Punktgruppe

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Eine Punktgruppe ist ein spezieller Typus einer Symmetriegruppe der euklidischen Geometrie, der die Symmetrie eines endlichen Körpers beschreibt. Alle Punktgruppen zeichnen sich dadurch aus, dass es einen Punkt gibt, der durch alle Symmetrieoperationen der Punktgruppe wieder auf sich selbst abgebildet wird. Aufgrund des Neumannschen Prinzips bestimmt die Punktgruppe die makroskopischen Eigenschaften des Körpers. Weitere Aussagen lassen sich mit Hilfe der Darstellungstheorie gewinnen.

Verwendet werden die Punktgruppen in der Molekülphysik und der Kristallographie, wo die 32 kristallographischen Punktgruppen auch Kristallklassen genannt werden. Bezeichnet werden die Punktgruppen in der Schoenflies-Notation. In der Kristallographie wird inzwischen hauptsächlich die Hermann-Mauguin-Symbolik verwendet.

Mathematische Grundlagen[Bearbeiten]

Die Symmetrie eines Körpers wird mathematisch als Menge aller möglichen Symmetrieoperationen beschrieben (Symmetriegruppe). Mit Symmetrieoperationen sind dabei euklidische Bewegungen gemeint, die den Körper auf sich abbilden. Zu unterscheiden sind dabei gerade Bewegungen, welche die Orientierung erhalten und ungerade, welche die Orientierung umkehren, z. B. Spiegelungen an Ebenen.

Mögliche Symmetrieoperationen in Punktgruppen im dreidimensionalen, euklidischen Vektorraum sind die Symmetrieoperationen, die mindestens einen Fixpunkt besitzen: Identitätsabbildung, Punktspiegelung an einem Inversionszentrum, Spiegelung an einer Spiegelebene, Drehung um eine Drehachse, sowie als Kombination daraus Drehspiegelung bzw. Drehinversion. Die Translation, die Schraubung und die Gleitspiegelung können keine Elemente einer Punktgruppe sein, da sie keinen Fixpunkt besitzen.

Wenn man das Hintereinanderausführen von Symmetrieoperationen als additive Verknüpfung auffasst, erkennt man, dass eine Menge von Symmetrieoperationen eine (in der Regel nicht kommutative) Gruppe ist.

Es gibt sowohl diskrete als auch kontinuierliche Punktgruppen. Die diskreten Punktgruppen kann man wieder in zwei unterschiedliche Arten einteilen:

  • Punktgruppen mit maximal einer Drehachse mit einer Zähligkeit größer zwei,
  • Punktgruppen mit mindestens zwei Drehachsen mit einer Zähligkeit größer zwei.

Die diskreten Punktgruppen mit maximal einer ausgezeichneten n-zähligen Drehachse können zusätzlich mit Spiegelebenen und zweizähligen Drehachsen kombiniert sein. Insgesamt gibt es folgende Möglichkeiten:

Gruppe Gruppensymbol (Schönflies) Erläuterung
Drehgruppe Cn Eine n-zählige Drehachse
Cnv 1 Cn-Achse + n Spiegelebenen, die diese Achse enthalten (v: vertikale Spiegelebene)
Cnh 1 Cn-Achse + 1 Spiegelebenen senkrecht zu dieser Achse (h: horizontale Spiegelebene)
Diedergruppe Dn 1 Cn-Achse + n C2-Achsen senkrecht dazu
Dnd 1 Dn-Achse + n Spiegelebenen, die die Dn-Achse und eine Winkelhalbierende der C2-Achsen enthalten (d: diagonale Spiegelebene)
Dnh 1 Dn-Achse + 1 Spiegelebene senkrecht dazu
Drehspiegelgruppe Sn 1 n-zählige Drehspiegelachse

Für einzelne Gruppen gibt es spezielle Bezeichnungen:

  • CS ≡ C1v ≡ C1h ≡ S1 (S = Spiegelung)
  • Ci ≡ S2 (i = Inversion, d. h. Punktspiegelung)

Die Punktgruppen, die mindestens zwei Drehachsen mit einer Zähligkeit größer zwei besitzen, entsprechen den Symmetriegruppen der platonischen Körper.

Die kontinuierlichen Punktgruppen werden auch Curie-Gruppen genannt. Sie bestehen aus den Zylindergruppen (mit einer unendlichzähligen Drehachse) und den Kugelgruppen (mit zwei unendlichzähligen Drehachsen).

