Kreiseltheorie

Die Kreiseltheorie beschäftigt sich mit rotierenden Körpern, bei denen translatorische Bewegungen und Verformungen von untergeordneter Bedeutung sind.

Körper, auf die diese Beschreibung zutrifft, werden in der Theorie zusammenfassend als Kreisel bezeichnet und beinhalten so verschiedene Objekte wie Spielkreisel, Langgeschosse oder die Erde. Die Kreiselbewegungen sind für Mathematik, Physik und Ingenieurwesen – somit für Theorie und Praxis – gleichermaßen attraktiv. Ziel der Theorie ist es, Anwendungen auf eine sichere Grundlage zu stellen.

Leonhard Euler begründete 1750 die (analytische) Kreiseltheorie mit den nach ihm benannten Kreiselgleichungen, die im körperfesten Bezugssystem die Winkelbeschleunigungen mit den angreifenden Drehmomenten verbinden. Darauf aufbauend definiert die Kreiseltheorie Eigenschaften von Kreiseln (Massenmittelpunkt, Hauptachsen, …), deren Kinematik (Euler-Winkel, Winkelgeschwindigkeit, …) und Kinetik (Trägheitsellipsoid, Euler-Poisson-Gleichungen, …), leitet, auch mit dem Lagrange-Formalismus, Bewegungsfunktionen der Kreisel ab und gibt Methoden (Poinsotsche Konstruktion, Phasenraum­portraits, …), diese anschaulich darzustellen.

Anwendungen findet die Kreiseltheorie in der Eisenbahntechnik (Sinuslauf), der Drallstabilisierung von Schiffen (Schiffskreisel), Raumflugkörpern und Trägheitsnavigationssystemen sowie in der Astronomie und Ballistik.

Geschichte

Leonhard Euler entwickelte 1736 eine Theorie der Präzession und 1750 die Kreiselgleichungen, die er 1758 für den kräftefreien Euler-Kreisel lösen oder zumindest auf elliptische Integrale zurückführen konnte. Joseph-Louis Lagrange leistete 1788 einen wichtigen Beitrag durch Lösung der Gleichungen für den schweren symmetrischen Kreisel mit Fixpunkt. Carl Gustav Jacob Jacobi veröffentlichte 1829 die Theorie der elliptischen-Funktionen und der Theta-Funktionen, mit denen sich die Kreiselgleichungen lösen lassen. Das hat Jacobi am Euler-Kreisel demonstriert und er empfahl 1849 mehrfach, das Problem mit diesen Funktionen anzugehen. Zwischenzeitlich veröffentlichte Siméon Denis Poisson 1838 seine kinematischen Gleichungen, die die Kreiselgleichungen zu den Euler-Poisson-Gleichungen vervollständigen.

Trotz des vielversprechenden Ansatzes mit Theta-Funktionen und Preisausschreiben der preußischen und russischen Akademie der Wissenschaften in den 1850er Jahren erwies sich die „mathematische Nixe“, wie das „Kreiselproblem“ in Deutschland mittlerweile aufgrund seiner Attraktivität und Unnahbarkeit tituliert wurde, als äußerst unzugänglich. Sofia Kowalewskaja entdeckte 1888 den letzten durch Theta-Funktionen lösbaren Fall, den schweren, symmetrischen, inhomogenen Kowalewskaja-Kreisel, womit die analytische Kreiseltheorie zu einem gewissen Abschluss kam. So sind die Standardwerke von Klein und Sommerfeld (entstanden 1896-1910), Richard Grammel (1920, 1950) oder Kurt Magnus (1971) noch zu Beginn des 21. Jahrhunderts benutzbar. Ein Beleg dafür ist, dass ersteres Werk noch 100 Jahre nach seinem Erscheinen ins englische übersetzt wurde.

A. M. Ljapunow bewies 1894, dass die drei Fälle von Euler, Lagrange und Kowalewskaja die einzigen sind, in denen die Lösung der Euler-Poisson-Gleichungen bei beliebigen Anfangsbedingungen eine eindeutige Funktion der Zeit ist, und É. Husson zeigte 1905, dass diese Kreisel auch die einzigen mit algebraischen Integralen lösbaren Fälle sind. Somit gelingt die Lösung mittels algebraischer Integrale nur in den Fällen, wo die Bewegung eine eindeutige Funktion der Zeit ist. Darüber hinaus können nur spezielle Bewegungen integrabel sein. Um 1900 haben Mathematiker viele neue integrierbare Spezialfälle gefunden, aber die Frage nach der Lösbarkeit der großen Mehrheit der Kreiselbewegungen bleibt bis ins 21. Jahrhundert hinein offen.

Wenngleich sich die klassische Kreiseltheorie überwiegend mit dem starren Körper mit Fixpunkt befasste, so wurden doch auch kreiselähnliche Erscheinungen an rotierenden Ketten, verformbaren Körpern – insbesondere der Erde – oder Flüssigkeiten untersucht. Durch die Raumfahrt kamen neue Problemstellungen hinzu, wie beispielsweise

• die Selbsterregung (im körperfesten System aufgebrachte Momente) zwecks Stabilisierung und Lageregelung, siehe Stabilisierung (Raumfahrt),
• die Bewegungen von Körpern mit veränderlichen Massen,
• die Bewegungen starrer Körper mit Flüssigkeitsfüllung,
• die Drehbewegungen in einem zentralen Schwerefeld oder
• die Beeinflussung von Translations- und Rotationsbewegungen.

