Punktgruppe

Eine Punktgruppe ist ein spezieller Typus einer Symmetriegruppe der euklidischen Geometrie, der die Symmetrie eines endlichen Körpers beschreibt. Alle Punktgruppen zeichnen sich dadurch aus dass es einen Punkt gibt, der durch alle Symmetrieoperationen der Punktgruppe wieder auf sich selbst abgebildet wird. Aufgrund des Neumannschen Prinzips bestimmt die Punktgruppe die makroskopischen Eigenschaften des Körpers. Weitere Aussagen lassen sich mit Hilfe der Darstellungstheorie gewinnen.

Verwendet werden die Punktgruppen in der Molekülphysik und der Kristallographie, wo sie auch Kristallklassen genannt werden. Bezeichnet werden die Punktgruppen in der Schoenflies-Notation. In der Kristallographie wird auch die Hermann-Mauguin-Symbolik verwendet.

Mathematische Grundlagen

Die Symmetriegruppe eines Körpers wird mathematisch als Menge aller möglichen Symmetrieoperationen beschrieben. Mit Symmetrieoperationen sind dabei euklidische Bewegungen gemeint, die den Körper auf sich abbilden. Zu unterscheiden sind dabei gerade Bewegungen, welche die Orientierung erhalten und ungerade, welche die Orientierung umkehren, z. B. Spiegelungen an Ebenen.

Mögliche Symmetrieoperationen in Punktgruppen im dreidimensionalen, euklidischen Vektorraum sind die Symmetrieoperationen, die mindestens einen Fixpunkt besitzen: Identitätsabbildung, Punktspiegelung an einem Inversionszentrum, Spiegelung an einer Spiegelebene, Drehung um eine Drehachse, sowie als Kombination daraus eine Drehspiegelung und eine Drehinversion. Die Translation, die Schraubung und die Gleitspiegelung können keine Elemente einer Punktgruppe sein, da sie keinen Fixpunkt besitzen.

Wenn man das Hintereinanderausführen von Symmetrieoperationen als additive Verknüpfung auffasst, erkennt man, dass eine Menge von Symmetrieoperationen eine (in der Regel nicht kommutative) Gruppe ist.

Es gibt sowohl diskrete, als auch kontinuierliche Punktgruppen. Die diskreten Punktgruppen kann man in wieder zwei unterschiedliche Arten einteilen:

• Punktgruppen mit maximal einer Drehachse mit einer Zähligkeit größer zwei
• Punktgruppen mit mindestens zwei Drehachsen mit einer Zähligkeit größer zwei.

Die diskreten Punktgruppen mit maximal einer ausgezeichneten n-zähligen Drehachse können zusätzlich mit Spiegelebenen und zweizähligen Drehachsen kombiniert sein. Insgesamt gibt es folgende Möglichkeiten:

Gruppensymbol (Schönflies)	Gruppe	Erläuterung
Cn	Drehgruppe	Eine n-zählige Drehachse
Cnv		1 Cn-Achse + n Spiegelebenen, die diese Achse enthalten. (v: vertikale Spiegelebene)
Cnh		1 Cn-Achse + 1 Spiegelebenen senkrecht zu dieser Achse. (h: horizontale Spiegelebene)
Dn	Diedergruppe	1 Cn-Achse + n C2-Achsen senkrecht dazu
Dnd		1 Dn-Achse + n Spiegelebenen, die die Dn-Achse und eine Winkelhalbierende der Cn-Achsen enthalten. (d: diagonale Spiegelebene)
Dnh		1 Dn-Achse + 1 Spiegelebene senkrecht dazu
Sn	Drehspiegelgruppe	1 n-zählige Drehspiegelachse

Für einzelne Gruppen gibt es spezielle Bezeichnungen:

• C_S ≡ C_1v ≡ C_1h ≡ S₁ (S = Spiegelung)
• C_i ≡ S₂ ( i= Inversion (Punktspiegelung))

Die Punktruppen, die mindestens zwei Drehachsen mit einer Zähligkeit größer zwei besitzen, entsprechen den Symmetriegruppen der Platonischen Körper.

• Die Tetraedergruppen : T, T_d, T_h. T_d entspricht der vollen Symmetrie eines Tetraeders.

• Die Oktaedergruppen: O, O_h. O_h entspricht der vollen Symmetrie eines Oktaeders beziehungsweise Hexaeders.

• Die Ikosaedergruppen: I, I_h. I_h entspricht der vollen Symmetrie eines Ikosaeders beziehungsweise Dodekaeders.

