Gumbel-Verteilung

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Die Gumbel-Verteilung (nach Emil Julius Gumbel), die Fisher-Tippett-Verteilung (nach Ronald Aylmer Fisher) oder Extremal–I–Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die wie die Rossi-Verteilung und die Fréchet-Verteilung zu den Extremwertverteilungen gehört.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dichtefunktion f(x) der Gumbel-Verteilung

Eine stetige Zufallsgröße genügt einer Gumbel-Verteilung mit Skalierungsparameter und Lageparameter , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

und damit die Verteilungsfunktion

besitzt.

Standard-Fall[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Werden keine Parameter angegeben, so sind die Standard-Parameter und gemeint. Damit ergibt sich die Dichte

und die Verteilungsfunktion

Durch die affin-linearen Transformationen erhält man die ganze oben angegebene Klasse von Verteilungen mit den Eigenschaften

.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Erwartungswert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gumbelverteilung besitzt den Erwartungswert

.

Dabei ist die Euler-Mascheroni-Konstante.

Varianz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Varianz einer Gumbelverteilung ist

.

Standardabweichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Standardabweichung einer Gumbelverteilung ist

.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sie wird u.a. in folgenden Bereichen benutzt:

Die Gumbel-Verteilung ist eine typische Verteilungsfunktion für jährliche Serien. Sie kann nur auf Reihen angewendet werden, bei denen die Länge der Messreihe mit dem Stichprobenumfang übereinstimmt. Ansonsten erhält man negative Logarithmen.

Beziehung zu anderen Verteilungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beziehung zur Extremwertverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gumbel-Verteilung ergibt sich aus der Extremwertverteilung mit den Parametern , und .

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]