Ab Mitte des 20. Jahrhunderts entwickelten sich die Computerhard- und -software und mit ihnen die numerische Simulation soweit, dass mit ihrer Hilfe die Bewegungsgleichungen bei beliebigen Anfangsbedingungen und jeder gewünschten Genauigkeit berechnet werden können. Die analytischen Lösungen verloren nun die früher berechtigte, zentrale Bedeutung und die nicht integrablen Fälle rückten in den Fokus. Analytische und geometrische Methoden zu ihrer Untersuchung entstanden, die auch immer wieder durch den Kowalewskaja-Kreisel motiviert waren, der die Wissenschaft das gesamte 20. Jahrhundert hindurch beschäftigte. Die Untersuchungsmethoden der integrablen Fälle wurden zu Beginn des 21. Jahrhunderts auf die nicht integrablen dynamischen Systeme übertragen.

Eigenschaften der Kreisel und ihrer Bewegungen

Die Kreiseltheorie versteht unter einem Kreisel einen beliebig gestalteten starren Körper, der Drehbewegungen ausführt. Dieses idealisierende Modell für wirkliche Kreisel ermöglicht deren Verhalten mit einfacheren mathematischen Hilfsmitteln zu erfassen. Die klassische Kreiseltheorie konzentrierte sich auf den schweren Kreisel, der in einem Inertialsystem in einem seiner Punkte derart festgehalten wird, dass er sich um diesen Punkt noch irgendwie drehen kann. Diese Forderung stellt nur eine kleine Einschränkung dar, denn jede Starrkörperbewegung lässt sich in Rotation und Translation zerlegen, und sofern letztere (näherungsweise) gleichförmig ist, spielt sie für die Kreiselbewegung keine Rolle. Durch die Fixierung in einem Punkt verringert sich die Anzahl der Freiheitsgrade des Starrkörpers von sechs auf drei.

Die Geschwindigkeit der Drehbewegung ist in der Kreiseltheorie unwesentlich. Der relativ langsam umlaufende „Erdkreisel“ unterliegt den Kreiselgesetzen genauso wie ein mit 60.000 U/min rotierender technischer Kreisel, allerdings vereinfachen sich die Gestzmäßigkeiten bei diesen sogenannten schnellen Kreiseln außerordentlich. Die Trägheitseigenschaften von Kreiseln lassen sich anschaulich durch Ellipsoide darstellen:

• am Trägheitsellipsoid können die Trägheitsmomente abgelesen werden,
• das Massenellipsoid hat dieselben Trägheitseigenschaften wie der betrachtete Körper,
• das Energieellipsoid besteht aus allen Drehgeschwindigkeiten und
• das MacCullagh-Ellipsoid aus allen Drehimpulsen, die zur selben Rotationsenergie führen.

Die Ellipsoide rotieren mit dem Kreisel mit und die Lage der Halbachsen sowie ihre relativen Längen sind wichtige, den Kreisel charakterisierende physikalische Größen. Denn eine Koordinate des Massenmittelpunkts kann dazu verwendet werden, die Längen im Modell zu skalieren, und ein Hauptträgheitsmoment, um die Zeit oder Energie zu skalieren. Zwei Kreisel mit zueinander ähnlichen Ellipsoiden und vergleichbarer Lage des Massenmittelpunkts bewegen sich daher ähnlich. Das motiviert die vielen Begriffe zur Beschreibung der Massenverteilung von Kreiseln, wie symmetrischer und unsymmetrischer Kreisel, die noch prolat oder oblat bzw. lang-, mittel- oder kurzachsig sein können.

Drehgeschwindigkeit und Drehimpuls

Die Winkelgeschwindigkeit lässt sich kompakt als Vektor ausdrücken: Seine Richtung definiert die Drehachse und sein Betrag die Drehgeschwindigkeit um diese Achse. Gleiches gilt für den Drehimpuls, der ein Maß für den Schwung des Kreisels ist und der ebenfalls Richtung und Betrag besitzt.

Die Dynamik des Kreisels lässt sich mit dem Drehimpuls ähnlich der Dynamik des Massenpunkts formulieren:

1. Der kräftefreie Kreisel bewegt sich so, dass sein Drehimpuls nach Betrag und Richtung konstant bleibt (so wie sich ein kräftefreier Massenpunkt gleichförmig bewegt).
2. Unter dem Einfluss von Drehmomenten bewegt sich der Kreisel derart, dass die Änderungsgeschwindigkeit des Drehimpulsvektors nach Richtung und Betrag gleich dem angreifenden Moment ist (so wie die Beschleunigung des Massenpunkts in Richtung einer angreifenden Kraft erfolgt).

Die Analogien zwischen Rotation und Translationsbewegung hören jedoch dort auf, wo die typischen Kreiselbewegungen beginnen. Denn während Impuls und Geschwindigkeit bei der Translation immer parallel und proportional zueinander sind, trifft das auf Drehimpuls und Drehgeschwindigkeit in den kreiseltheoretisch interessanten Fällen nicht zu. Wird ein anfangs ruhender Kreisel durch einen Drehstoß um eine Achse in Drehung versetzt, muss er anschließend keineswegs um diese Achse kreisen. Bei konstantem Drehimpuls muss die Winkelgeschwindigkeit mitnichten konstant sein und umgekehrt, was der Dschanibekow-Effekt eindrücklich untermauert, siehe auch #Drehimpuls und Rotationsenergie von Kreiseln.

Drallsatz

→ Hauptartikel: Drallsatz

Abb. 1: Zur Regel vom gleichsinnigen Parallelismus

Das in der Kreiseltheorie wichtigste physikalische Gesetz ist der Drallsatz, der sich beim Kreisel als Regel vom gleichsinnigen Parallelismus ausdrückt, siehe Abb. 1.: Greift am Kreisel ein Drehmoment M an, dann versucht der Kreisel seine Drehbewegung, ausgedrückt durch den Drehimpuls L, dem Drehsinn des Moments gleichsinnig parallel auszurichten, was im Bild blau angedeutet ist. Aus diesem Grundsatz leiten sich viele Eigenschaften der Kreiselbewegungen ab. Wirkt auf den Kreisel beispielsweise eine Kraft, dann ist das von ihr ausgeübte Drehmoment senkrecht zu ihr und somit weicht ein rotierender Kreisel einer Kraft immer senkrecht zu ihrer Wirkungslinie aus. Das gilt jedoch nur für den Drehimpuls und nicht notwendigerweise auch für die Drehachse oder eine Symmetrieachse des Kreisels.

