittfläche (blau). Durchmesser

Ein paar Jahrzehnte früher als Archytas gelang Hippokrates von Chios die Verdoppelung des Würfels, indem er sie auf ein Problem der Konstruktion von Verhältnissen zurückführte.[8] Archytas von Tarent gelang deren theoretische Konstruktion mit einer nach ihm benannten speziellen Kurve. Für deren Visualisierung bzw. Anwendung bedarf es folgender drei Figuren[36] (siehe nebenstehendes Diagramm):

  • Halbzylinder, steht auf einem Halbkreis mit Radius und Durchmesser Die Höhe des Halbzylinders beträgt ca.
  • Achtel eines sogenannten Rotationstorus ohne „Loch“ mit Radius
  • Kegelausschnitt , entnommen vom Kegel mit Radius und Höhe , mit dem Dreieck als dessen Schnittfläche. Der Kegelausschnitt erreicht seine maximale Größe, nämlich ein Viertel des Gesamtkegels, wenn das Dreieck mit dem Dreieck einen Winkel von einschließt und damit auf der rechteckigen Fläche des Halbzylinders liegt.

Die Kurve des Archytas ist eine sogenannte Schnittkurve, die entsteht, wenn ein Halbzylinder ein Achtel eines Rotationstorus ohne „Loch“ durchdringt. Wie im Diagramm erkennbar, durchdringt das Viertel des Kegels die beiden benachbarten Figuren und erzeugt dadurch eine, mit der Kurve des Archytas kreuzende, zweite Schnittkurve.

Die zwei mittleren Proportionalen sind dann gefunden, wenn die Hypotenuse der dreieckigen (blauen) Schnittfläche des Kegels die Kurve des Archytas im (grünen) Punkt schneidet. Der Punkt liegt auf der Mantelfläche des Halbzylinders (auf der Kurve des Archytas), auf der dreieckigen Schnittfläche des Kegelausschnitts und auf der halbkreisförmigen Schnittfläche des Rotationstorus ohne „Loch“.

Geometrische Vorüberlegung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Geometrische Vorüberlegung bezüglich der zwei mittleren Proportionalen (rot) und (blau)

Das nebenstehende Bild sowie das dazu ähnliche Bild im folgenden Abschnitt zeigen den geometrischen Ansatz, den Archytas nutzte, um damit die von ihm gefundene Kurve mithilfe von zwei mittleren Proportionalen zu beschreiben.[37] Die Figur besteht u. a. aus zwei rechtwinkligen, zueinander ähnlichen Dreiecken und mit je einem Thaleskreis. Der zur Grundfläche des Halbzylinders senkrecht stehende und um Punkt drehbare Halbkreis – mit den zwei mittleren Proportionalen und – hat den Durchmesser der Durchmesser des Halbzylinders (s. Bild Kurve des Archytas) ist

Mit eingesetzten Werten aus (1) und (2) gilt nach Hippokrates von Chios:

(3) 
(4) 

Es gelten die folgende Streckenverhältnisse:

(5) 
(6) 

Konstruktion der Kantenlänge des verdoppelten Würfels[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Würfelverdoppelung mit einem Teil der Kurve des Archytas (rot);
zwecks Übersichtlichkeit ist der Rotationstorus im Abschnitt Kurve des Archytas dargestellt. Ist in der Animation erreicht, entspricht dies dem in der kleinen Skizze dargestellten geometrischen Ansatz des Archytas.
Animation, dazwischen 15 s und am Ende 25 s Pause.
Siehe Animation der Konstruktion

Für eine zeichnerische Darstellung – wie im nebenstehenden Bild – bedarf es einer dynamischen-Geometrie-Software (DGS).[36]

Es beginnt mit dem Zeichnen des Einheitskreises mit Durchmesser . Der anschließende Radius um schneidet den Kreis in Es folgen eine Tangente durch und die Verlängerung der Strecke beide schneiden sich im Punkt Eine Parallele zu ab schneidet den Durchmesser in und den Kreis in

