Boltzmann-Faktor

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Der Boltzmann-Faktor
mit

( ist die thermische Energie)

spielt eine zentrale Rolle in der theoretischen Thermodynamik (statistische Physik).

So besagt die Boltzmann-Statistik, dass die Wahrscheinlichkeit , einen Zustand der Energie mit einem Teilchen besetzt zu finden, proportional ist zum Boltzmann-Faktor:

wenn sich viele Teilchen bei der Temperatur im thermodynamischen Gleichgewicht befinden.

Innerhalb eines gegebenen Energieintervalls befinden sich evtl. mehrere Zustände, sodass die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen bei dieser Energie zu beobachten, durch das Produkt des Boltzmannfaktors, der Energiezustandsdichte und der Breite des Energieintervalls gegeben ist:

Der Boltzmann-Faktor wird aus rein statistischen Betrachtungen hergeleitet und ist im Wesentlichen unabhängig von den physikalischen Mechanismen (z. B. Wechselwirkungen) innerhalb eines thermodynamischen Systems.

Herleitung der exponentiellen Form[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Annahme: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zustand mit Energie im thermischen Gleichgewicht besetzt ist, ist durch eine stetige Funktion gegeben. Das Verhältnis der Besetzung von zwei beliebigen Zuständen ist dann eine Funktion , die wegen der beliebigen Wahl des Energienullpunkts nur von der Energiedifferenz abhängen kann:

.

Betrachten wir jetzt drei Zustände, so ist , also

.

Diese Funktionalgleichung wird nur von der Exponentialfunktion mit einem freien Parameter gelöst:

.

Mithin

,

und es folgt für die Form der gesuchten Funktion das Endergebnis

.

Die Bedeutung des Parameters erweist sich, wenn mithilfe dieser Gleichung die Gesamtenergie eines Systems aus vielen Massenpunkten berechnet und mit dem Wert gleichgesetzt wird, der für das 1-atomige ideale Gas gilt. Resultat:

Anwendungsbeispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Barometrische Höhenformel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Barometrische Höhenformel

Die potentielle Energie eines Gasmoleküls der Luft mit Masse in der Höhe ist . Die Wahrscheinlichkeit es in dieser Höhe anzutreffen ist proportional zu

.

Arrhenius-Gleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Arrhenius-Gleichung

Zum Start einer chemischen Reaktion ist die molare Aktivierungsenergie erforderlich. Die Geschwindigkeitskonstante einer chemischen Reaktion ist proportional zu

.

Dampfdruckkurve[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Dampfdruckkurve

Der Übergang von der Flüssigkeit in die Gasphase erfordert die molare Verdampfungswärme (präziser wäre Enthalpie). Der Sättigungsdampfdruck ist proportional zu

.