Der Drallsatz besagt, dass um den Drehimpuls eines Kreisels zu verändern, ein Drehmoment angreifen muss. Ohne solche Momente bleibt der Drehimpuls in Betrag und Richtung erhalten. Aus dem Drallsatz leiten sich auch die Euler’schen Kreiselgleichungen ab, mit denen die rechnerische Behandlung der Kreiselbewegungen erfolgt. Der Drehimpuls und die Drehachse sind nur in Spezialfällen parallel. Im Allgemeinen gilt:

• Bei konstantem Drehimpuls ändert sich bei freier Bewegung fortlaufend die Drehachse und der Kreisel taumelt oder „eiert“.
• Wird die Drehachse festgehalten, dann ändert sich fortlaufend der Drehimpuls, wofür die Halterungen der Drehachse die dazu notwendigen Momente einbringen und die Kreiselwirkungen abtragen müssen.

Kreiselwirkung

→ Hauptartikel: Kreiselwirkung

Das auffälligste Merkmal von Kreiseln ist die des gyroskopischen Effekts oder der Kreiselwirkung, die sich als verblüffende Kraftäußerung bemerkbar macht, wenn man versucht, die Drehachse eines Kreisels in eine neue Lage zu bringen. Die Kreiselwirkung äußert sich dabei als Widerstand, der über das beim ruhenden Körper bekannte Maß weit hinausgehen kann.

Die Kreiselwirkung versucht nach der Regel des gleichsinnigen Parallelismus die Achse der Eigendrehung in Richtung und Orientierung mit der Achse der erzwungenen Drehung zur Deckung zu bringen. Die Kreiselwirkung ist eine d’Alembertsche Trägheitskraft und als solche ein einem angreifenden Moment entgegengesetzt gleichgroßes Moment: Moment und Kreiselwirkung befinden sich im dynamischen Gleichgewicht.

Die Kreiselwirkung ist gleich der Summe der im Körper durch die Euler- und Zentrifugalkräfte ausgeübten Momente, siehe #Euler’sche Kreiselgleichungen. In den Richtungen senkrecht zum angreifenden Moment neutralisieren sich die Kreiselwirkungen der Euler- und Zentrifugalkräfte und befinden sich dort untereinander im dynamischen Gleichgewicht. Die Euler-Kräfte sind Ausdruck von Winkelbeschleunigungen, die dort von den Zentrifugalkräften im Kreisel hervorgerufen werden. Umgekehrt führen die Winkelbeschleunigungen zur Änderung der Drehachse und Drehgeschwindigkeit, was die Zentrifugalkräfte beeinflusst. Auswirkung dieses dynamischen Wechselspiels ist besagtes Taumeln und „Eiern“ des kräftefreien Kreisels. Die Kreiselwirkungen werden bei Kurvenkreiseln, Kollermühlen und der Drallstabilisierung technisch ausgenutzt.

Drallstabilisierung

→ Hauptartikel: Drallstabilisierung

Abb. 2: Schwungrad zur Erläuterung der Drallstabilisierung

Eine der technisch wertvollsten Eigenschaften von Kreiseln ist die Möglichkeit, mit ihnen Körper in ihrer räumlichen Ausrichtung zu stabilisieren. Dies wird, wie schon eingangs erwähnt, bei Schiffen, Raumflugkörpern und Geschossen ausgenutzt.

Um die Drallstabilisierung zu erläutern, wird die Bewegung des Schwungrads in Abb. 2 betrachtet, wobei die Figurenachse (anfänglich in y-Richtung) frei ist, so dass sie ihre Richtung beliebig ändern kann. Auf dieses ansonsten kräftefreie Schwungrad wirke eine kurze Zeit in z-Richtung ein konstantes Moment M_z, das das Schwungrad in Drehung um z versetzt. Diese Drehung macht sich am ruhenden und rotierenden Schwungrad jedoch unterschiedlich bemerkbar:

1. Ruht das Schwungrad, dann beginnt es durch das Moment um z zu rotieren. Nachdem das Moment aufgehört hat zu wirken, verharrt das Schwungrad in der Drehung um z, es gibt keine Kreiselwirkung und der Drehwinkel ψ der Figurenachse um z nimmt monoton zu und ist unbeschränkt. Die Winkelgeschwindigkeit und der Drehimpuls haben nur eine Komponente und die weist in z-Richtung. Der Neigungswinkel ϑ zwischen Figurenachse und Momentenachse z bleibt unverändert.
2. Rotiert das Schwungrad anfänglich hinreichend schnell um die Figurenachse, dann zeigt sich ein anderes Bild. Zwar führt das Moment auch hier zu einer linearen Zunahme des Drehimpulses in z-Richtung, aber weil sich diese Komponente zum anfänglichen (als viel größer angenommenen) Drehimpuls in y-Richtung vektoriell addiert, der Drehimpuls also weiter vor allem in y-Richtung orientiert ist, und Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit einen spitzen Winkel einschließen (siehe #Drall und Rotationsenergie von Kreiseln), dreht das Schwungrad weiter vor allem um die y-Achse. Dadurch bleibt der Drehwinkel ψ der Figurenachse um z beschränkt. Nach der Regel vom gleichsinnigen Parallelismus versucht der Kreisel seine Drehung dem angreifenden Moment anzugleichen, wodurch der Winkel ϑ abnimmt.

