Zinseszins

Als Zinseszins wird die Berechnung von Zinsen auf Kapital und bereits kapitalisierte (dem Kapital zugeschriebene) Zinsen vergangener Berechnungsperioden verstanden. Erforderlich ist somit, dass dem Kapital bereits fällige Zinsen zugeschlagen (kapitalisiert) wurden, sodass die neue Berechnungsgrundlage von Kapital und kapitalisierten Zinsen ausgeht.

Das Verlangen nach Zinseszins wird als Anatozismus (von griech.: anatokismós „Nehmen von Zinseszins“, aus aná „auf“ und tókos „Zins“) bezeichnet. Mit der Berechnung des Zinseszinses in Abhängigkeit vom Zinssatz sowie der Höhe und Dauer einer Kapitalanlage beschäftigt sich die Zinseszinsrechnung, ein Teilgebiet der Finanzmathematik. Durch Zinseszinsen steigen Vermögen und Schulden exponentiell, da der Zuwachs pro Zinsperiode immer größer wird.

Rechtsgrundlagen

Das BGB verbietet generell die Berechnung von Zinseszinsen (§ 248 Abs. 1 BGB), indem es derartige Vereinbarungen für nichtig erklärt. Mit dem Verbot soll eine übermäßige, schwer durchschaubare Zinskumulation gerade auch im Verzugsfall (§ 289 Satz 1 BGB) verhindert werden. Deshalb dürfen Verzugszinsen von rückständigen Zinsen nicht berechnet werden. Der frühere Ausnahmebehelf des unabdingbaren Kündigungsrechts bei hohem Zins (§ 247 Abs. 1 BGB a.F.) ist seit 2002 zu einer neuen darlehensrechtlichen Verbraucherschutzvorschrift (§ 489 Abs. 1 Nr. 2 BGB) umgestaltet und ausgebaut worden.

Vom Zinseszinsverbot ausgenommen sind Guthabenzinsen auf Einlagen bei Kreditinstituten sowie Darlehenszinsen auf Hypotheken von Pfandbriefbanken (§ 248 Abs. 2 BGB). Weitere Ausnahme des generellen Verbots von Zinseszinsen ist das Kontokorrent, dessen besondere Rechtsfolge die Befreiung vom Zinseszinsverbot darstellt (§ 355 Abs. 1 HGB). Das Zinseszinsverbot wäre beim Kontokorrent ein massives Hindernis für die Erreichung seines Vereinfachungs- und Vereinheitlichungszwecks. Denn im Kontokorrentverhältnis werden (nur) die am Schluss der Abrechnungsperiode nicht beglichenen Zinsen in den neuen Saldo eingestellt und mitverzinst.

Der Gläubiger kann als Schadensersatz nach § 286 Abs. 1, § 289 Satz 2 BGB Zinsen von Verzugszinsen verlangen, wenn er den Schuldner wegen rückständiger Verzugszinsbeträge wirksam in Schuldnerverzug gesetzt hat. Der Bundesgerichtshof war hier der Auffassung, dass das Zinseszinsverbot in § 289 Satz 1 BGB (das auch mit der Beendigung eines Kontokorrentverhältnisses eingreift) nur die „gesetzlichen" Verzugszinsen betreffe; ein Schadensersatzanspruch wegen verzögerter Zinszahlung sei aber, wie sich aus der Regelung des § 289 Satz 2 BGB ergebe, auch insoweit nicht grundsätzlich ausgeschlossen.

Zinseszinsrechnung

Die Zinseszinsrechnung beantwortet die Frage, auf welches Endkapital K_n ein anfängliches Kapital K₀ nach insgesamt n Zeiträumen (kann auch ein Teilwert sein, siehe Artikel Aufzinsung und Aufzinsfaktor) angewachsen ist, wenn in jedem dieser Zeiträume mit dem festen Zinssatz von p % verzinseszinst wird.

Zinseszinsformel: $K_n = K_0 \left(1 + p/100\right)^n$

mit K_n = Endkapital; K₀ = Anfangskapital; p = Zinsfuß (Zinssatz in Prozent); n = Anzahl der geltenden Zeiträume/Jahre

Die Formel leitet sich aus folgendem Zusammenhang her: Ein Sparer tätigt eine einmalige Kapitalanlage auf einem Konto eines Kreditinstituts in Höhe eines anfänglichen Kapitals. Dieses Kapital wird während einer bestimmten Anlagedauer mit Zinseszins verzinst. Die Anlagedauer bestehe aus mehreren gleich langen Zeiträumen, die mit Hilfe der Natürlichen Zahlen fortlaufend durchgezählt werden. Man sagt auch, die Zeiträume werden mit dem Index i fortlaufend von i = 1 bis i = n durchnummeriert. Damit kann man die Anlagedauer als Summe aller n Zeiträume formulieren:

$\text{Anlagedauer} = \text{Zeitraum}_1 + \text{Zeitraum}_2 + \dots + \text{Zeitraum}_i + \dots + \text{Zeitraum}_{(n-1)} + \text{Zeitraum}_n$

