Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen

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Diese Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen gibt einen Überblick über die bekanntesten univariaten (eindimensionalen) Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschreiben, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Ergebnisse einer Zufallsvariable verteilen. Dabei unterscheidet man zwischen diskreten Verteilungen, die auf einer endlichen oder abzählbaren Menge definiert sind, und stetigen (kontinuierlichen) Verteilungen, die meist auf Intervallen definiert sind.

Diskrete Verteilungen lassen sich durch ihre Zähldichte beschreiben. Diese gibt für jeden der maximal abzählbar vielen Werte x einer Zufallsvariablen X die Wahrscheinlichkeit an, dass man genau diesen Wert erhält.

Bei stetigen Verteilungen lassen sich die Wahrscheinlichkeiten einzelner Werte nicht angeben, da diese stets die Wahrscheinlichkeit 0 besitzen. Es ist jedoch oft möglich, die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable X einen Wert in einem Intervall [a,b] annimmt, als Integral über eine Dichtefunktion (oder Wahrscheinlichkeitsdichte) f(x) darzustellen:

P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx

Bei den in dieser Liste aufgenommenen stetigen Verteilungen ist eine solche Darstellung über eine Dichtefunktion möglich.

Diskrete Verteilungen[Bearbeiten]

Die unten stehenden Tabellen fassen die Kenngrößen Träger, Wahrscheinlichkeitsfunktion, Verteilungsfunktion, Erwartungswert und Varianz der folgenden diskreten Verteilungen zusammen:

Es bezeichne \lceil . \rceil die Aufrundungsfunktion, \lfloor . \rfloor die Abrundungsfunktion und X jeweils eine entsprechend verteilte Zufallsvariable.

Diskrete Gleichverteilung[Bearbeiten]

Wertebereich der Parameter: n \in \N, k_i \in \R \; (i=1, \dots, n) Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
Auf \{1,2,\dots,20\}, d.h. n=20
Ergebnismenge: \Omega = \{k_i:i = 1, \dots , n\} Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Gleichverteilung
Zähldichte:  f(k) = \frac 1n
Verteilungsfunktion:  P(\{X \le k\}) = \frac{|\{i:x_i \le k\}|}{n}
 P(\{X < k\}) = \frac{|\{i:x_i < k\}|}{n}
Erwartungswert: \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n k_i
Varianz: \frac {1}{n} \left(\sum_{i=1}^n k_i^2 - \frac {1}{n} \left(\sum_{i=1}^n k_i\right)^2\right)

Bernoulli-Verteilung (Null-Eins-Verteilung)[Bearbeiten]

Wertebereich der Parameter: p \in [0,1] Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
p=0.2 (blau), p=0.5 (grün) und p=0.8 (rot)
Ergebnismenge:  \Omega=\{0,1\} Wahrscheinlichkeitsfunktion der Bernoulli-Verteilung
Zähldichte:  f(k) = \begin{cases}p & \mathrm{f\ddot{u}r}\ k = 1\\1-p & \mathrm{f\ddot{u}r}\ k=0\end{cases}
Verteilungsfunktion:  P(\{X \le k\}) =  \begin{cases}0 & \mathrm{f\ddot{u}r}\ k < 0\\1-p & \mathrm{f\ddot{u}r}\ 0 \le k<1 \\ 1 & \mathrm{f\ddot{u}r}\ k\ge 1 \end{cases}
 P(\{X < k\}) =  \begin{cases}0 & \mathrm{f\ddot{u}r}\ k \le 0\\1-p & \mathrm{f\ddot{u}r}\ 0 < k \le 1 \\ 1 & \mathrm{f\ddot{u}r}\ k> 1 \end{cases}
Erwartungswert: p
Varianz: p(1-p)

Binomialverteilung[Bearbeiten]

Wertebereich der Parameter: n \in \N^+ , p \in [0,1] Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
n=20; p=0.1 (blau), p=0.5 (grün) und p=0.8 (rot)
Ergebnismenge:  \Omega=\{0,1,\dots,n\} Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung
Zähldichte:  f(k) = {n \choose k}p^k (1-p)^{n-k}
Verteilungsfunktion:  P(\{X \le k\}) = \sum_{i=0}^{\lfloor k \rfloor}\binom n i p^i (1-p)^{n-i}
 P(\{X < k\}) = \sum_{i=0}^{\lceil k-1 \rceil}{n \choose i}p^i (1-p)^{n-i}
Erwartungswert: np
Varianz: np(1-p)