Als Nächstes wird ein kurzer Kreisbogen um mit dem Radius gezogen und darauf der Punkt mit frei wählbarer Position festgelegt. Nach dem Verbinden des Punktes mit ergibt dies die Schnittpunkte auf sowie auf dem Halbkreis Es folgen ein Halbkreis über und eine Senkrechte auf in sie ergeben den Schnittpunkt auf dem Halbkreis über Der nächste Halbkreis über und eine Senkrechte auf in ergeben den Schnittpunkt auf dem Halbkreis über Das Errichten des Halbzylinders (Höhe ca. 2,5) über dem Halbkreis schließt sich an.

Es geht weiter mit dem Ziehen eines Kreisbogens um den Punkt mit dem Radius er schneidet in die Verlängerung der Kante des Halbzylinders, die zu führt. Nun wird der Punkt mit verbunden. Eine Linie von durch den Punkt bis zum Kreisbogen gezogen ergibt den Schnittpunkt Die Verbindung mit erzeugt das mit dem Dreieck kongruente Dreieck Dies ist möglich, da der Halbkreis über und der Viertelkreis zueinander parallel sind. Betrachtet man im Kontext die beiden ebenfalls kongruenten Dreiecke und sowie den Kreisbogen um so ist das Viertel eines Kegels mit dessen Höhe zu erkennen. Nach dem Verbinden der Punkte mit sowie mit ergeben sich schließlich die beiden maßgeblichen rechtwinkligen Dreiecke und

Der Halbkreis über – die Schnittfläche eines nicht eingezeichneten Rotationstorus ohne „Loch“ – soll nun um den Punkt so weit gegen den Uhrzeigersinn gedreht werden, bis die Hypotenuse des ebenfalls, aber im Uhrzeigersinn, gedrehten Dreiecks den Halbkreis über in schneidet. Es ist zu beachten, dass die Strecken und senkrecht aufeinander stehen. Nach dem Höhensatz von Euklid ergibt sich damit

Es folgt aus , dass der Winkel in dieser Stellung gleich ist. Die vier Dreiecke , und sowie sind daher zueinander ähnlich. Die so einregulierte Strecke entspricht der gesuchten Kantenlänge des verdoppelten Würfels, siehe oben.

Der Punkt im Dreieck bestimmt während der Drehung des Halbkreises über die (rote) Kurve des Archytas auf der Mantelfläche des Halbzylinders.

  • Für einen exakten Haltepunkt (Punkt trifft auf die Hypotenuse des Dreiecks ) der animierten Drehung des Halbkreises über wird die Strecke mithilfe der dynamischen Geometrie-Software GeoGebra bestimmt.

Mithilfe von Parabeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Menaichmos: Der Schnittpunkt der zwei Parabeln liefert die beiden mittleren Proportionalen und
somit gilt auch
sowie  und 

Menaichmos löste das Problem bezüglich Konstruktion der zwei erforderlichen mittleren Proportionen als Schnitt zweier Kegelschnitte (basierend auf Hippokrates’ Umformung des Problems).[38]

Dazu schreibt Johann Christoph Sturm:
(typographisch normalisiert)

Auflösung.
So nun gegeben sind zwey gerade Lineen AB und BC, zwischen welchen zwey mittlere
gleichverhaltende sollen gefunden werden/ so setze die beyde gegebene winkelrecht auf einander/
und verlängere sie gegen D und E, ohne Maaß/ hinaus; beschreibe so dann/ nach Erforderung
der Lini BC, umb BE eine Parabel/ (also nehmlich/ daß die Vierung einek jeden/ von ihrem
Umbkreiß auf BE senkrecht gezogenen/ Lini (als hier die Vierung EF) gleich sey dem Recht-
ekk aus BC und bem [dem][39] Teihl der Mittel-Lini zwischen B und der vorigen senkrechten (hier BE)
Besihe unten die Anmerkung. Wiederumb beschreibe/ voriger massen/ umb BD, nach
Erforderung der Lini AB eine andere Parabel/ und aus dem Punct F, in welchem sie einander
durchschneiden/ ziehe die senkrechte Lineen FD und FE, so werden BE und BD die begehrte
zwey mittlere gleichverhaltende seyn.“