Ursache für den geringen Einfluss des Moments auf die Drehung des rotierenden Schwungrads um z sind Trägheitskräfte, die Kreiselwirkungen aufbauen. Wird die Drehachse durch Lager irgendwie gehalten, neutralisieren sie diese Kreiselwirkungen und können die Trägheitskräfte nicht ihr Potenzial entfalten. Drallstabilisierung tritt nur bei Kreiseln auf, die ihre volle Bewegungsfreiheit in drei Drehfreiheitsgraden besitzen. Aber selbst dann gelingt eine Drallstabilisierung nicht immer, wie William Thomson, 1. Baron Kelvin und Peter Guthrie Tait zeigen konnten.

Bewegungen von Kreiseln mit Fixpunkt

Abb. 3: Bewegungsform eines symmetrischen, prolaten, kräftefreien Kreisels

Betrachtet werden freie Bewegungen, bei denen die Drehachse ihre Richtung ändern kann.

Die Bewegungen des kräftefreien Kreisels werden in der Kreiseltheorie Nutation genannt und die fremderregten Präzession. Allerdings sind diese Bezeichnungen nicht einheitlich. Arnold beispielsweise nennt die periodische Änderung der Neigung der Figurenachse gegenüber der Lotlinie beim Lagrange-Kreisel Nutation und die azimutale Drehung Präzession.

Die Drehachse eines Kreisels ist nicht körperfest, sie kann sich also relativ zum Kreisel bewegen und überstreicht dabei den körperfesten Gangpolkegel oder kurz Polkegel. Gleichzeitig bewegt sich die Drehachse auch im Raum und erzeugt dadurch eine Fläche, den Rastpol- oder Spurkegel. Die Leitkurve der Kegel ist der Endpunkt des Winkelgeschwindigkeitsvektors, der teils chaotisch schwankt, nur selten einen Zustand zweimal einnimmt und beliebig geformte Spurkegel und Polkegel erzeugt. Beim Kreisel mit Fixpunkt befinden sich die Spitzen der Kegel in diesem Punkt und der Polkegel rollt schlupf­los auf dem Spurkegel ab. Beim symmetrischen Euler-Kreisel sind die Kegel Kreiskegel und die Bewegung besonders anschaulich, siehe Bild.

Der kräftefreie Kreisel befolgt mangels äußerer Einwirkungen den Energieerhaltungssatz. Solche Erhaltungsgrößen sind in der Kreiseltheorie von großem Interesse und werden #Integrale der Bewegung genannt. Dem Spielkreisel nahe verwandt ist der Lagrange-Kreisel, an dem paradoxe Kreiselerscheinungen auffallen:

• die Präzession mit horizontaler Figurenachse und
• das Auffrichten des Kreisels entgegen der Schwerkraft.

Beim Kowalewskaja-Kreisel sind die Bewegungsfunktionen mathematisch anspruchsvoll und fast alle seine Bewegungen ändern ihr Stabilitätsverhalten wenn sie schneller oder langsamer erfolgen. Der deutsche Mathematiker Wilhelm Hess entdeckte 1890 das loxodromische Pendel, dessen Schwerpunkt sich wie bei einem sphärischen Pendel unter kreiselspezifischer Schwerebeschleunigung bewegt.

Jeder Kreisel kann permanente Staude-Drehungen um eine körperfeste lotrechte Achse ausführen. Ebenfalls sind pseudoreguläre Präzessionen möglich, wenn der Drehimpuls groß und nahe einer Symmetrieachse ausgerichtet ist. Die Bewegung gleicht der regulären Präzession, bei der der Kreisel um eine raumfeste und eine andere körperfeste Achse gleichmäßig rotiert und die beiden Achsen einen gleichbleibenden Winkel einschließen. Bei der pseudoregulären Präzession treten jedoch mit dem Auge kaum wahrnehmbare, kleine, überlagernde, zykloiden­ähnliche Oszillationen der Drehachse auf, die nach einem der Astronomie entlehnten Wort ebenfalls Nutationen genannt werden.

Eine Zusammenstellung der wenigen Fälle, in denen bis Anfang des 21. Jahrhunderts exakte Lösungen der Bewegungsgleichungen gelungen sind, finden sich bei den Euler-Poisson-Gleichungen. Die Energiefläche, auf der die Winkelgeschwindigkeit entlangfährt, kann bei allen Kreiseln analytisch beschrieben werden und es zeigt sich, dass die Fläche in relativen Gleichgewichten verzweigen kann, beispielsweise wenn der Kreisel die aufrechte Position passiert. In solchen Verzweigungspunkten ändert die Energiefläche ihre Eigenschaften (Topologie), was analytisch darstellbar und kreiseltheoretisch von Interesse ist.

Kinematik von Kreiseln

Die Kinematik der Kreisel beschreibt die Eigenschaften ihrer Bewegung, die nicht von der Masse abhängen.

Bezugssysteme und Euler-Winkel

→ Hauptartikel: Bezugssystem

Abb. 4: Das eulersche Basissystem (grün) gibt die Achsen an, um die die Euler-Winkel ψ=α, ϑ=β und φ=γ drehen.

In der Kreiseltheorie werden vor allem zwei Bezugssysteme verwendet:

Im Inertialsystem (blau in Abb 4), in dem der Bezugspunkt ruht und der Kreisel rotiert, werden die Euler-Winkel definiert, die die Orientierung der Hauptachsen des Kreisels im Raum angeben. Der zeitliche Verlauf der Winkel bestimmt die Bewegungsfunktion des Kreisels. Im raumfesten System können die Massenträgheitsmomente um nicht festgehaltene Achsen zeitlich variabel sein.

Im mitrotierenden körperfesten Bezugssystem (rot) sind die Bewegungsgleichungen besonders leicht zu formulieren, weil dort die Trägheitsmomente zeitlich konstant sind. In den Bewegungsgleichungen müssen hier auftretende Trägheitskräfte berücksichtigt werden. Diese sind die Euler-Kraft und die Fliehkraft. Corioliskräfte kommen hier nicht vor, weil beim Starrkörper eine Bewegung seiner Massenpunkte relativ zum Körper ausgeschlossen ist.

