Bose-Einstein-Statistik

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Besetzungszahl \langle n \rangle als Funktion der Energie E - \mu
für Bosonen (Bose-Einstein-Statistik, obere Kurve)
bzw. Fermionen (Fermi-Dirac-Statistik, untere Kurve),
jeweils im Spezialfall der Wechselwirkungsfreiheit und bei konstanter Temperatur T > 0.
Das chemische Potential \mu ist ein Parameter, der von Temperatur und Dichte abhängt;
im Bose-Fall ist es immer kleiner als die Energie und würde im Grenzfall der Bose-Einstein-Kondensation verschwinden;
im Fermi-Fall dagegen ist es positiv, bei T = 0 \, \mathrm{K} entspricht es der Fermienergie.

Die Bose-Einstein-Statistik oder auch Bose-Einstein-Verteilung, benannt nach Satyendranath Bose und Albert Einstein, ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Quantenstatistik (dort auch die Herleitung). Sie beschreibt die mittlere Besetzungszahl  \langle n(E) \rangle eines Quantenzustands der Energie E\, im thermodynamischen Gleichgewicht bei der absoluten Temperatur T für identische Bosonen als besetzende Teilchen.

Analog existiert für Fermionen die Fermi-Dirac-Statistik, die ebenso wie die Bose-Einstein-Statistik im Grenzfall großer Energie E in die Boltzmann-Statistik übergeht.

Kernpunkt der Bose-Einstein-Statistik ist, dass bei gleichzeitiger Vertauschung aller vier Variablen x, y, z, m\, zweier Bosonen (x, y\, und z\,: Ortsvariable; m\,: Spinvariable) die Wellenfunktion \psi \, bzw. der Zustandsvektor eines Vielteilchensystems nicht das Vorzeichen wechselt  (\psi \rightarrow \psi) , während es in der Fermi-Dirac-Statistik sehr wohl wechselt  (\psi \rightarrow -\psi) . Im Gegensatz zu Fermionen können deshalb mehrere Bosonen im gleichen Ein-Teilchen-Zustand sein, also die gleichen Quantenzahlen haben.

Bei Wechselwirkungsfreiheit[Bearbeiten]

Bei Wechselwirkungsfreiheit (Bosegas) ergibt sich für Bosonen die folgende Formel:

 \langle n(E) \rangle = \frac {1}{e^{\beta (E - \mu)} - 1}

mit

  • dem chemischen Potential \mu, welches für Bosonen stets kleiner als der niedrigste mögliche Energiewert ist: \mu < E;
    daher ist die Bose-Einstein-Statistik nur für Energiewerte E - \mu > 0 definiert.
  • der Energienormierung \beta. Die Wahl von \beta hängt von der verwendeten Temperaturskala ab:
    • üblicherweise wird sie gewählt zu \beta = 1/(k_\mathrm{B} T) mit der Boltzmann-Konstanten k_\mathrm{B};
    • sie beträgt \beta = 1/T, wenn die Temperatur in Energieeinheiten, etwa Joule, gemessen wird; dies geschieht, wenn k_\mathrm{B} auch in der Definition der Entropie – welche dann einheitenlos ist – nicht auftaucht.

Unterhalb einer sehr tiefen kritischen Temperatur T_\lambda erhält man bei Wechselwirkungsfreiheit – unter der Annahme, dass \mu\, gegen das Energie-Minimum strebt – die Bose-Einstein-Kondensation.

Man beachte, dass es sich bei  \langle n(E) \rangle um die Besetzungszahl eines Quantenzustandes handelt. Benötigt man die Besetzungszahl eines entarteten Energieniveaus, so ist obiger Ausdruck zusätzlich mit dem entsprechenden Entartungsgrad g_i = 2s +1 zu multiplizieren (s\,: Spin, bei Bosonen immer ganzzahlig), vgl. auch Multiplizität.

Literatur[Bearbeiten]

  • U. Krey, A. Owen, Basic Theoretical Physics - a Concise Overview, Berlin Heidelberg New York, Springer 2007, ISBN 978-3-540-36804-5 (auf Englisch)
  • L. D. Landau, E. M. Lifschitz, Statistische Physik, Verlag Harri Deutsch, ehem. Akademie Verlag Berlin 1987. (verwendet unübliche Temperatureinheit).