Zu Beginn des ersten Zeitraums (i = 1) liegt auf dem Konto des Sparers das anfängliche Kapital, das durch den Buchstaben K mit angehängtem Indexwert i = 0 dargestellt wird:

Anfangskapital zu Beginn von Zeitraum₁:K₀

Wichtig sind die beiden verwendeten Indexwerte. Der erste Zeitraum erhält den Indexwert i = 1, während das Anfangskapital mit i = 0 nummeriert wird. Die unterschiedliche Nummerierung kommt dadurch zustande, da das ursprüngliche Anfangskapital K₀ während des ersten Zeitraumes sich nicht verändert. Die Zinsen werden erst nach Ablauf des ersten Zeitraumes also im zweiten Zeitraum gutgeschrieben.

Der Sparer hat sich entschieden, für die Anlagedauer nicht auf sein Kapital zuzugreifen. Dafür „belohnt“ ihn das Kreditinstitut bzw. letztlich der Kreditnehmer mit einer Gutschrift von Zinsen. Übliche Praxis ist nun, dass wiederholt jeweils am Ende von jedem der n Zeiträume innerhalb der Anlagedauer jeweils Zinsen gutgeschrieben werden.

Es wird also z. B. für den ersten Zeitraum der Zinswert Z₁ vergütet:

$\text{Zinswert f}\mathrm{\ddot u}\text{r den Zeitraum}_1: Z_1$

Die konkrete Höhe des Zinswertes Z₁ im ersten Zeitraum bestimmt sich wie folgt: Das Kreditinstitut drückt die „Belohnung“ des Sparers für die Überlassung des Kapitals in prozentualer Form als Zinssatz aus, also z. B. „sechs Prozent“ (6 % = 6/100). Die reine Zahl, die vor dem Prozentzeichen steht, wird Zinsfuß p genannt. Der am Ende des ersten Zeitraums gutgeschriebene Zinswert Z₁ verhält sich zum anfänglichen Kapitalwert K₀ genau so, wie sich der Zinsfuß p zum Wert 100 verhält. Dieser Zusammenhang stellt eine Verhältnisgleichung dar.

$\frac{\text{Zinswert f}\mathrm{\ddot u}\text{r Zeitraum}_1}{\text{Kapitalwert zu Beginn von Zeitraum}_1} = \frac{\text{Zinssatz f}\mathrm{\ddot u}\text{r Zeitraum}_1}{100}\qquad \Leftrightarrow\qquad \frac{Z_1}{K_0} = \frac{p}{100}$.

Diese Verhältnisgleichung erscheint viel theoretischer als das, was sie im praktischen Einsatz tatsächlich leistet. Sie besagt ganz einfach, dass ein z. B. mit sechs Prozent verzinstes Anfangskapital von 1000 Euro im ersten Zeitraum einen Zinswert von genau 60 Euro „erwirtschaften“ muss, damit die gesuchten Verhältnisse stimmen:

$\frac{Z_1}{K_0} = \frac{60}{1000} = \frac{6}{100}$.

Diese Festlegung für das Verhältnis zwischen Zinswert und Kapitalwert im ersten Zeitraum lässt sich so verallgemeinern, dass für jedes Verhältnis von Zinswert Z_i zu Kapitalwert K_{(i − 1)} in jedem i-ten Zeitraum die Verhältnisgleichung gilt:

$\frac{Z_i}{K_{(i-1)}} = \frac{p}{100}$.

Nach Umstellung erhält man für den Zinswert Z_i die Formel

$Z_i = K_{(i-1)} \cdot \frac{p}{100}$.

Bis hierhin wird deutlich, was mit „Verzinsung für einen Zeitraum“ gemeint ist.

Zur Betrachtung des Zinseszinses muss erneut berücksichtigt werden, dass der Sparer für das „zur Verfügung stellen“ des anfänglichen Kapitals K₀ nach Maßgabe der obigen Zinswert-Formel „belohnt“ wird. Seinem Konto wird am Ende des ersten Zeitraums also folgender Zinswert Z₁ gutgeschrieben:

$Z_1 = K_0 \cdot \frac{p}{100}$.

Somit wächst das anfängliche Kapital K₀ bis zum Ende des ersten Zeitraums genau um diesen Zinswert Z₁. Beide zusammen bilden also den neuen Kontostand. Diese Summe nennt man auch das (vorläufige) Endkapital K₁, das folgerichtig mit dem Indexwert i = 1 versehen wird:

$K_1 = K_0 + Z_1 = K_0 + K_0 \cdot \frac{p}{100} = K_0 \left(1 + \frac{p}{100}\right)$.

Dieses (vorläufige) Endkapital K₁ ist nun zugleich das Anfangskapital für den zweiten Zeitraum (i = 2). Es „erwirtschaftet“ darin den Zinswert Z₂, der erneut hinzuaddiert wird:

$K_2 = K_1 + Z_2 = K_1 + K_1 \cdot \frac{p}{100} = K_1 \left(1 + \frac{p}{100}\right)\ = K_0 \left(1 + \frac{p}{100}\right) \left(1 + \frac{p}{100}\right) = K_0 \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2$.