In der Kreiseltheorie werden die Basisvektoren im raumfesten Bezugssystem mit den Euler’schen Winkeln in der Standard-x-Konvention (z, x', z") ausgedrückt, siehe Abb. 4. Der Winkel ψ ist der Präzessionswinkel, ϑ der Neigungswinkel und φ bestimmt die Eigendrehung des Kreisels. Bezeichnen die Einheitsvektoren ê_x,y,z die raumfeste Standardbasis (blau in Abb. 4) und ê_X,Y,Z = ê_1,2,3 die mit dem Körper rotierende, bewegte Basis (rot in Abb. 4), dann lauten die mitbewegten Basiseinheitsvektoren bezüglich der raumfesten Basis:

${\begin{aligned}{\hat {e}}_{1}=&{\begin{pmatrix}\cos(\psi )\cos(\varphi )-\sin(\psi )\cos(\vartheta )\sin(\varphi )\\\sin(\psi )\cos(\varphi )+\cos(\psi )\cos(\vartheta )\sin(\varphi )\\\sin(\vartheta )\sin(\varphi )\end{pmatrix}}\\{\hat {e}}_{2}=&{\begin{pmatrix}-\cos(\psi )\sin(\varphi )-\sin(\psi )\cos(\vartheta )\cos(\varphi )\\-\sin(\psi )\sin(\varphi )+\cos(\psi )\cos(\vartheta )\cos(\varphi )\\\sin(\vartheta )\cos(\varphi )\end{pmatrix}}\\{\hat {e}}_{3}=&{\begin{pmatrix}\sin(\psi )\sin(\vartheta )\\-\cos(\psi )\sin(\vartheta )\\\cos(\vartheta )\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Der Vektor

${\hat {e}}_{N}:={\frac {{\hat {e}}_{z}\times {\hat {e}}_{3}}{\sin(\vartheta )}}={\begin{pmatrix}\cos(\psi )\\\sin(\psi )\\0\end{pmatrix}}$

markiert die Knotenachse (gelbes N im Bild). Der Zusammenhang zwischen den Winkelgeschwindigkeiten und Vektoren ist

${\begin{aligned}{\vec {\omega }}=&\omega _{1}{\hat {e}}_{1}+\omega _{2}{\hat {e}}_{2}+\omega _{3}{\hat {e}}_{3}={\dot {\psi }}{\hat {e}}_{z}+{\dot {\vartheta }}{\hat {e}}_{N}+{\dot {\varphi }}{\hat {e}}_{3}\\\omega _{1}=&{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\sin(\varphi )+{\dot {\vartheta }}\cos(\varphi )\\\omega _{2}=&{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\cos(\varphi )-{\dot {\vartheta }}\sin(\varphi )\\\omega _{3}=&{\dot {\psi }}\cos(\vartheta )+{\dot {\varphi }}\\{\dot {\psi }}=&{\frac {\omega _{1}\sin(\varphi )+\omega _{2}\cos(\varphi )}{\sin(\vartheta )}}\\{\dot {\vartheta }}=&\omega _{1}\cos(\varphi )-\omega _{2}\sin(\varphi )\\{\dot {\varphi }}=&\omega _{3}-{\dot {\psi }}\cos(\vartheta )\end{aligned}}$

Häufig werden die Komponenten ω_1,2,3 im Hauptachsensystem auch mit p, q und r bezeichnet und gelegentlich tauschen die Winkel ψ und φ die Bedeutung.

Bei sinϑ = 0 tritt eine Singularität auf, weil dann, wegen cosϑ = ±1, die Winkel ψ und φ in den Basisvektoren nach den Additionstheoremen nur als Kombination ψ ± φ vorkommen und somit verschiedene Winkel zur selben Basis führen können.

Euler’sche Geschwindigkeitsgleichung

Die Bewegungsfunktion starrer Körper ist durch die Euler’sche Geschwindigkeitsgleichung

${\vec {v}}({\vec {x}},t)={\dot {\vec {b}}}(t)+{\vec {\omega }}(t)\times {\big (}{\vec {x}}-{\vec {b}}(t){\big )}$

gegeben. Sie gibt zur Zeit t für ein Partikel am Ort ${\vec {x}}$ die Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ an, die sich aus der Bewegung eines Bezugspunkts ${\vec {b}}(t)$ und einer Drehung um ihn mit Winkelgeschwindigkeit ${\vec {\omega }}(t)$ zusammen setzt. Das Rechenzeichen „ד bildet das Kreuzprodukt und der Überpunkt bildet die Zeitableitung. Der Bezugspunkt ${\vec {b}}$ kann in den Ursprung des Koordinatensystems gelegt werden und bei vernachlässigbarer Fortschreitbewegung ${\dot {\vec {b}}}$ gilt die Geschwindigkeitsverteilung

${\vec {v}}({\vec {x}},t)={\vec {\omega }}(t)\times {\vec {x}}$

Alle Partikel des Kreisels, die sich auf der Drehachse befinden (für die ist ${\vec {x}}\parallel {\vec {\omega }}$), ruhen solange sie das tun. Da die Drehachse nicht an die Partikel des Kreisels gebunden ist, kann sich die Drehachse relativ zum Kreisel bewegen, was eine wichtige Eigenschaft der Kreiselbewegung ist, die Präzession oder Nutation genannt wird.

Speziell für betraglich konstante, körperfeste Vektoren verschwindet die relative Zeitableitung und berechnen sich die Raten

${\dot {\vec {r}}}:={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {r}}={\vec {v}}({\vec {r}},t)={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}$

Kinetik von Kreiseln

Die Theorie des Kreisels behandelt im Wesentlichen dessen Kinetik, die sich mit den von der Masse abhängenden Bewegungsgrößen und deren Beeinflussung durch Kräfte befasst.