Johann Christoph Sturm: Des Unvergleichlichen ARCHIMEDIS Kunst-Bücher. 1670[40]

Zissoide des Diokles[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bild 1: Zissoide des Diokles, Animation

Diokles löste das Problem der beiden mittleren Proportionalen mit der nach ihm benannten Kurve, auch bekannt als Kissoide des Diokles.

Bezeichnet man die beiden Proportionalen mit und so ergibt sich als zu lösendes Konstruktionsproblem „die doppelte Proportion zwischen a und 2a“.[12]

Darin ist die gesuchte Seitenlänge (im Bild 2 mit bezeichnet), es gilt

[12]
Vorüberlegung
Bild 2: Würfelverdoppelung mithilfe der Zissoide des Diokles

Die kartesischen Koordinaten der Zissoide sind z. B.

[41]

Die Konstruktion wird vereinfacht, wenn der Wert des Faktors in den kartesischen Koordinaten der Zissoide gleich dem der Kantenlänge des Ausgangswürfels ist. Es wird nur der Teil des Graphen der Zissoide benötigt, der im 1. Quadranten eines kartesischen Koordinatensystems liegt.

Vorgehensweise

Es sei der Koordinatenursprung, der Mittelpunkt des Halbkreises mit beliebigem Radius und der Durchmesser.

Um einen Punkt auf der Zissoide zu bestimmen (siehe Bild 1), bedarf es der zwei Parallelen und die senkrecht auf dem Durchmesser stehen und den gleichen Abstand zum Mittelpunkt haben. Nach der Verlängerung der Strecke über hinaus erzeugt die Halbgerade, gezogen ab durch bis zur Verlängerung, den auf der Zissoide liegenden Schnittpunkt

Eine kontinuierliche Veränderung des Abstandes der beiden Parallelen und zueinander erzeugt, mithilfe des dadurch bewegten Punktes im Koordinatenursprung den Graphen der Zissoide im 1. Quadranten.

Es geht weiter (siehe Bild 2) mit der auf dem Durchmesser senkrecht stehenden Strecke mit der Länge gleich Die Verbindung des Punktes mit schneidet den Graphen der Zissoide in Die abschließende Verbindung des Punktes mit liefert mit die gesuchte Seite des verdoppelten Würfels.

Die parallel zu strichliert eingezeichnete Strecke dient lediglich der Beweisführung.[12]

Iterative Näherungskonstruktion der Kubikwurzel [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus oben bereits beschriebenen Gründen kann das Ergebnis der Kubikwurzel aus nicht mit Zirkel und Lineal mit endlichen Konstruktionsschritten exakt dargestellt werden.

Einen Weg für sehr gute Näherungen ermöglicht das Newtonverfahren.[42] Im Folgenden wird es verwendet, um für die Würfelverdoppelung die reelle Nullstelle der Funktion

Die Funktion liefert zwar den exakten Wert , ist aber nicht allein mit Zirkel und Lineal konstruierbar.
[43]

als Näherung mit wenigen Iterationschritten zu erreichen.

Als Startwert kann genommen werden. Die Iterationsschritte des Algorithmus sind durch

definiert.

Weil der Ausdruck für nur die Grundrechenarten enthält, lässt sich das Ergebnis jedes Iterationsschritts als Strecke mit Zirkel und Lineal konstruieren.

Berechnung der Iterationsschritte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Formel

liefert der Term auf der rechten Seite der Gleichung das Ergebnis des ten Iterationsschrittes. Ein Iterationsschritt setzt sich aus sechs algebraische Operationen zusammen, von denen stets die Fünfte der Zähler und die Zweite der Nenner eines unechten Bruchs sind.