Punktgruppen in der Kristallographie[Bearbeiten]

Die vollständige mögliche Symmetrie einer Kristallstruktur wird mit den 230 kristallographischen Raumgruppen beschrieben. Zusätzlich zu den Symmetrieoperationen der Punktgruppen kommen hier auch Translationen in Form von Schraubungen und Gleitspiegelungen als Symmetrieoperationen vor. Zur Beschreibung der Symmetrie eines makroskopischen Einkristalls genügen dagegen die Punktgruppen, da es sich bei Kristallen stets um konvexe Polyeder handelt und mögliche interne Translationen in der Struktur makroskopisch nicht erkennbar sind.

Streicht man in einer Raumgruppe alle Translationen und ersetzt zusätzlich die Schraubenachsen und Gleitspiegelebenen durch entsprechende Drehachsen und Spiegelebenen, so erhält man die sogenannte geometrische Kristallklasse oder Punktgruppe des Kristalls. Als Kristallklassen kommen daher nur solche Punktgruppen in Frage, deren Symmetrie mit einem unendlich ausgedehnten Gitter vereinbar ist. In einem Kristall sind nur 6-, 4-, 3-, 2-zählige Drehachsen möglich (Drehungen um 60, 90, 120 bzw. 180 und jeweils Vielfache davon). Die dreidimensionalen Punktgruppen, in denen keine oder ausschließlich 2-, 3-, 4- und/oder 6- zählige Drehachsen vorkommen bezeichnet man daher als kristallographische Punktgruppen. Insgesamt gibt es 32 kristallographische Punktgruppen, die auch als Kristallklassen bezeichnet werden.

Die 32 kristallographischen Punktgruppen (Kristallklassen)[Bearbeiten]

Kristallklasse (Punktgruppe) Physikalische Eigenschaften[Anm. 1] Beispiele
Nr. Kristall­system Name Schoenflies-Symbol Internationales Symbol
(Hermann-Mauguin)
Laue­klasse Zugehörige
Raum­gruppen (Nr.)
Enantio­morphie Optische Aktivität Pyro­elektrizität Piezo­elektrizität; SHG-Effekt
Voll Kurz
1 triklin triklin-pedial C1 1 1 1 1 + + + [uvw] + Abelsonit
Axinit
2 triklin-pinakoidal Ci (S2) 1 1 2 Albit
Anorthit
3 monoklin monoklin-sphenoidisch C2 121 (bzw. 112) 2 2/m 3–5 + + + [010] (bzw. [001]) + Uranophan
Halotrichit
4 monoklin-domatisch Cs (C1h) 1m1 (bzw. 11m) m 6–9 + + [u0w] (bzw. [uv0]) + Soda
Skolezit
5 monoklin-prismatisch C2h 12/m1 (bzw. 112/m) 2/m 10–15 Gips
Kryolith
6 ortho­rhombisch orthorhombisch-disphenoidisch D2 (V) 222 222 mmm 16–24 + + + Austinit
Epsomit
7 orthorhombisch-pyramidal C2v mm2 mm2 25–46 + + [001] + Hemimorphit
Struvit
8 orthorhombisch-dipyramidal D2h (Vh) 2/m2/m2/m mmm 47–74 Topas
Anhydrit
9 tetragonal tetragonal-pyramidal C4 4 4 4/m 75–80 + + + [001] + Pinnoit
Percleveit‑(Ce)
10 tetragonal-disphenoidisch S4 4 4 81–82 + + Schreibersit
Cahnit
11 tetragonal-dipyramidal C4h 4/m 4/m 83–88 Scheelit
Baotit
12 tetragonal-trapezoedrisch D4 422 422 4/mmm 89–98 + + + Cristobalit
Maucherit
13 ditetragonal-pyramidal C4v 4mm 4mm 99–110 + [001] + Lenait
Diaboleit
14 tetragonal-skalenoedrisch D2d (Vd) 42m bzw. 4m2 42m 111–122 + + Chalkopyrit
Stannit
15 ditetragonal-dipyramidal D4h 4/m2/m2/m 4/mmm 123–142 Rutil
Zirkon
16 trigonal trigonal-pyramidal C3 3 3 3 143–146 + + + [001] + Carlinit
Gratonit
17 rhomboedrisch C3i (S6) 3 3 147–148 Dolomit
Dioptas
18 trigonal-trapezoedrisch D3 321 bzw. 312 32 3m 149–155 + + + Quarz
Tellur
19 ditrigonal-pyramidal C3v 3m1 bzw. 31m 3m 156–161 + [001] + Turmalin
Pyrargyrit
20 ditrigonal-skalenoedrisch D3d 32/m1 bzw. 312/m 3m 162–167 Calcit
Korund
21 hexagonal hexagonal-pyramidal C6 6 6 6/m 168–173 + + + [001] + Nephelin
Zinkenit
22 trigonal-dipyramidal C3h 6 6 174 + Penfieldit
Laurelit
23 hexagonal-dipyramidal C6h 6/m 6/m 175–176 Apatit
Zemannit
24 hexagonal-trapezoedrisch D6 622 622 6/mmm 177–182 + + + Hochquarz
Pseudorutil
25 dihexagonal-pyramidal C6v 6mm 6mm 183–186 + [001] + Wurtzit
Zinkit
26 ditrigonal-dipyramidal D3h 6m2 bzw. 62m 6m2 187–190 + Bastnäsit
Benitoit
27 dihexagonal-dipyramidal D6h 6/m2/m2/m 6/mmm 191–194 Graphit
Magnesium
28 kubisch tetraedrisch-pentagondodekaedrisch T 23 23 m3 195–199 + + + Ullmannit
Natriumbromat
29 disdodekaedrisch Th 2/m3 m3 200–206 Pyrit
Kalialaun
30 pentagon-ikositetraedrisch O 432 432 m3m 207–214 + + Petzit
Melanophlogit
31 hexakistetraedrisch Td 43m 43m 215–220 + Sphalerit
Sodalith
32 hexakisoktaedrisch Oh 4/m32/m m3m 221–230 Diamant
Kupfer
  1. Bei den Angaben zu den physikalischen Eigenschaften bedeutet „“ aufgrund der Symmetrie verboten und „+“ erlaubt. Über die Größenordnung der optischen Aktivität, Pyro- und Piezoelektrizität sowie des SHG-Effekts kann rein aufgrund der Symmetrie keine Aussage getroffen werden. Man kann aber davon ausgehen, dass stets eine zumindest schwache Ausprägung der Eigenschaft vorhanden ist. Für die Pyroelektrizität ist, sofern vorhanden, auch die Richtung des pyroelektrischen Vektors angegeben.

