Dreiecksverteilung

Die Dreiecksverteilung (oder Simpsonverteilung, nach Thomas Simpson) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik verwendet wird.

Definition

Die Dreiecksverteilung ist definiert durch die auf dem Intervall $\left[a,b\right]$ definierte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

$f(x)={\begin{cases}{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}},&{\text{wenn }}a\leq x<c\\{\frac {2}{b-a}},&{\text{wenn }}x=c\\{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}},&{\text{wenn }}c<x\leq b.\end{cases}}$

Hierbei bestimmen die Parameter $a$ (minimaler Wert), $b$ (maximaler Wert) und $c$ (wahrscheinlichster Wert) die Gestalt der Dreiecksverteilung ($a<b$ und $a\leq c\leq b$). Der Graph der Dichtefunktion sieht wie ein Dreieck aus und gibt dieser Verteilung ihren Namen. Die $y$-Achse zeigt die Dichte der jeweiligen Wahrscheinlichkeit für einen Wert $x\in \left[a,b\right]$.

Eigenschaften

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion ist

$F(x)={\begin{cases}{\frac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}},&{\text{wenn }}a\leq x<c\\{\frac {c-a}{b-a}},&{\text{wenn }}x=c\\1-{\frac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}},&{\text{wenn }}c<x\leq b.\end{cases}}$

Die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion lautet

$F^{-1}(y)={\begin{cases}a+{\sqrt {y(b-a)(c-a)}},&{\text{wenn }}0\leq y\leq {\frac {(c-a)}{(b-a)}}\\b-{\sqrt {(b-a)(b-c)}}{\sqrt {(1-y)}},&{\text{wenn }}{\frac {(c-a)}{(b-a)}}\leq y\leq 1\end{cases}}$

Erwartungswert und Median

Der Erwartungswert einer dreiecksverteilten Zufallsvariable $X$ ist

$\operatorname {E} (X)={\frac {a+b+c}{3}}.$

Für $b-c>c-a$ ist der Median $m$ gegeben durch

$m=b-{\sqrt {(b-a)(b-c)/2}}$. Für diesen Fall ist der Median kleiner als der Erwartungswert; d. h. die Verteilung ist rechtsschief im Sinne von Pearson.

Varianz

Die Varianz einer dreiecksverteilten Zufallsvariable $X$ ergibt sich zu

$\operatorname {Var} (X)={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}{18}}={\frac {(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}}{36}}.$

Beziehung zu anderen Verteilungen

Summe gleichverteilter Zufallsgrößen

Die Summe zweier identischer unabhängiger und stetig gleichverteilter Zufallsvariablen ist dreiecksverteilt mit $b-c=c-a$, Standardabweichung ${\sqrt {6}}(b-a)/12\approx 0{,}204(b-a)$, mittlerer absoluter Abweichung $(b-a)/6\approx 0{,}167(b-a)$ und Interquartilsabstand $(1-{\sqrt {2}}/2)(b-a)\approx 0{,}293(b-a)$.

Betrag der Differenz gleichverteilter Zufallsgrößen

Der Betrag der Differenz zweier identischer unabhängiger und stetig gleichverteilter Zufallsvariablen $|X_{1}-X_{2}|$ ist dreiecksverteilt mit $a=c=0$.

Trapezverteilung

Die Dreiecksverteilung ist ein Spezialfall der Trapezverteilung.

Diskrete Dreiecksverteilung

Die stetige Dreiecksverteilung kann als Grenzwert einer diskreten Dreiecksverteilung aufgefasst werden.

Literatur

• Norman L. Johnson, Samuel Kotz: Non-Smooth Sailing or Triangular Distributions Revisited after Some 50 Years. In: The Statistician, Vol. 48, No. 2 (1999), S. 179–187

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Triangular Distribution. In: MathWorld (englisch).

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | Dirac | diskret uniform | empirisch | hypergeometrisch | kategorial | negativ hypergeometrisch | Rademacher | verallgemeinert binomial | Zipf | Zipf-Mandelbrot | Zweipunkt

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | discrete-Phase-Type | erweitert negativ binomial | Gauss-Kuzmin | gemischt Poisson | geometrisch | logarithmisch | negativ binomial | parabolisch-fraktal | Poisson | Skellam | verallgemeinert Poisson | Yule-Simon | Zeta

Kontinuierliche univariate Verteilungen

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
Beta | Cantor | Kumaraswamy | raised Cosine | Dreieck | Trapez | U-quadratisch | stetig uniform | Wigner-Halbkreis

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:
Beta prime | Bose-Einstein | Burr | Chi | Chi-Quadrat | Coxian | Erlang | Exponential | Extremwert | F | Fermi-Dirac | Folded normal | Fréchet | Gamma | Gamma-Gamma | verallgemeinert invers Gauß | halblogistisch | halbnormal | Hartman-Watson | Hotellings T-Quadrat | hyper-exponentiale | hypoexponential | invers Chi-Quadrat | scale-invers Chi-Quadrat | Invers Normal | Invers Gamma | Kolmogorow-Verteilung | Lévy | log-normal | log-logistisch | Maxwell-Boltzmann | Maxwell-Speed | Nakagami | nichtzentriert Chi-Quadrat | Pareto | Phase-Type | Rayleigh | relativistisch Breit-Wigner | Rice | Rosin-Rammler | shifted Gompertz | truncated normal | Type-2-Gumbel | Weibull | Wilks’ Lambda

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | exponential Power | Fishers z | Fisher-Tippett (Gumbel) | generalized hyperbolic | Hyperbolic-secant | Landau | Laplace | alpha-stabil | logistisch | normal (Gauß) | normal-invers Gauß’sch | Skew-normal | Studentsche t | Type-1-Gumbel | Variance-Gamma | Voigt

Multivariate Verteilungen

Diskrete multivariate Verteilungen:
Dirichlet compound multinomial | Ewens | gemischt Multinomial | multinomial | multivariat hypergeometrisch | multivariat Poisson | negativmultinomial | Pólya/Eggenberger | polyhypergeometrisch

Kontinuierliche multivariate Verteilungen:
Dirichlet | GEM | generalized Dirichlet | multivariat normal | multivariat Student | normalskaliert invers Gamma | Normal-Gamma | Poisson-Dirichlet

Multivariate Matrixverteilungen:
Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit | Invers Wishart | Matrix Beta | Matrix Gamma | Matrix invers Beta | Matrix invers Gamma | Matrix Normal | Matrix Student-t | Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung | Normal-invers-Wishart | Normal-Wishart | Wishart