1. Iterationsschritt , fünf Operationen haben z. B. eingesetzter Wert für

Verdeutlichung der berechneten Werte:
entspricht dem 1. Interationsschritt mit sowie
dem 3. Iterationsschritt mit
Der nicht eingezeichnete 2. Iterationsschritt mit liegt bereits sehr nahe an

2. Iterationsschritt , fünf Operationen haben z. B. eingesetzter Wert für

3. Iterationsschritt , fünf Operationen haben z. B. eingesetzter Wert für

Dieser Ablauf lässt sich beliebig oft wiederholen. Es liegt quadratische Konvergenzgeschwindigkeit vor, was das Verfahren vergleichsweise effizient macht.

Konstruktion mit Zirkel und Lineal[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bereits nach zwei Iterationsschritten ist die Effizienz der Anwendung des Newtonverfahrens gut erkennbar, der bis dahin erreichte Näherungswert ist Es folgt nun eine konstruktive Weiterführung bis zum Erreichen des 3. Iterationsschritts mit dem Näherungswert .

Zuerst wird der unechte Bruch umformuliert in den (unechten) Dezimalbruch und anschließend als exakte Länge auf einer Zahlengerade (Bild 1) abgebildet. Dazu eignet sich z. B. die Methode Konstruktion einer Dezimalzahl mithilfe des 3. Strahlensatzes. Wegen der Größenverhältnisse ist es von Vorteil, dies in einem eigenen Bild zu zeigen.

Im nächsten Schritt wird die Länge (rot) aus Bild 1 in das Bild 2 (grün, Ziffer 2) übertragen. Es folgt das Bestimmen der Quadratzahl (Ziffer 3) und der Kubikzahl (Ziffer 4) von Im fünften Schritt wird die Kubikzahl von mit dem Faktor multipliziert und die Zahl addiert. Abschließend (Ziffer 6) wird der Quotient (rot) ermittelt:

Bild 1
Konstruktion des 3. Iterationsschritts, Operation 1: Bruch
Bild 2
Konstruktion des 3. Iterationsschritts, Operationen 2–6 liefern

Beispiel, um den Fehler zu verdeutlichen

Bei einem Ausgangswürfel mit der Kantenlänge  m wäre die Kante des nur näherungsweise verdoppelten Würfels ca.  mm zu lang.

In der Musiktheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Grosse terz c e.gif

In der Musiktheorie ist ein natürliches Analogon der Verdoppelung der Sprung eines Tons um eine Oktave, also jenes musikalische Intervall, das durch die Verdopplung der Frequenz des Tons entsteht. Ein natürliches Analogon eines Würfels (mit Rauminhalt 2) ist die Aufteilung der Oktave in drei Teile, die jeweils das gleiche Intervall haben – dies steht für die drei gleichen Seitenlängen des Würfels. In diesem Sinne wird das Problem der Verdoppelung des Würfels durch die große Terz in der gleichstufigen Stimmung gelöst. Dies ist ein musikalisches Intervall, das genau ein Drittel einer Oktave ausmacht. Es multipliziert die Frequenz eines Tons mit , also mit genau der Seitenlänge des verdoppelten Würfels.[44]