Anmerkungen[Bearbeiten]

Der Zusammenhang zwischen der Raum- und der Punktgruppe eines Kristalls ergibt sich folgendermaßen: Die Menge aller Translationen T einer Raumgruppe R bilden einen Normalteiler von R. Die Punktgruppe des Kristalls ist diejenige Punktgruppe, die zur Faktorgruppe R/T isomorph ist. Die Punktgruppe beschreibt die Symmetrie eines Kristalls am Gamma-Punkt, das heißt seine makroskopischen Eigenschaften. An andren Stellen der Brillouinzone wird die Symmetrie des Kristalls durch die Sterngruppe des entsprechenden Wellenvektors beschrieben. Diese sind für Raumgruppen, die zur selben Punktgruppe gehören, in der Regel verschieden.

Das „Verbot“ von 5-, 7- und höherzähligen Drehachsen gilt nur für dreidimensional-periodische Kristalle. Derartige Drehachsen kommen sowohl bei Molekülen, als auch in Festkörpern in den Quasikristallen vor. Bis zur Entdeckung der Quasikristalle und der darauf folgenden Neudefinition des Begriffs Kristall wurde das Verbot für Kristalle als universell gültig angenommen.[1]

Das Beugungsbild von Kristallen bei Strukturanalysen mithilfe der Röntgenbeugung enthält gemäß dem Friedelschen Gesetz in Abwesenheit anomaler Streuung immer ein Inversionszentrum. Daher können Kristalle aus den Beugungsdaten nicht direkt einer der 32 Kristallklassen zugeordnet werden, sondern nur einer der 11 zentrosymmetrischen kristallographischen Punktgruppen, die auch als Lauegruppen bezeichnet werden. Durch die Identifikation der Lauegruppe ist auch die Zugehörigkeit des Kristalls zu einem der sieben Kristallsysteme geklärt.

Punktgruppen in der Molekülphysik[Bearbeiten]