Hauptträgheitsmomente, Hauptachsen und Trägheitstensor

→ Hauptartikel: Trägheitstensor

Jeder Starrkörper besitzt drei ausgezeichnete Achsen, die Hauptachsen, die paarweise zueinander senkrecht sind oder orthogonalisierbar sind. Die Momente der Fliehkräfte gleichen sich bei der Drehung um die Hauptachsen genau aus, sodass sich der Kreisel gleichförmig um sie drehen kann. Eine von der Lage des Massenmittelpunkts abhängige statische Unwucht mit entsprechenden Kraftwirkungen in den Lagern ist dabei nicht ausgeschlossen.

Das Maß für den Widerstand des Kreisels gegen Rotationsänderungen sind seine Trägheitsmomente, die bei den Hauptachsen Hauptträgheitsmomente genannt und mit Θ_1,2,3 oder A, B und C bezeichnet werden. Die Hauptträgheitsmomente sind die Eigenwerte und die Hauptachsen ê_1,2,3 die dazugehörigen Eigenvektoren des Trägheitstensors, der in der Kreiseltheorie zumeist in der Hauptachsendarstellung mit Diagonalgestalt auftritt und beim rotierenden Kreisel eine vergleichbare Rolle übernimmt wie die Masse bei der Translation. Der Trägheitstensor bildet die Winkelgeschwindigkeit auf den Drehimpuls ab. Bei einem aus einzelnen Massenpunkten aufgebauten starren Körper berechnet sich der Trägheitstensor aus der Summe

${\begin{aligned}\mathbf {\Theta } :=&\sum _{i}m_{i}[({\vec {r}}_{i}\cdot {\vec {r}}_{i})\mathbf {1} -{\vec {r}}_{i}\otimes {\vec {r}}_{i}]\\=&\sum _{i,j=1}^{3}\Theta _{ij}{\hat {g}}_{i}\otimes {\hat {g}}_{j}=\sum _{i=1}^{3}\Theta _{i}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{i}\end{aligned}}$

Die erste Summe ist über alle Massenpunkte zu erstrecken, wobei ${\vec {r}}_{i}$ deren Position relativ zum Bezugspunkt ist und m_i deren Masse bedeutet. Die Vektoren ĝ_1,2,3 sind eine beliebige Basis, das Rechenzeichen „·“ bildet das Skalarprodukt, „⊗“ das dyadische Produkt von Vektoren und 1 ist der Einheitstensor. Diese Darstellung des Kreisels mittels ihn aufbauender Massenpunkte wird auch im Folgenden noch benutzt.

Da die Positionen ${\vec {r}}_{i}$ bei einer Rotation zeitabhängig sind, ist es der Trägheitstensor im Allgemeinen ebenfalls. Die Komponenten Θ_ij sind konstant, wenn die Basisvektoren ĝ_i körperfest sind, ansonsten zumeist zeitabhängig. Die letzte Darstellung zeigt den Trägheitstensor in seiner Hauptachsendarstellung mit Hauptträgheitsmomenten Θ_i und Hauptachsen ê_i. Die Hauptachsen sind körperfest und drehen mit dem Kreisel mit. Der Trägheitstensor ist symmetrisch und positiv definit.

Alle Massenträgheitsmomente, Drehimpulse und Drehmomente werden in der Kreiseltheorie immer bezüglich des Stützpunkts oder des Massenmittelpunkts aufgestellt.

Drehimpuls und Rotationsenergie von Kreiseln

Bei einem wie oben aus einzelnen Massenpunkten aufgebauten starren Körper kann mit obiger Geschwindigkeitsverteilung und der BAC-CAB-Formel der Drehimpuls relativ zum Bezugspunkt als Summe berechnet werden:

${\begin{aligned}{\vec {L}}=&\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times (m_{i}{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{i})\\=&\sum _{i}m_{i}{\big (}({\vec {r}}_{i}\cdot {\vec {r}}_{i}){\vec {\omega }}-({\vec {r}}_{i}\cdot {\vec {\omega }}){\vec {r}}_{i}{\big )}=\mathbf {\Theta } \cdot {\vec {\omega }}\end{aligned}}$

Darin ist $m_{i}{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{i}=m_{i}{\vec {v}}_{i}={\vec {p}}_{i}$ der aktuelle Impuls des i-ten Massenpunkts. Ein Vergleich von ${\vec {p}}=m{\vec {v}}$ mit ${\vec {L}}=\mathbf {\Theta } \cdot {\vec {\omega }}$ zeigt, dass der Trägheitstensor für Drehungen eine vergleichbare Rolle wie die Masse für Translationsbewegungen spielt. Hier offenbart sich jedoch auch die Ursache dafür, dass die Kreiseltheorie sehr viel verwickelter ist als die Kinetik der Fortschreitbewegungen eines Starrkörpers, denn bei letzteren sind Impuls und Geschwindigkeit parallel, was bei Drehimpuls und Drehgeschwindigkeit im Allgemeinen nicht der Fall ist. Außerdem ist die Masse eine konstante Größe und der Trägheitstensor zumeist nicht, weshalb die Winkelgeschwindigkeit bei konstantem Drehimpuls zeitabhängig sein kann und umgekehrt.