Negative Binomialverteilung (Pascal-Verteilung)[Bearbeiten]

Wertebereich der Parameter: r \in \N^+ , p \in ]0,1] Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
r=10; p=0.2 (blau), p=0.5 (grün) und p=0.8 (rot)
Ergebnismenge:  \Omega=\{x \in \N \colon x \ge r \} Wahrscheinlichkeitsfunktion der Negativen Binomialverteilung
Zähldichte:  P(\{X = k\}) = {{k-1} \choose {r-1}} p^r(1-p)^{k-r}
Verteilungsfunktion:  P(\{X \le k\}) = \sum_{i=r}^{\lfloor k \rfloor}{i-1 \choose r-1}p^r (1-p)^{i-r}
 P(\{X < k\}) = \sum_{i=r}^{\lceil k-1 \rceil}{i-1 \choose r-1}p^r (1-p)^{i-r}
Erwartungswert: \frac{r}{p}
Varianz: \frac{r(1-p)}{p^2}

Geometrische Verteilung[Bearbeiten]

Variante A[Bearbeiten]

Wertebereich der Parameter: p \in ]0,1[ Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
p=0.2 (blau), p=0.5 (grün) und p=0.8 (rot)
Ergebnismenge:  \Omega=\N^+ Wahrscheinlichkeitsfunktion der Geometrischen Verteilung
Zähldichte:  f(k) = p(1-p)^{k-1}
Verteilungsfunktion:  P(\{X \le k\}) = 1 - (1-p)^{\lfloor k \rfloor}
 P(\{X < k\}) =  1 - (1-p)^{\lceil k-1 \rceil}
Erwartungswert: \frac{1}{p}
Varianz: \frac{1}{p^{2}} - \frac{1}{p}

Variante B[Bearbeiten]

Wertebereich der Parameter: p \in ]0,1[ Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
p=0.2 (blau), p=0.5 (grün) und p=0.8 (rot)
Ergebnismenge:  \N_0 Wahrscheinlichkeitsfunktion der Geometrischen Verteilung
Zähldichte:  f(k) = p(1-p)^k
Verteilungsfunktion:  P(\{X \le k\}) = 1 - (1-p)^{\lfloor k+1 \rfloor}
 P(\{X < k\}) =  1 - (1-p)^{\lceil k \rceil}
Erwartungswert: \frac{1}{p}-1
Varianz: \frac{1}{p^{2}} - \frac{1}{p}

Hypergeometrische Verteilung[Bearbeiten]

Wertebereich der Parameter: N \in \N^+ , M \in \N^+ mit M \le N, n\in \N^+ mit n \le N Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
n=20; M=20, N=30 (blau), M=50, N=60 (grün) und M=20, N=60 (rot)
Ergebnismenge:  \Omega=\{0, 1, \dots, M\} Wahrscheinlichkeitsfunktion der Hypergeometrischen Verteilung
Zähldichte:  f(k) = \frac{\displaystyle{M \choose k}{N-M \choose n-k}}{\displaystyle{N \choose n}}
Verteilungsfunktion:  P(\{X \le k\}) = \sum_{i=\max(0,n-N)}^{\lfloor k \rfloor} \frac {{M \choose i}{N \choose n-i}}{{M+N \choose n} }
 P(\{X < k\}) = \sum_{i=\max(0,n-N)}^{\lceil k-1 \rceil} \frac {{M \choose i}{N \choose n-i}}{{M+N \choose n} }
Erwartungswert: n \frac{M}{N}
Varianz: n \frac{M}{N} \left(1-\frac{M}{N} \right) \frac{N-n}{N-1}

Poisson-Verteilung[Bearbeiten]

Wertebereich der Parameter:  \lambda \in \R^+ Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
\lambda=1 (blau), \lambda=5 (grün) und \lambda = 10 (rot)
Ergebnismenge:  \N_0 Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisson-Verteilung
Zähldichte:  f(k) = \frac{\lambda^k}{k!}\cdot \mathrm{e}^{-\lambda}
Verteilungsfunktion:  P(\{X \le k\}) = \sum_{i=0}^{\lfloor k \rfloor} \frac{\lambda^i}{i!}\; \mathrm{e}^{-\lambda}
 P(\{X < k\}) = \sum_{i=0}^{\lceil k-1 \rceil} \frac{\lambda^i}{i!}\; \mathrm{e}^{-\lambda}
Erwartungswert: \lambda
Varianz: \lambda

Logarithmische Verteilung[Bearbeiten]