Das Bild an der Seite zeigt die große Dur-Terz C-E. Das Verhältnis der Frequenzen beider Töne (E:C) entspricht dabei genau .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Arthur Donald Steele: Über die Rolle von Zirkel und Lineal in der griechischen Mathematik. In: Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik. Abteilung B, Band 3, 1936, S. 287–369 (harvard.edu [PDF; 8,8 MB]).
  • Claas Lattmann: Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid (= Science, Technology, and Medicine in Ancient Cultures. Band 9). Walter de Gruyter, Berlin/Boston 2019, S. 177–270 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  • Markus Asper: Mathematik. Die griechische Mathematik bis zum Ende des Hellenismus. In: Bernhard Zimmermann, Antonios Rengakos (Hrsg.): Handbuch der griechischen Literatur der Antike. Band 2: Die Literatur der klassischen und hellenistischen Zeit (= Handbuch der Altertumswissenschaft. Band 7,2). C.H.Beck, München 2014, S. 459–481 (Vorschau in der Google-Buchsuche).
  • Jesper Lützen: Why was Wantzel overlooked for a century? The changing importance of an impossibility result. In: Historia Mathematica. 36, 2009, S. 374–394, doi:10.1016/j.hm.2009.03.001.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Commons: Würfelverdoppelung – Sammlung von Bildern
Wikibooks: Verdoppelung des Würfels – Lern- und Lehrmaterialien
Wikisource Wikisource: Delisches Problem – Artikel der 4. Auflage von Meyers Konversations-Lexikon

