Chi-Verteilung
Die Chi-Verteilung bzw. -Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der nichtnegativen reellen Zahlen. Die Chi-Verteilung hat einen Parameter, die Anzahl der Freiheitsgrade . Sie hängt eng mit der Chi-Quadrat-Verteilung zusammen.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Eine stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion
heißt chi-verteilt mit Freiheitsgraden für jeden positiven Parameter .[1] Dabei bezeichnet die Gammafunktion. Die Verteilung der Zufallsvariablen heißt Chi-Verteilung mit Freiheitsgraden.
Häufig wird die Chi-Verteilung nur für einen ganzzahligen Parameter definiert.[2]
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Wenn Chi-quadrat-verteilt mit Freiheitsgraden ist, dann ist Chi-verteilt mit Freiheitsgraden.
- Wenn Chi-verteilt mit Freiheitsgraden ist, dann ist Chi-quadrat-verteilt mit Freiheitsgraden.
- sei Chi-verteilt mit Freiheitsgraden, dann gilt , der Erwartungswert ist
- und die Varianz ist
![{\displaystyle \mathbb {E} [X_{\nu }]={\sqrt {2}}{\frac {\Gamma ((\nu +1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4ca95c928b5a42b9df7dffc9eecae040a5564d0)
![{\displaystyle \mathbb {Var} [X_{\nu }]=\nu -2\left({\frac {\Gamma ((\nu +1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}\right)^{2}\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42543a08c610597d3537b22800eade92e8c75e14)
- Wenn standardnormalverteilt ist, dann ist Chi-verteilt mit einem Freiheitsgrad.
Beispiele
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Die Chi-Verteilung mit Freiheitsgrad ist ein Spezialfall der Halbnormalverteilung (half-normal distribution).[4][5]
- Die Chi-Verteilung mit Freiheitsgraden ist ein Spezialfall der Rayleigh-Verteilung.
- Die Chi-Verteilung mit Freiheitsgraden ist ein Spezialfall der Maxwell-Boltzmann-Verteilung.
- Wenn standardnormalverteilt ist, dann ist die auf gestutzte Verteilung eine Chi-Verteilung mit einem Freiheitsgrad.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Norman L. Johnson, Samuel Kotz, Narayanaswamy Balakrishnan: Continuous Univariate Distributions – Volume 1 (= Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics). 2. Auflage. Wiley, New York 1994, ISBN 0-471-58495-9, Kap. 18 Chi-Square Distributions, Including Chi and Rayleigh, S. 415–493.
- P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, χ-Verteilung (χ-distribution), S. 58.
- Horst Rinne: Taschenbuch der Statistik. 4. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-1827-4, S. 322, Nr. 1.
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Norman L. Johnson et al.: Continuous Univariate Distributions. S. 417.
- ↑ P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik. S. 58.
- ↑ Norman L. Johnson et al.: Continuous Univariate Distributions. S. 421.
- ↑ Horst Rinne: Taschenbuch der Statistik. 4. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-1827-4, S. 305, Nr. 10.
- ↑ Norman L. Johnson, Samuel Kotz, Narayanaswamy Balakrishnan: Continuous Univariate Distributions – Volume 1 (= Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics). 2. Auflage. Wiley, New York 1994, ISBN 0-471-58495-9, S. 156.