Wertebereich der Parameter: p \in (0,1) Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
p=0.2 (blau), p=0.5 (grün) und p=0.8 (rot)
Ergebnismenge:  \Omega=\N^+ Wahrscheinlichkeitsfunktion der Logarithmischen Verteilung
Zähldichte:  f(k) = \frac{p^k}{k}\cdot\frac{1}{-\ln(1-p)}
Verteilungsfunktion:  P(\{X \le k\}) = \sum_{i=0}^{\lfloor k \rfloor} \frac{p^{i}}{i}\cdot\frac{1}{-\ln(1-p)}
 P(\{X < k\}) = \sum_{i=0}^{\lceil k-1 \rceil} \frac{p^{i}}{i}\cdot\frac{1}{-\ln(1-p)}
Erwartungswert: \frac{p}{-(1-p)\ln(1-p)}
Varianz: \frac{p(-\ln(1-p)-p)}{(1-p)^{2}\ln^{2}(1-p)}

Stetige Verteilungen[Bearbeiten]

Die unten stehenden Tabellen fassen die Kenngrößen Träger, Dichtefunktion, Verteilungsfunktion, Erwartungswert und Varianz der folgenden stetigen Verteilungen zusammen:

Dabei bezeichnen \Gamma(r) die Gammafunktion, B(p,q) die Betafunktion und X jeweils eine entsprechend verteilte Zufallsvariable mit Dichte f(x) und Verteilungsfunktion F(x).

Stetige Gleichverteilung (Rechteckverteilung, Uniformverteilung)[Bearbeiten]

Wertebereich der Parameter: a,b \in \R mit a<b Bild der Dichtefunktion:
a=4, b=8 (blau), a=1, b=18 (grün) und a=1, b=11 (rot)
Ergebnismenge: \Omega=]a,b] Dichtefunktion der Gleichverteilung
Dichtefunktion: f(x) = \begin{cases}
\frac {1}{b-a} & \mbox{für } a < x \le b \\
0 & \mbox{ sonst }
\end{cases}
Verteilungsfunktion: F(x) = \begin{cases}
0 & \mbox {für } x \le a \\
\frac {x-a}{b-a} & \mbox{für } a < x \le b \\
1 & \mbox{für } x > b
\end{cases}
Erwartungswert: \frac{a+b}{2}
Varianz: \frac{(b-a)^2}{12}

Normalverteilung (Gauß-Verteilung)[Bearbeiten]

Wertebereich der Parameter: \mu \in \R und \sigma \in \R^+ Bild der Dichtefunktion:
\mu=0, \sigma=1 (blau), \mu=0, \sigma=2 (grün) und \mu=-1, \sigma=2 (rot)
Ergebnismenge: \R Dichtefunktion der Normalverteilung
Dichtefunktion: f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}
Verteilungsfunktion: F(x) = \frac {1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \cdot \int_{-\infty}^{x} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm{d}t
Erwartungswert: \mu
Varianz: \sigma^2

Logarithmische Normalverteilung (Log-Normalverteilung)[Bearbeiten]

Wertebereich der Parameter: \mu \in \R und \sigma \in \R^+ Bild der Dichtefunktion:
\mu=0, \sigma=1 (blau), \mu=0, \sigma=2 (grün) und \mu=-1, \sigma=2 (rot)
Ergebnismenge: \Omega=\R^+ Dichtefunktion der logarithmischen Normalverteilung
Dichtefunktion: f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,\frac{1}{x}\, \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\operatorname{ln}\,x-\mu}{\sigma}\right)^2}
Verteilungsfunktion: F(x) = \begin{cases}
0 & \mbox {für } x \le 0 \\
\frac {1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}} \cdot \int_{0}^{x} \,\frac{1}{t}\, \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{\operatorname{ln}\,t-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm{d}t & \mbox {für } x > 0
\end{cases}
Erwartungswert: \exp(\mu+\sigma^2/2)
Varianz: \exp(2\mu+\sigma^2)\cdot(\exp(\sigma^2)-1)

Exponentialverteilung[Bearbeiten]

Wertebereich der Parameter: \alpha \in \R^+ Bild der Dichtefunktion:
\alpha = 1 (blau), \alpha = 5 (grün) und \alpha = 10 (rot)
Ergebnismenge: \Omega=\R^+ Dichtefunktion der Exponentialverteilung
Dichtefunktion: f(x) = \alpha \cdot \mathrm{e}^{-\alpha x}
Verteilungsfunktion: F(x) = \begin{cases}
0 & \mbox {für } x \le 0 \\
1-\mathrm{e}^{-\alpha x} & \mbox{für } x > 0
\end{cases}
Erwartungswert: \frac{1}{\alpha}
Varianz: \frac{1}{\alpha^2}

