Diskrete Dreiecksverteilung

Die diskrete Dreiecksverteilung ist eine spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Sie zählt zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf einer endlichen Menge und ist eine univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Typischerweise findet diese Wahrscheinlichkeitsverteilung Anwendung bei der Summe von identischen gleichverteilten Zufallsgrößen, die in einer symmetrischen Dreiecksverteilung resultiert.

Symmetrische Dreiecksverteilung

Wählt man zwei $a<b\in \mathbb {Z}$ mit $b-a=n-1$, so wählt man als Träger die Menge

$T:=\{2a,2a+1,2a+2,\dotsc ,2b-1,2b\}$

und definiert die Wahrscheinlichkeitsfunktion für $x\in \mathbb {Z}$

$\operatorname {P} (X=x)=f(x)={\begin{cases}{\frac {x-2a+1}{n^{2}}}&{\text{für }}2a\leq x\leq a+b\\{\frac {2b-x+1}{n^{2}}}&{\text{für }}a+b\leq x\leq 2b\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}$

Der Erwartungswert beträgt $a+b$, die Varianz $\operatorname {Var} (X)={\frac {(b-a+2)(b-a)}{6}}$ ist das Doppelte der Varianz der gleichverteilten Zufallsgröße zur Menge :$\{a,a+1,a+2,\dotsc ,b-1,b\}$.

Asymmetrische Dreiecksverteilung

Die Verteilung auf der Menge :$T:=\{0,1,2,\dotsc ,n-1\}$ mit

$\operatorname {P} (X=x)=f(x)={\begin{cases}1/n&{\text{für }}x=0\\{\frac {2n-2x}{n^{2}}}&{\text{für }}0<x<n\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}$

ist ein diskretes Gegenstück zur stetigen Dreiecksverteilung, die sich als Betrag der Differenz gleichverteilter Zufallsgrößen ergibt.

Beispiel

Beispielsweise bei den Brettspielen Backgammon oder Siedler von Catan wird die Augensumme von zwei Würfeln betrachtet. Somit gilt $a=1$ und $b=6$. Die Augensumme ist daher symmetrisch dreiecksverteilt auf dem Träger $\{2,3,\dotsc ,12\}$, der Erwartungswert ist $1+6=7$.

Einzelnachweise

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | Dirac | diskret uniform | empirisch | hypergeometrisch | kategorial | negativ hypergeometrisch | Rademacher | verallgemeinert binomial | Zipf | Zipf-Mandelbrot | Zweipunkt

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | discrete-Phase-Type | erweitert negativ binomial | Gauss-Kuzmin | gemischt Poisson | geometrisch | logarithmisch | negativ binomial | parabolisch-fraktal | Poisson | Skellam | verallgemeinert Poisson | Yule-Simon | Zeta

Kontinuierliche univariate Verteilungen

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
Beta | Cantor | Kumaraswamy | raised Cosine | Dreieck | Trapez | U-quadratisch | stetig uniform | Wigner-Halbkreis

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:
Beta prime | Bose-Einstein | Burr | Chi | Chi-Quadrat | Coxian | Erlang | Exponential | Extremwert | F | Fermi-Dirac | Folded normal | Fréchet | Gamma | Gamma-Gamma | verallgemeinert invers Gauß | halblogistisch | halbnormal | Hartman-Watson | Hotellings T-Quadrat | hyper-exponentiale | hypoexponential | invers Chi-Quadrat | scale-invers Chi-Quadrat | Invers Normal | Invers Gamma | Kolmogorow-Verteilung | Lévy | log-normal | log-logistisch | Maxwell-Boltzmann | Maxwell-Speed | Nakagami | nichtzentriert Chi-Quadrat | Pareto | Phase-Type | Rayleigh | relativistisch Breit-Wigner | Rice | Rosin-Rammler | shifted Gompertz | truncated normal | Type-2-Gumbel | Weibull | Wilks’ Lambda

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | exponential Power | Fishers z | Fisher-Tippett (Gumbel) | generalized hyperbolic | Hyperbolic-secant | Landau | Laplace | alpha-stabil | logistisch | normal (Gauß) | normal-invers Gauß’sch | Skew-normal | Studentsche t | Type-1-Gumbel | Variance-Gamma | Voigt

Multivariate Verteilungen

Diskrete multivariate Verteilungen:
Dirichlet compound multinomial | Ewens | gemischt Multinomial | multinomial | multivariat hypergeometrisch | multivariat Poisson | negativmultinomial | Pólya/Eggenberger | polyhypergeometrisch

Kontinuierliche multivariate Verteilungen:
Dirichlet | GEM | generalized Dirichlet | multivariat normal | multivariat Student | normalskaliert invers Gamma | Normal-Gamma | Poisson-Dirichlet

Multivariate Matrixverteilungen:
Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit | Invers Wishart | Matrix Beta | Matrix Gamma | Matrix invers Beta | Matrix invers Gamma | Matrix Normal | Matrix Student-t | Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung | Normal-invers-Wishart | Normal-Wishart | Wishart