Die Rotationsenergie des Kreisels ergibt sich mit voraus gehender Zerlegung in einzelne Massenpunkte, der Euler’schen Geschwindigkeitsgleichung und den Eigenschaften des Spatprodukts zu

${\begin{aligned}E_{\mathrm {rot} }:=&{\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{i})\cdot ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{i})={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot \sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{i})\\=&{\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}{\vec {L}}\cdot \mathbf {\Theta } ^{-1}\cdot {\vec {L}}={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot {\vec {L}}\end{aligned}}$

Weil demnach das Skalarprodukt von Winkelgeschwindigkeit und Drehimpuls positiv ist, schließen sie einen spitzen Winkel ein. Die aktuelle Winkelgeschwindigkeit berührt überdies das zum Drehimpulsbetrag L gehörende Drallellipsoid, sodass

$(2E_{\mathrm {rot} }\Theta _{1}-L^{2})\Theta _{1}\omega _{1}^{2}+(2E_{\mathrm {rot} }\Theta _{2}-L^{2})\Theta _{2}\omega _{2}^{2}+(2E_{\mathrm {rot} }\Theta _{3}-L^{2})\Theta _{3}\omega _{3}^{2}=0$

hält. Zum einen sind hieraus bei der Anordnung Θ₁ < Θ₂ < Θ₃ der Hauptträgheitsmomente die Schranken

$2\Theta _{1}E_{\mathrm {rot} }\leq L^{2}\leq 2\Theta _{3}E_{\mathrm {rot} }$ oder ${\frac {L^{2}}{2\Theta _{3}}}\leq E_{\mathrm {rot} }\leq {\frac {L^{2}}{2\Theta _{1}}}$

ersichtlich, denn der kleinste Klammerausdruck kann nicht positiv und der größte nicht negativ sein. Zum anderen zeigt sich beim Euler-Kreisel, dass der Polkegel, der aus den Punkten besteht, für die $X/\omega _{1}=Y/\omega _{2}=Z/\omega _{3}$ ist, einen Ellipsenkegel oder einen Kreiskegel darstellt, siehe Abb. 3.

Eulersche Kreiselgleichungen

→ Hauptartikel: Eulersche Gleichungen (Kreiseltheorie)

Die Euler’schen Kreiselgleichungen ergeben sich aus dem Drallsatz ${\vec {M}}={\dot {\vec {L}}}=-{\vec {K}}$. Die #Kreiselwirkung auf der rechten Seite steht für Trägheitseffekte im rotierenden Bezugssystem:

${\begin{aligned}{\vec {K}}=&{\vec {K}}_{\text{Euler}}+{\vec {K}}_{\text{Zentrifugal}}\\{\vec {K}}_{\text{Euler}}=&\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times [-m_{i}{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}_{i}]=-\mathbf {\Theta } \cdot {\dot {\vec {\omega }}}\\{\vec {K}}_{\text{Zentrifugal}}=&\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times [-m_{i}{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{i})]=-{\vec {\omega }}\times \mathbf {\Theta } \cdot {\vec {\omega }}\end{aligned}}$

siehe Drallsatz am starren Körper. Die Vektoren in den eckigen Klammern stellen in der mittleren Gleichung die Euler-Kraft und unten die Zentrifugalkraft am Massenpunkt mit Masse m_i am Ort ${\vec {r}}_{i}$ dar. Würde der Kreisel mit konstant gehaltener Winkelgeschwindigkeit ${\vec {\omega }}$ um die instantane Drehachse kreisen, dann würden die Zentrifugalkräfte ein resultierendes Moment haben, das gerade der obigen Summe entspricht. Da bei der wirklichen Bewegung die Drehachse jedoch ihre Lage beständig ändert, hat Louis Poinsot für diese Zentrifugalkräfte den Namen fiktive Zentrifugalkräfte vorgeschlagen.

In den Drallsatz eingesetzt entsteht mit den Kreiselwirkungen:

${\vec {M}}={\dot {\vec {L}}}=\mathbf {\Theta } \cdot {\dot {\vec {\omega }}}+{\vec {\omega }}\times \underbrace {\mathbf {\Theta } \cdot {\vec {\omega }}} _{\vec {L}}={\frac {\mathrm {d} _{r}}{\mathrm {d} t}}{\vec {L}}+\underbrace {{\vec {L}}\cdot \mathbf {\Theta } ^{-1}} _{\vec {\omega }}\times {\vec {L}}$

Darin bildet ${\tfrac {\mathrm {d} _{r}}{\mathrm {d} t}}$ die relative Zeitableitung im körperfesten Hauptachsensystem. Die Komponenten dieser Vektorgleichung sind im Hauptartikel nachzuschlagen.

Integrale der Bewegung

In der Kreiseltheorie werden bei der Rotation eines Kreisels unveränderliche physikalische Größen Integrale, manchmal auch erste Integrale genannt, englisch first integrals. Diese sind von hervorragender Bedeutung, weil sie die Lösung der Kreiselgleichungen ermöglichen oder zumindest, wie das Jellett-Integral beim Spielkreisel, die Bewegungen klassifizieren.

Beim Euler-Kreisel ist ${\vec {M}}={\dot {\vec {L}}}={\vec {0}}$ und somit der Drehimpuls konstant. Der Drehimpuls, seine raumfesten Komponenten und sein Betrag sind bei dem Kreisel Integrale. Wenn das Schwerefeld konservativ ist, so wie das der Erde, befolgt die Kreiselbewegung den Energieerhaltungssatz, weshalb die Gesamtenergie dann ein Integral ist. Beim schweren Kreisel hat das Moment der lotrechten Schwerkraft keine Komponente in Lotrichtung und somit ist der Drehimpuls in dieser Richtung ein Integral. Jedoch besitzen die Integrale, wie beispielsweise die Kowalewskaja-Konstante, nicht immer eine anschauliche Bedeutung.

Lagrange- und Hamiltonfunktion des Kreisels

Die Lagrangefunktion des Kreisels ist die Differenz der Rotationsenergie und der potentiellen Energie

${\mathcal {L}}=E_{\mathrm {rot} }-E_{\mathrm {pot} }={\frac {L_{1}^{2}}{2\Theta _{1}}}+{\frac {L_{2}^{2}}{2\Theta _{2}}}+{\frac {L_{3}^{2}}{2\Theta _{3}}}-mg(s_{1}n_{1}+s_{2}n_{2}+s_{3}n_{3})$

Darin sind jeweils für k=1,2,3

Θ_k die Hauptträgheitsmomente,

L_k die Drehimpulse,

n_k die Richtungskosinus des lotrecht nach oben weisenden Einheitsvektors und

s_k die Koordinaten des Massenmittelpunkts

im Hauptachsensystem.