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Siehe als englische Übersetzung mit Kommentar: Reviel Netz: The works of Archimedes. Translated into English, together with Eutocius’ commentaries, with commentary, and critical edition of the diagrams. Band 1: The Two Books On the Sphere and the Cylinder. Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0-521-66160-9, hier S. 272–306.
  2. Zur Echtheit des bei Eutokios überlieferten Brieftextes W. R. Knorr: The Ancient Tradition of Geometric Problems. Boston 1986, S. 17–24. Zur Frage, welcher König Ptolemaios gemeint ist, siehe etwa W. R. Knorr: Textual Studies in Ancient and Medieval Geometry. Boston 1989, S. 144 f.
  3. a b c Reviel Netz: The works of Archimedes. Translated into English, together with Eutocius’ commentaries, with commentary, and critical edition of the diagrams. Band 1: The Two Books On the Sphere and the Cylinder. Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0-521-66160-9, S. 294.
  4. Richard Kannicht, Bruno Snell: Tragicorum Graecorum Fragmenta. 2. Auflage. Band 2. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 2007, S. 62, Fragment Adespota F 166; zur Behandlung des Glaukos-Stoffes bei den Tragödiendichtern siehe Georg Weicker: Glaukos 23. In: Paulys Realencyclopädie der classischen Altertumswissenschaft (RE). Band VII,1, Stuttgart 1910, Sp. 1415 f.
  5. Eine ausführliche Analyse des antiken Quellenmaterials zur Delier-Anekdote und den möglichen historischen Grundlagen bietet Claas Lattmann: Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid (= Science, Technology, and Medicine in Ancient Cultures. Band 9). De Gruyter, Berlin/Boston 2019, S. 187–206; zu den drei mechanischen Ansätzen und Platons Kritik ebd., S. 220–241.
  6. Reviel Netz: The works of Archimedes. Translated into English, together with Eutocius’ commentaries, with commentary, and critical edition of the diagrams. Band 1: The Two Books On the Sphere and the Cylinder. Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0-521-66160-9, S. 273, Anm. 17.
  7. Zum Beispiel Joseph: The crest of the peacock. Princeton UP, 2001, S. 330.
  8. a b c d e Horst Hischer: Moritz Cantor und die krumme Linie des Archytas von Tarent. (PDF; 1,5 MB) Universität Saarland, 2003, S. 74, abgerufen am 2. Dezember 2020 (Preprint No. 86). Printausgabe in: Lisa Hefendehl-Hebeker, Stephan Hußmann (Hrsg.): Mathematikdidaktik zwischen Fachorientierung und Empirie. Festschrift für Norbert Knoche. Franzbecker, Hildesheim/Berlin 2003, ISBN 3-88120-364-8, S. 72–83, S. 74.
  9. a b c Claas Lattmann: Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid. 5.3 Platons Würfelverdopplung und der mechanische Beweis (= Science, Technology, and Medicine in Ancient Cultures. Band 9). Walter de Gruyter, Berlin/Boston 2019, ISBN 978-3-11-061382-7, S. 215 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  10. François Lasserre (Hrsg.): Die Fragmente des Eudoxos von Knidos. Berlin 1966, S. 20–22, 163–166.
  11. Reviel Netz: The works of Archimedes. Translated into English, together with Eutocius’ commentaries, with commentary, and critical edition of the diagrams. Band 1: The Two Books On the Sphere and the Cylinder. Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0-521-66160-9, S. 295.
  12. a b c d Pascal Praß, Adrian De Lont: Würfelverdoppelung mit der Kissoiden. Allgemeine Kissoiden, Seminar über höhere Kurven. Universität Mainz, 2016, S. 12, abgerufen am 5. Juli 2021.
  13. A. D. Steele: Über die Rolle von Zirkel und Lineal in der griechischen Mathematik. In: Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik. Band B 3, 1936, S. 287–369 (auch speziell zum Problem der Würfelverdopplung).
  14. Pierre Wantzel: Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas (= Journal de mathématiques pures et appliquées (Liouville’s Journal). Band 2). 1837, S. 366–372.
  15. Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant: Biographie. Wantzel. In: Nouvelles Annales de Mathématiques. Série 1. Band 7, 1848, ZDB-ID 426713-8, S. 321–331, S. 329: Publikationen im Journal des mathématiques pures (französisch, numdam.org [PDF; 780 kB; abgerufen am 10. April 2021]).
  16. Jesper Lützen: Why was Wantzel overlooked for a century? The changing importance of an impossibility result. In: Historia Mathematica. 36, 2009, S. 378–379.
  17. Jesper Lützen: Why was Wantzel overlooked for a century? The changing importance of an impossibility result. In: Historia Mathematica. 36, 2009, S. 379.
  18. Jesper Lützen: Why was Wantzel overlooked for a century? The changing importance of an impossibility result. In: Historia Mathematica. 36, 2009, S. 391.
  19. Jesper Lützen: Why was Wantzel overlooked for a century? The changing importance of an impossibility result. In: Historia Mathematica. 36, 2009, S. 387.
  20. Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2010, ISBN 978-3-642-02361-3, S. 405.