Chi-Quadrat-Verteilung (Chi²-Verteilung)[Bearbeiten]

Wertebereich der Parameter: n \in \N^+ Bild der Dichtefunktion:
n=2 (blau), n=5 (grün) und n=10 (rot)
Ergebnismenge: \Omega=\R^+ Dichtefunktion der Chi-Quadrat-Verteilung
Dichtefunktion: f(x) =\frac{x^{\frac{n}{2}-1}\mathrm{e}^{ -\frac{x}{2}}}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\tfrac{n}{2})}
Verteilungsfunktion: F(x) = \begin{cases}\displaystyle
      0                                                                                        & \mbox {für } x\leq 0 \\
1 - \frac{\Gamma \left(\frac{n}{2},\frac{x}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} & \mbox {für } x>0
    \end{cases}
Erwartungswert: n
Varianz: 2n

Studentsche t-Verteilung[Bearbeiten]

Wertebereich der Parameter: k \in \N^+ Bild der Dichtefunktion:
k=2 (blau), k=5 (grün) und k=10 (rot)
Ergebnismenge: \Omega=\R Dichtefunktion der Students t-Verteilung
Dichtefunktion: f(x) = \frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})\,\sqrt{k\,\pi\,}}\,\cdot\,\left(1+\frac{x^2}{k}\right)^{(-\frac{k+1}{2})}
Verteilungsfunktion: F(x) = \frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})\,\sqrt{k\,\pi\,}}\,\cdot\,\int_{-\infty}^{x} \,\left(1+\frac{t^2}{k}\right)^{(-\frac{k+1}{2})} \mathrm{d}t
Erwartungswert: 0
Varianz: \frac{k}{k-2}

F-Verteilung (Fisher-Verteilung)[Bearbeiten]

Wertebereich der Parameter: m \in \N^+ und n \in \N^+ Bild der Dichtefunktion:
m=2, n=10 (blau), m=10, n=10 (grün) und m=10, n=2 (rot)
Ergebnismenge: \Omega=\R^+ Dichtefunktion der F-Verteilung
Dichtefunktion: f(x) = 
\frac{\Gamma(\frac{m+n}{2})\, \left(\frac{m}{n}\right)^\frac{m}{2}}{\Gamma(\frac{m}{2})\,\Gamma(\frac{n}{2})}x^{(\frac{m}{2}-1)}\left(1+\frac{m}{n}x\right)^{(-\frac{m+n}{2})}
Verteilungsfunktion: F(x) = \begin{cases}
0\\
\quad \mbox {für } x \le 0 \\
\frac{\Gamma(\frac{m+n}{2})\, \left(\frac{m}{n}\right)^\frac{m}{2}}{\Gamma(\frac{m}{2})\,\Gamma(\frac{n}{2})}\int_{0}^{x} \,t^{(\frac{m}{2}-1)}\left(1+\frac{m}{n}t\right)^{(-\frac{m+n}{2})} \mathrm{d}t \\
\quad \mbox {für } x > 0
\end{cases}
Erwartungswert: \frac{n}{n-2} (nur definiert für n>2)
Varianz: \frac{2 n^2 (m+n-2)}{m (n-2)^2 (n-4)} (nur definiert für n>4)

Gammaverteilung[Bearbeiten]

Wertebereich der Parameter: p \in \R^+ und b \in \R^+ Bild der Dichtefunktion:
p=0.5, b=2 (blau), p=1, b=1 (grün) und p=2, b=1 (rot)
Ergebnismenge: \Omega=\R^+ Dichtefunktion der Gammaverteilung
Dichtefunktion: f(x) = {b^p\over\Gamma(p)}x^{p-1}\mathrm{e}^{-bx}
Verteilungsfunktion: F(x) = \begin{cases}
0 & \mbox {für } x \le 0 \\
{b^p\over\Gamma(p)}\,\cdot\,\int_{0}^{x} \,t^{p-1}\mathrm{e}^{-bt} \mathrm{d}t & \mbox {für } x > 0
\end{cases}
Erwartungswert: \frac{p}{b}
Varianz: \frac{p}{b^2}

Betaverteilung[Bearbeiten]