Die Lagrange-Funktion kann mit den Euler-Winkeln ausgedrückt werden, deren zeitlicher Verlauf dann aus den Lagrangegleichungen resultieren.

Die Hamiltonfunktion H des Kreisels ist die Summe aus Rotationsenergie und der potentiellen Energie:

$H=E_{\mathrm {rot} }+E_{\mathrm {pot} }={\frac {L_{1}^{2}}{2\Theta _{1}}}+{\frac {L_{2}^{2}}{2\Theta _{2}}}+{\frac {L_{3}^{2}}{2\Theta _{3}}}+mg(s_{1}n_{1}+s_{2}n_{2}+s_{3}n_{3})$

Die Euler-Poisson-Gleichungen können mit ihr und der Poisson-Klammer {} ausgedrückt werden:

${\dot {L}}_{i}=\{L_{i},H\},\quad {\dot {n}}_{i}=\{n_{i},H\}$ für i = 1, 2, 3

Diese Bewegungsgleichungen lassen sich auch in der Vektorform

${\begin{aligned}{\dot {M}}=&M\times {\frac {\partial H}{\partial M}}+\gamma \times {\frac {\partial H}{\partial \gamma }}\\{\dot {\gamma }}=&\gamma \times {\frac {\partial H}{\partial M}}\end{aligned}}$

schreiben. Darin ist M der Koordinatenvektor des Drehimpulses und γ der Koordinatenvektor des Einheitsvektors in Richtung der Schwerebeschleunigung jeweils bezüglich des Hauptachsensystems.

Die Poisson Algebra e(3) dieser Variablen ist gegeben durch

$\{L_{i},L_{j}\}=-\varepsilon _{ijk}L_{k},\quad \{L_{i},n_{j}\}=-\varepsilon _{ijk}n_{k},\quad \{n_{i},n_{j}\}=0$

Darin ist ε_ijk das Levi-Civita-Symbol. Es gibt zwei Casimir Funktionen F₁ = M · γ und F₂ = γ², die bezüglich der Poisson-Klammer mit jeder Funktion von M und γ kommutieren und die auch gleichzeitig Integrale der Hamiltonfunktion sind.

Literatur

• R. Grammel: Der Kreisel. Seine Theorie und seine Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1920, DNB 573533210 (archive.org – "Schwung" bedeutet Drehimpuls, "Drehstoß" etwa Drehmoment und "Drehwucht" Rotationsenergie, siehe S. VII). 
  oder
  R. Grammel: Der Kreisel. Seine Theorie und seine Anwendungen. Erster Band: Die Theorie des Kreisels. Springer Verlag, Berlin u. a. 1950, ISBN 978-3-662-24311-4, doi:10.1007/978-3-662-26425-6 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 19. Januar 2020]). 
• K. Magnus: Kreisel: Theorie und Anwendungen. Springer, 1971, ISBN 978-3-642-52163-8, S. v (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 19. Januar 2020]). 
• Wilderich Tuschmann, Peter Hawig: Sofia Kowalewskaja. Ein Leben für Mathematik und Emanzipation. Birkhäuser Verlag, Basel 1993, ISBN 978-3-0348-5721-5, doi:10.1007/978-3-0348-5720-8 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 25. Mai 2017]). 
• F. Klein, A. Sommerfeld: Über die Theorie des Kreisels. Heft I-III. Teubner, Leipzig 1897 (archive.org [abgerufen am 17. Januar 2020]). 
  Sowie
  F. Klein, A. Sommerfeld: Über die Theorie des Kreisels. Heft IV. Teubner, Leipzig 1910 (archive.org [abgerufen am 17. Januar 2020]). 
• Friedhelm Kuypers: Klassische Mechanik. Wiley-VCH, Weinheim 2016, ISBN 978-3-527-33960-0 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 7. November 2017]). 
• Eugene Leimanis: The General Problem of the Motion of Coupled Rigid Bodies about a Fixed Point. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 1965, ISBN 978-3-642-88414-6, S. 10 f., doi:10.1007/978-3-642-88412-2 (englisch, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 21. März 2018]). 
• I. G. Gashenenko, P. H. Richter: Enveloping Surfaces And Admissible Velocities Of Heavy Rigid Bodies. In: World Scientific Publishing Company (Hrsg.): International Journal of Bifurcation and Chaos. Band 14, Nr. 8, 2004, ISSN 0218-1274, S. 2525–2553, doi:10.1142/S021812740401103X (iamm.su [PDF; abgerufen am 2. Juni 2019] siehe S. 2537). 
• A. V. Borisov, I. S. Mamaev: Euler-Poisson Equations and Integrable Cases. 2001, doi:10.1070/RD2001v006n03ABEH000176, arxiv:nlin/0502030 (englisch, Enthält Lösungen der Kreiselgleichungen, deren ausführliche Beschreibung und weiter führende Literaturangaben.). 
• E. F. Autenrieth, Max Ensslin: Technische Mechanik: Ein Lehrbuch der Statik und Dynamik für Ingenieure. Springer-Verlag, Berlin 1922, ISBN 978-3-642-98876-9 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 5. November 2017]). 
• Michèle Audin: Erinnerungen an Sofja Kowalewskaja. Springer Verlag, London u. a. 2008, ISBN 978-0-85729-928-4, S. 106, doi:10.1007/978-0-85729-929-1 (englisch, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche – Originaltitel: Remembering Sofya Kovalevskaya.). 

Weblinks

• TIB AV-Portal der Technische Informationsbibliothek, qualitätsgeprüfte wissenschaftliche Videos zum Thema Kreisel.