Alpha-stabile Verteilungen

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Dichtefunktionen einiger symmetrischer α-stabiler Verteilungen

Die Familie der α-stabilen Verteilungen ist eine Verteilungsklasse von stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus der Stochastik, die durch folgende definierende Eigenschaft beschrieben werden: sind X_1,X_2, \dotsc, X_n, X unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen, und gilt

X_1+X_2+ \dotsb+X_n \sim c_n X für alle  n \in \mathbb{N} und eine Folge  (c_n)_{n\in \N},

so nennt man X stabil verteilt, wobei \sim als "hat dieselbe Verteilung wie" zu lesen ist. Man kann zeigen, dass die einzig mögliche Wahl  c_n=n^{1/\alpha}, \alpha \in (0,2] ist. Die reelle Zahl \alpha nennt man hierbei den Formparameter. Da die Theorie der stabilen Verteilungen maßgeblich durch Paul Lévy mitgestaltet wurde, nennt man jene Verteilungen deshalb auch manchmal Lévy-stabile Verteilungen.

Beispiele[Bearbeiten]

Obwohl die stabilen Verteilungen für jedes \alpha des obigen Intervalls wohldefiniert sind, ist nur für wenige spezielle Werte von α die Dichte explizit gegeben:

X_1, X_2, \ldots, X_n \sim \mathcal{N} (0,\sigma^2) \Rightarrow \sum_{i=1}^n X_i \sim \mathcal{N} (0,n \sigma^2) \sim n^{1/2} \mathcal{N} (0,\sigma^2). Die Normalverteilung ist die einzige Verteilung mit dem Formparameter \alpha=2.
X_1, X_2, \ldots, X_n \sim {\rm Cauchy} (0,a) \Rightarrow \sum_{i=1}^n X_i \sim n \, {\rm Cauchy} (0,a)
sie ist also stabil mit Formparameter \alpha=1.

Eigenschaften[Bearbeiten]

α-stabile Verteilungen für unterschiedliche Werte des Schiefeparameters
\psi_{\alpha, \beta}(u)=\exp\left(-|u|^\alpha \left(1-i \beta \tan\left(\frac{\pi \alpha}{2}\right) \sgn(u)\right)\right)

Der Parameter \beta \in [-1,1] ist hierbei frei wählbar und heißt Schiefeparameter.

Literatur[Bearbeiten]

  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, Kap. 16.