Wertebereich der Parameter: p \in \R^+ und q \in \R^+ Bild der Dichtefunktion:
p=0.5, q=2 (blau), p=2, q=2 (grün) und p=2, q=5 (rot)
Ergebnismenge: \Omega=[0,1] Dichtefunktion der Betaverteilung
Dichtefunktion: f(x) = {{1}\over {B(p,q)}} x^{p-1}(1-x)^{q-1}
Verteilungsfunktion: F(x) = \begin{cases}
0 & \mbox {für } x < 0 \\
{{1}\over {B(p,q)}} \int_0^{x} u^{p-1} (1-u)^{q-1}\mathrm{d}u & \mbox {für } 0 \le x \le 1 \\
 1 & \mbox {für } x > 1
\end{cases}
Erwartungswert: {p \over p+q}
Varianz: {pq \over (p+q+1)(p+q)^{2}}

Logistische Verteilung[Bearbeiten]

Wertebereich der Parameter: \alpha \in \R und \beta \in \R^+ Bild der Dichtefunktion:
\alpha=0, \beta=1 (blau), \alpha=0, \beta=2 (grün) und \alpha=-1, \beta=1 (rot)
Ergebnismenge: \Omega=\R Dichtefunktion der logistischen Verteilung
Dichtefunktion: f(x) = \frac{\mathrm{e}^{-\frac{x-\alpha}{\beta}}}{\beta \left( 1 + \mathrm{e}^{-\frac{x-\alpha}{\beta}} \right)^2}
Verteilungsfunktion: F(x) = \frac{1}{1 + \mathrm{e}^{-\frac{x-\alpha}{\beta}}}
Erwartungswert: \alpha
Varianz: \frac{\beta^2 \pi^2}{3}

Weibull-Verteilung[Bearbeiten]

Wertebereich der Parameter: \alpha \in \R^+ und \beta \in \R^+ Bild der Dichtefunktion:
\alpha=1, \beta=1 (blau), \alpha=1, \beta=2 (grün) und \alpha=5, \beta=3 (rot)
Ergebnismenge: \Omega=\R^+ Dichtefunktion der Weibull-Verteilung
Dichtefunktion: f(x)= \alpha \beta x^{\beta - 1} \mathrm{e}^{- \alpha x^ \beta}
Verteilungsfunktion: F(x)=\begin{cases} 1-\mathrm{e}^{- \alpha x^ \beta} & \mbox{für }x > 0\\
 0 & \mbox{für }x \le 0
\end{cases}
Erwartungswert: \alpha^{-1/ \beta} \cdot \Gamma\left(\frac{1}{\beta}+1\right)
Varianz: \alpha^{-2/ \beta} \cdot \left(\Gamma\left(\frac{2}{\beta}+1\right)- \Gamma \left(\frac{1}{\beta}+1\right)^2\right)

Cauchy-Verteilung (Cauchy-Lorentz-Verteilung, Lorentz-Verteilung)[Bearbeiten]

Wertebereich der Parameter: s \in \R^+ und t \in \R Bild der Dichtefunktion:
s=1, t=0 (blau), s=2, t=0 (grün) und s=2, t=-1 (rot)
Ergebnismenge: \Omega=\R Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung
Dichtefunktion: f(x) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{s}{s^2 + (x-t)^2}
Verteilungsfunktion: F(x)=\frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \cdot \arctan\left(\frac{x-t}{s}\right)
Erwartungswert: nicht definiert
Varianz: nicht definiert

Pareto-Verteilung[Bearbeiten]

Wertebereich der Parameter: x_\min\in\R^+ und k \in \R^+ Bild der Dichtefunktion:
x_{\min}=1, k=1 (blau), x_{\min}=1, k=2 (grün) und x_{\min}=2, t=1 (rot)
Ergebnismenge: \Omega=[x_\min,\infty) Dichtefunktion der Pareto-Verteilung
Dichtefunktion: f(x)=\frac{k}{x_{\min}}\left(\frac{x_{\min}}{x}\right)^{k+1}
Verteilungsfunktion: F(x)=1-\left(\frac{x_{\min}}{x}\right)^{k}
Erwartungswert:  \begin{cases}\displaystyle
                              x_{\min} \frac{k}{k-1} & \mbox {für }k > 1\\
                              \infty                      & \mbox {für }k \leq 1
                             \end{cases}
Varianz: \begin{cases}\displaystyle
                x_{\min}^2 \frac{k}{(k-2)(k-1)^2} & \mbox {für }k > 2 \\
                                  \infty                                                             & \mbox {für }k \leq 2
                                \end{cases}

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

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