Punktgruppen und Molekülsymmetrie
Schoenflies H. / M. Symmetrieelemente Molekülbeispiele
Punktgruppen geringer Symmetrie
C1 1\ C1 CHFClBr
Cs ≡ S1 m\ σ ≡ S1 BFClBr, SOBrCl
Ci ≡ S2 \bar{1} i ≡ S2 1,2-Dibrom-1,2-Dichlorethan, meso-Weinsäure
ebene Drehgruppen SO(2)
C2 2\ C2 H2O2, S2Cl2
C3 3\ C3 Triphenylmethan, N(GeH3)3
C4 4\ C4 12-Krone-4
C5 5\ C5 15-Krone-5
C6 6\ C6 18-Krone-6
Drehgruppen mit vertikalen Spiegelebenen
C2v ≡ D1h 2mm\ C2, 2σv H2O, SO2Cl2, o-/m-Dichlorbenzol
C3v 3m\ C3, 3σv NH3, CHCl3, CH3Cl, POCl3
C4v 4mm\ C4, 4σv SF5Cl, XeOF4
C5v - C5, 5σv Corannulen, C5H5In
C6v 6mm\ C6, 6σv Benzol-hexamethylbenzol-chrom(0)
C∞v - C, ∞σv lineare Moleküle wie HCN, COS
Drehgruppen mit horizontalen Spiegelebenen
C2h ≡ D1d ≡ S2v 2/m\ C2, σh, i Oxalsäure, trans-Buten
C3h ≡ S3 3/m\ C3, σh Borsäure
C4h 4/m\ C4, σh, i Polycycloalkan C12H20
C6h 6/m\ C6, σh, i Hexa-2-propenyl-benzol
Drehspiegelgruppen
S4 \bar{4} S4 Tetraphenylmethan, Si(OCH3)4
S6 ≡ C3i \bar{3} S6 Hexacyclopropylethan
Diedergruppen
D2 ≡ S1v 222\ 3C2 Twistan
D3 32\ C3, 3C2 Tris-chelatkomplexe
D4 422\ C4, 4C2 -
D6 622\ C6, 6C2 Hexaphenylbenzol
Diedergruppen mit horizontalen Spiegelebenen
D2h mmm\ S2, 3C2, 2σv, σh, i Ethen, p-Dichlorbenzol
D3h \bar{6}2m S3, C3, 3C2, 3σv, σh BF3, PCl5
D4h 4/mmm\ S2, C4, 4C2, 4σv, σh, i XeF4
D5h - S2, C5, 5C2, 5σv, σh IF7
D6h 6/mmm\ S2, C6, 6C2, 6σv, σh, i Benzol
D∞h - S2, C, ∞σv lineare Moleküle wie Kohlendioxid, Ethin
Diedergruppen mit diagonalen Spiegelebenen
D2d ≡ S4v \bar{4}2m\ S4, 2C2, 2σd Propadien, Cyclooctatetraen, B2Cl4
D3d ≡ S6v \bar{3}m\ S6, C3, 3C2, 3σd, i Cyclohexan
D4d ≡ S8v - S8, C4, 4C2, 4σd Cyclo-Schwefel (S8)
D5d ≡ S10v - S10, C5, 5C2, 5σd Ferrocen
Tetraedergruppen
T 23\ 4C3, 3C2 Pt(PF3)4
Th m3 4S6, 4C3, 3C2, 3σh, i Fe(C6H5)6
Td \bar{4}3m 3S4, 4C3, 3C2, 6σd CH4, P4, Adamantan
Oktaedergruppen
O 432\ 3C4, 4C3, 6C2 -
Oh m3m\ 4S6, 3S4, 3C4, 4C3, 6C2, 3σh, 6σd, i SF6, Cuban
Ikosaedergruppen
I - 12S10, 10S6, 6C5, 10C3, 15C2 -
Ih - 12S10, 10S6, 6C5, 10C3, 15C2, 15σv, i Fulleren-C60, Fulleren-C20 (Pentagondodekaeder)
räumliche Drehgruppen SO(3)
Kh - ∞C, ∞σ, i einatomige Teilchen wie Helium, Elementarteilchen

Anwendungen[Bearbeiten]

Die Eigenschaften eines Kristalls hängen im Allgemeinen von der Richtung ab. Daher werden alle Materialeigenschaften durch einen entsprechenden Tensor beschrieben. Es gibt einen festen Zusammenhang zwischen der Punktgruppe eines Kristalls und der Form des jeweiligen Eigenschaftstensors beziehungsweise der Anzahl seiner unabhängigen Komponenten. Dazu zwei Beispiele:

In Punktgruppen mit einem Inversionszentrum sind alle Komponenten eines ungeraden Tensors identisch Null. Daher gibt es in diesen Punktgruppen keinen Pyroeffekt, keinen Piezoeffekt und auch keine optische Aktivität.

Die elastischen Konstanten sind ein Tensor 4. Stufe. Dieser hat im Allgemeinen 34 = 81 Komponenten. Im kubischen Kristallsystem gibt es aber nur drei unabhängige, von Null verschiedene Komponenten: C1111 (=C2222=C3333), C1122 ( = C2233 = C1133) und C1212 (= C1313=C2323). Alle andere Komponenten sind Null.

In der Molekül- und Festkörperphysik kann man aus der Symmetrie des Moleküls beziehungsweise Kristalls die Anzahl der infrarot- und ramanaktiven Moden und deren Auslenkungsmuster bestimmen. Eine Zuordnung der gemessenen Frequenzen zu den jeweiligen Moden ist mit gruppentheoretischen Methoden nicht möglich. Kann man diese Zuordnung durchführen, so kann man aus den Frequenzen die Bindungsenergien zwischen den Atomen berechnen.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Point groups – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. The Nobel Prize in Chemistry 2011. Nobelprize.org (offizielle Homepage des Nobelpreises), abgerufen am 21. Oktober 2011 (englisch).