Die kontinuierlichen Punktgruppen werden auch Curie-Gruppen genannt. Sie bestehen aus den Zylindergruppen (mit einer unendlichzähligen Drehachse) und den Kugelgruppen ( mit zwei unendlichzähligen Drehachsen).

Kristallographische Bedeutung / Kristallklassen

Die möglichen Symmetrien eines Kristalls werden mit den 230 kristallographischen Raumgruppen beschrieben. Zusätzlich zu den Symmetrieoperationen der Punktgruppen kommen hier auch Translationen, Schraubungen und Gleitspiegelungen als Symmetrieoperationen vor.

Streicht man in einer Raumgruppe alle Translationen und ersetzt zusätzlich die Schraubenachsen und Gleitspiegelebenen durch entsprechende Drehachsen und Spiegelebenen, so erhält man die sogenannte geometrische Kristallklasse oder Punktgruppe des Kristalls. Als Kristallklassen kommen daher nur solche Punktgruppen in Frage, deren Symmetrie mit einem unendlich ausgedehnten Gitter vereinbar ist. Wie Pierre Curie erkannte, sind in einem Kristall nur 6-, 4-, 3-, 2-zählige Drehachsen möglich (Drehungen um 60, 90, 120 bzw. 180 und jeweils Vielfache davon). Die Punktgruppen, in denen keine oder nur 2-,3-,4- oder 6- zählige Drehachsen vorkommen bezeichnet man daher als kristallographische Punktgruppen. Es gibt 32 kristallographische Punktgruppen.

Anmerkungen

Der Zusammenhang zwischen der Raum- und der Punktgruppe eines Kristalls ergibt sich folgendermaßen: Die Menge aller Translationen T einer Raumgruppe R bilden einen Normalteiler von R. Die Punktgruppe des Kristalls ist diejenige Punktgruppe, die zur Faktorgruppe R/T isomorph ist. Die Punktgruppe beschreibt die Symmetrie eines Kristalls am Gamma-Punkt, das heißt seine makroskopischen Eigenschaften. An andren Stellen der Brillouinzone wird die Symmetrie des Kristalls durch die Sterngruppe des entsprechenden Wellenvektors beschrieben. Diese sind für Raumgruppen, die zur selben Punktgruppe gehören, in der Regel verschieden.

Das „Verbot“ von 5-, 7- und höherzähligen Drehachsen ist kein allgemeines Naturgesetz. Derartige Drehachsen kommen sowohl bei Molekülen, als auch in Festkörpern in den Quasikristallen vor. Bis zur Entdeckung der Quasikristalle wurde das Verbot für Kristalle als universell gültig angenommen.

Das Beugungsbild von Kristallen bei Strukturanalysen mithilfe der Röntgenbeugung enthält gemäß dem Friedelschen Gesetz in Abwesenheit anomaler Streuung immer ein Inversionszentrum. Daher können Kristalle aus den Beugungsdaten nicht direkt einer der 32 Kristallklassen zugeordnet werden, sondern nur einer der 11 zentrosymmetrischen kristallographischen Punktgruppen, die auch als Lauegruppen bezeichnet werden. Durch die Identifikation der Lauegruppe ist auch die Zugehörigkeit des Kristalls zu einem der sieben Kristallsysteme geklärt.