  21. Falko Lorenz: Algebra Volume I: Fields and Galois Theory, Springer, S. 6–13.
  22. a b Claas Lattmann: Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid. 5.3 Platons Würfelverdopplung und der mechanische Beweis (= Science, Technology, and Medicine in Ancient Cultures. Band 9). Walter de Gruyter, Berlin/Boston 2019, ISBN 978-3-11-061382-7, S. 213 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  23. Klaus Volkert: Geschichte der geometrischen Konstruktionsprobleme I. (PDF; 1,5 MB) In: Vorlesung, Universität zu Köln im WS 06/07; […] Siebeneck. Universität Wuppertal, 2006, S. 20, abgerufen am 15. September 2018.
  24. Heinrich Dörrie: 35. The Delian Cube-doubling Problem. In: 100 Great Problems of Elementary Mathematics. New York, Dover Publications, Inc., 1965, S. 170–171, abgerufen am 5. Mai 2019.
  25. Skip Lester: History of Mathematics. (PDF; 14,2 MB) 7. Isaac Newton (1642–1727) suggested the following construction for duplicating the cube. University of Washington, S. 11, abgerufen am 8. November 2019.
  26. a b c Horst Hischer: Moritz Cantor und die krumme Linie des Archytas von Tarent. (PDF; 1,5 MB) Universität des Saarlandes, 2003, S. 76, abgerufen am 30. Oktober 2020.
  27. Claas Lattmann: Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid. 5.23 Die archäologische und historische Perspektive (= Science, Technology, and Medicine in Ancient Cultures. Band 9). Walter de Gruyter, Berlin/Boston 2019, ISBN 978-3-11-061382-7, S. 199–212 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  28. Claas Lattmann: Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid, 5 Platon und das Delische Problem, 5.2.4 Fazit. Walter de Gruyter, Berlin/Boston 2019, S. 207, letzter Absatz (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
  29. Euklid: Elemente Stoicheia. Buch 1, Proposition 29. Edition Opera-Platonis, Markgröningen 2017, S. 17 (opera-platonis.de [PDF; 469 kB; abgerufen am 12. April 2021]).
  30. Euklid: Elemente Stoicheia. Buch 1, Proposition 32. Edition Opera-Platonis, Markgröningen 2017, S. 19 (opera-platonis.de [PDF; 469 kB]).
  31. Euklid: Elemente Stoicheia. Buch 6, Proposition 4. Edition Opera-Platonis, Markgröningen 2017, S. 4 (opera-platonis.de [PDF; 529 kB; abgerufen am 11. April 2021]).
  32. Übersetzung nach Claas Lattmann: Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid. Walter de Gruyter, Berlin/Boston 2019, ISBN 978-3-11-061382-7, S. 182 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  33. Cambridge University Press (Hrsg.): The Works of Archimedes. Eutocius’ Commentary To On The Sphere And The Cylinder II, As Eratosthenes. University Press, New York 2004, ISBN 0-521-66160-9, S. 294–298 (englisch, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 10. Dezember 2020]).
  34. Bartel Leendert van der Waerden: Science Awakening. 1956, 230 f. Drei Rechtecke oder Dreiecke, die längs eines Lineals verschoben werden konnten, dessen eine Seite frei drehbar war.
  35. a b Thomas Heath: A History of Greek Mathematics. The Duplication Of The Cube, (ζ) Eratosthenes. Band 1. The Clarendon Press, Oxford 1921, S. 259 (englisch, Scan – Internet Archive).
  36. a b Horst Hischer: Moritz Cantor und die krumme Linie des Archytas von Tarent. (PDF; 1,5 MB) Universität des Saarlandes, 2003, S. 79 ff., abgerufen am 1. November 2020.
  37. Rudolf Stopfer: Die Verdoppelung des Würfels, 5. Lösung nach Archytas. Seminar: Klassische Probleme der Antike. Universität Bayreuth, 8. Juni 1997, abgerufen am 30. Oktober 2020.
  38. Horst Hischer: 6.1 Lösungsweg: Schnittpunkt von zwei Parabeln nach Menaichmos. (PDF; 1,2 MB) Zum Problem der Würfelverdoppelung in der Darstellung durch Johann Christoph Sturm 1670. Universität Saarland, 2015, S. 9–10, abgerufen am 1. Mai 2019 (Preprint Nr. 367).
  39. Emendation ergibt sich aus dem Satzzusammenhang.
  40. Johann Christoph Sturm: Der zweyte kunſtrichtige oder Geometriſche Weg … [Der zweyte kunstrichtige oder Geometrische Weg …] In: Des Unvergleichlichen ARCHJMEDJS Kunſt-Bücher. [Des Unvergleichlichen ARCHIMEDIS Kunst-Bücher.] Nürnberg 1670. DTA Deutsches Textarchiv, S. 118 ff., hier S. 119, urn:nbn:de:kobv:b4-20590-8 (Digitalisat und Volltext im Deutschen Textarchiv, abgerufen am 2. November 2020).
  41. Pascal Praß, Adrian De Lont: Würfelverdoppelung mit der Kissoiden. Allgemeine Kissoiden, Seminar über höhere Kurven. Universität Mainz, 2016, S. 9, abgerufen am 5. Juli 2021.
  42. man: Elementary Algebra Aein. In: Docuri. 10. Juli 2016, S. 61–63, abgerufen am 16. Dezember 2020 (englisch).
  43. Paul Bamberg: Differentiability, Newton’s method, inverse functions. canvas.harvard, 7. Juli 2016, S. 31, abgerufen am 16. Dezember 2020 (englisch).
  44. R. C. Phillips: The equal tempered scale. In: Musical Opinion and Music Trade Review. 29 (337), 1905, ZDB-ID 227419-X, S. 41–42.