Die 32 kristallographischen Punktgruppen

Punktgruppen und Kristallklassen

Kristallsystem	Kristallklasse	Schoenflies	Hermann-Mauguin	Hermann/Mauguin Kurzsymbol	Beispiel
Triklin	triklin-pedial	C1	$1\$	$1\$	Axinit
	triklin-pinakoidal	Ci	$\bar{1}$	$\bar{1}$	Anorthit
Monoklin	monoklin-sphenoidisch	C2	$2\$	$2\$	Zucker
	monoklin-domatisch	Cs	$m\$	$m\$	Skolezit
	monoklin-prismatisch	C2h	$2/m\$	$2/m\$	Gips
Orthorhombisch	rhombisch-disphenoidisch	D2	$222\$	$222\$	Epsomit
	rhombisch-pyramidal	C2v	$mm2\$	$mm2\$	Struvit
	rhombisch-dipyramidal	D2h	$2/m\ 2/m\ 2/m$	$m\ m\ m$	Topas
Tetragonal	tetragonal-pyramidal	C4	$4\$	$4\$	Pinnoit
	tetragonal-disphenoidisch	S4	$\bar{4}$	$\bar{4}$	Cahnit
	tetragonal-dipyramidal	C4h	$4/m\$	$4/m\$	Scheelit
	tetragonal-trapezoedrisch	D4	$422\$	$422\$	Cristobalit
	ditetragonal-pyramidal	C4v	$4mm\$	$4mm\$	Diaboleit
	tetragonal-skalenoedrisch	D2d	$\bar{4}2m\$oder $\bar{4}m2$	$\bar{4}2m\$	Chalkopyrit
	ditetragonal-dipyramidal	D4h	$4/m\ 2/m\ 2/m$	$4/m\ m\ m$	Zirkon
Trigonal	trigonal-pyramidal	C3	$3 \!$	$3 \!$	Gratonit
	rhomboedrisch	C3i	$\bar{3}$	$\bar{3}$	Dolomit
	trigonal-trapezoedrisch	D3	$32\$ oder $321\$ oder $312\$	$32\$	Quarz
	ditrigonal-pyramidal	C3v	$3m\$oder $3m1\$oder $31m\$	$3m\$	Turmalin
	ditrigonal-skalenoedrisch	D3d	$\bar{3} 2/m$oder $\bar{3} 2/m 1$oder $\bar{3} 1 2/m$	$\bar{3} m$	Calcit
Hexagonal	hexagonal-pyramidal	C6	$6\$	$6\$	Nephelin
	trigonal-dipyramidal	C3h	$\bar{6}$	$\bar{6}$	Li2O2
	hexagonal-dipyramidal	C6h	$6/m\$	$6/m\$	Apatit
	hexagonal-trapezoedrisch	D6	$622\$	$622\$	Hochquarz
	dihexagonal-pyramidal	C6v	$6mm\$	$6mm\$	Wurtzit
	ditrigonal-dipyramidal	D3h	$\bar{6}m2$oder $\bar{6}2m$	$\bar{6}m2$	Benitoit
	dihexagonal-dipyramidal	D6h	$6/m\ 2/m\ 2/m\$	$6/m\ m\ m\$	Apatit
Kubisch	tetraedrischpentagondodekaedrisch	T	$23\$	$23\$	NaBrO3
	disdodekaedrisch	Th	$2/m\ \bar{3}$	$m \bar{3}$	Pyrit
	pentagonikositetraedrisch	O	$432\$	$432\$	Melanophlogit
	hexakistetraedrisch	Td	$\bar{4}3m$	$\bar{4}3m$	Sphalerit
	hexakisoktaedrisch	Oh	$4/m\ \bar{3}\ 2/m$	$m\bar{3}m$	Diamant

Punktgruppen in der Molekülphysik

Punktgruppen und Molekülsymmetrie

Schoenflies	H. / M.	Symmetrieelemente	Molekülbeispiele
Punktgruppen geringer Symmetrie
C1	$1\$	C1	CHFClBr
Cs ≡ S1	$m\$	σ ≡ S1	BFClBr, SOCl2
Ci ≡ S2	$\bar{1}$	i ≡ S2	1,2-Dibrom-1,2-Dichlorethan, meso-Weinsäure
ebene Drehgruppen SO(2)
C2	$2\$	C2	H2O2, S2Cl2
C3	$3\$	C3	Triphenylmethan, N(GeH3)3
C4	$4\$	C4	12-Krone-4
C5	$5\$	C5	15-Krone-5
C6	$6\$	C6	18-Krone-6
Drehgruppen mit vertikalen Spiegelebenen
C2v ≡ D1h	$2mm\$	C2, 2σv	H2O, SO2Cl2, o-/m-Dichlorbenzol
C3v	$3m\$	C3, 3σv	NH3, CHCl3, CH3Cl, POCl3
C4v	$4mm\$	C4, 4σv	SF5Cl, XeOF4
C5v	-	C5, 5σv	Corannulen, C5H5In
C6v	$6mm\$	C6, 6σv	Benzol-hexamethylbenzol-chrom(0)
C∞v	-	C∞, ∞σv	lineare Moleküle wie HCN, COS
Drehgruppen mit horizontalen Spiegelebenen
C2h ≡ D1d ≡ S2v	$2/m\$	C2, σh, i	Oxalsäure, trans-Buten
C3h ≡ S3	$3/m\$	C3, σh	Borsäure
C4h	$4/m\$	C4, σh, i	Polycycloalkan C12H20
C6h	$6/m\$	C6, σh, i	Hexa-2-propenyl-benzol
Drehspiegelgruppen
S4	$\bar{4}$	S4	Tetraphenylmethan, Si(OCH3)4
S6 ≡ C3i	$\bar{3}$	S6	Hexacyclopropylethan
Diedergruppen
D2 ≡ S1v	$222\$	3C2	Twistan
D3	$32\$	C3, 3C2	Tris-chelatkomplexe
D4	$422\$	C4, 4C2	-
D6	$622\$	C6, 6C2	Hexaphenylbenzol
Diedergruppen mit horizontalen Spiegelebenen
D2h	$mmm\$	S2, 3C2, 2σv, σh, i	Ethen, p-Dichlorbenzol
D3h	$\bar{6}2m$	S3, C3, 3C2, 3σv, σh	BF3, PCl5
D4h	$4/mmm\$	S2, C4, 4C2, 4σv, σh, i	Re2(CO)10
D5h	-	S2, C5, 5C2, 5σv, σh	IF7
D6h	$6/mmm\$	S2, C6, 6C2, 6σv, σh, i	Benzol
D∞h	-	S2, C∞, ∞σv	lineare Moleküle wie Kohlendioxid, Ethin
Diedergruppen mit diagonalen Spiegelebenen
D2d ≡ S4v	$\bar{4}2m\$	S4, 3C2, 2σd	Propadien, Cyclooctatetraen, B2Cl4
D3d ≡ S6v	$\bar{3}m\$	S6, C3, 3C2, 3σd, i	Cyclohexan
D4d ≡ S8v	-	S8, C4, 4C2, 4σd	Cyclo-Schwefel (S8)
D5d ≡ S10v	-	S10, C5, 5C2, 5σd	Ferrocen
Tetraedergruppen
T	$23\$	4C3, 3C2	Pt(PF3)4
Th	$m\bar{3}$	4S6, 4C3, 3C2, 3σh, i	Fe(C6H5)6
Td	$\bar{4}3m$	3S4, 4C3, 3C2, 6σd	Methan, Phosphor (P4), Adamantan
Oktaedergruppen
O	$432\$	3C4, 4C3, 6C2	-
Oh	$m\bar{3}m\$	4S6, 3S4, 3C4, 4C3, 6C2, 3σh, 6σd, i	SF6, Cuban
Ikosaedergruppen
I	-	12S10, 10S6, 6C5, 10C3, 15C2	Fulleren-C20 (Pentagondodekaeder)
Ih	-	12S10, 10S6, 6C5, 10C3, 15C2, 15σv, i	Fulleren-C60
räumliche Drehgruppen SO(3)
Kh	-	∞C∞, ∞σ, i	einatomige Teilchen wie Helium, Elementarteilchen

Anwendungen

Die Eigenschaften eines Kristalls hängen im Allgemeinen von der Richtung ab. Daher werden alle Materialeigenschaften durch einen entsprechenden Tensor beschrieben. Es gibt einen festen Zusammenhang zwischen der Punktgruppe eines Kristalls und der Form des jeweiligen Eigenschaftstensors beziehungsweise der Anzahl seiner unabhängigen Komponenten. Dazu zwei Beispiele:

In Punktgruppen mit einem Inversionszentrum sind alle Komponenten eines ungeraden Tensors identisch Null. Daher gibt es in diesen Punktgruppen keinen Pyroeffekt, keinen Piezoeffekt und auch keine optische Aktivität.

Die elastischen Konstanten sind ein Tensor 4. Stufe. Dieser hat im Allgemeinen 3⁴ = 81 Komponenten. Im kubischen Kristallsystem gibt es aber nur drei unabhängige, von Null verschiedene Komponenten: C₁₁₁₁ (=C₂₂₂₂=C₃₃₃₃), C₁₁₂₂ ( = C₂₂₃₃ = C₁₁₃₃) und C₁₂₁₂ (= C₁₃₁₃=C₂₃₂₃). Alle andere Komponenten sind Null.

In der Molekül- und Festkörperphysik kann man aus der Symmetrie des Moleküls beziehungsweise Kristalls die Anzahl der infrarot- und ramanaktiven Moden und deren Auslenkungsmuster bestimmen. Eine Zuordnung der gemessenen Frequenzen zu den jeweiligen Moden ist mit gruppentheoretischen Methoden nicht möglich. Kann man diese Zuordnung durchführen, so kann man aus den Frequenzen die Bindungsenergien zwischen den Atomen berechnen.

Literatur

• Wolfgang Demtröder: Molekülphysik. Oldenbourg, München 2003, ISBN 3-486-24974-6.
• Will Kleber, et.al.: Einführung in die Kristallographie. 19 Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2010, ISBN 978-3-486-59075-3.
• Hahn, Theo (Hrsg.): International Tables for Crystallography Vol. A D. Reidel publishing Company, Dordrecht 1983, ISBN 90-277-1445-2

Weblinks

 Commons: Point groups – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

• Definition der Punktgruppe (IUCr, engl.)
• Geometrische Kristallklasse (IUCr, engl.)