Für positive Zinsfüße p > 0 gilt stets

$1 + \frac{p}{100} > 1$,

weshalb dieser Term Aufzinsfaktor genannt wird.

Damit wirkt bereits während des zweiten Zeitraums der Zinseszins-Effekt: Das Anfangskapital K₀ im ersten Zeitraum wächst mit dem Aufzinsungsfaktor 1 + p/100 auf das (vorläufige) Endkapital K₁. Auf die gleiche Weise steigt das Kapital K₁ im zweiten Zeitraum mit demselben Aufzinsungsfaktor auf das (vorläufige) Endkapital K₂. Über beide Zeiträume hinweg betrachtet ist das anfängliche Kapital K₀ jedoch überproportional, nämlich mit dem Quadrat des Aufzinsungsfaktors, auf das (vorläufige) Endkapital K₂ angewachsen.

Verallgemeinert bedeutet dies, dass sich am Ende der Anlagedauer, also nach insgesamt n Zinszeiträumen, schließlich das Endkapital K_n durch n-maliges Multiplizieren des Anfangskapitals K₀ mit dem Aufzinsungsfaktor

$K_n = K_0 \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$

ergibt.

Exponentieller Schuldenanstieg

Werden Zinsen nicht beglichen, sondern kapitalisiert, hat dies eine zukünftige Mitverzinsung auch der kapitalisierten Zinsen zur Folge. Dadurch ergibt sich ein exponentieller Anstieg des Gesamtkapitals.

Diese Entwicklung hat die Deutsche Bundesbank bei den öffentlichen Haushalten untersucht und gelangt zu dem Ergebnis, dass sich die öffentliche Verschuldung wegen der hohen Zinsbelastung sozusagen automatisch erhöht, ohne dass es einer ausgabenbedingten Neuverschuldung bedarf. „Als Warnzeichen muss insbesondere gelten, dass der Anstieg der Schuldenquote in den letzten Jahren (…) wesentlich mit der hohen Zinsbelastung zusammenhängt. Damit nährt sich die Verschuldung aus sich selbst heraus". Die Neuverschuldung dient infolge des fortgeschrittenen Stadiums der Staatsverschuldung faktisch nur noch der Finanzierung der von ihr selbst erzeugten Zinslast.

So hat sich das jährliche zinseszinsbedingte Haushaltsdefizit zwischen 1990 und 2008 verdoppelt. Es wird weiter wachsen, solange es mit neuen Schulden finanziert und nicht aus erwirtschafteten Steuereinnahmen zurückgeführt wird. Der Zinseszinseffekt gilt als Hauptgrund für das Anwachsen der Staatsschulden. Die Staatsschulden und die Zinslasten wachsen auf Grund mathematischer Gesetzmäßigkeiten (Zinseszins- und Rentenrechnung) nicht linear, sondern mit progressiver Eigendynamik in Höhe des Zinseszinssatzes (exponentielles Wachstum). Seit 1965 wurden, mit wenigen Ausnahmen, die fälligen Zinszahlungen nicht mit eigenen Mitteln (z.B. Steuereinnahmen), sondern über erneute Kreditaufnahmen gedeckt. Die Tilgung für diese Kredite, die anfallenden Schulden und sonstige Ausgaben werden über weitere Neuverschuldungen gedeckt, die wiederum höhere Defizite und somit einen neuen Bedarf an Krediten erforderlich machen. In einem Beispiel macht Adrian Ottnad deutlich, wie durch den Zinseszinseffekt die Staatsschuldenquote von 50 % innerhalb von zehn Jahren auf 66 % ansteigt und damit die Gefahr einer Überschuldung - nicht nur bei öffentlichen Haushalten - mitverursachen kann.

Dennoch bleibt festzuhalten, dass der Zinseszins nicht zwangsläufig zu einem realen Schuldenanstieg führt, nämlich dann nicht, wenn auch die Einnahmenseite des Staatshaushaltes (Steuern) ein exponentielles Wachstum zeigt. Dieses Wachstum kann, zumindest teilweise, durch Inflation entstehen. Inflation (Geldentwertung) mindert den Wert der Guthaben und der Schulden. Gläubiger werden daher als Inflationsausgleich entsprechend vermehrt Zins auf die Guthaben verlangen. Gleichzeitig wird durch Inflation die Verschuldung real geringer. Der nominale Schuldenanstieg ist also nicht nur auf den Zinseszins zurückzuführen, sondern auch auf die individuelle Ausgestaltung der Geldpolitik und des Haushaltsplans eines Landes, durch die die Inflation beeinflusst wird.

Beispiel

Das Anfangskapital beträgt 1000 Euro, dessen jährlich anfallenden 5 % Zinsen werden nicht dem Anfangskapital zugeschlagen und damit wieder angelegt, sondern entnommen und getrennt gesammelt. Nach 50 Jahren erhöht sich so die Summe aus Anfangskapital und getrennt gesammelten Einzeljahreszinsen auf 3500 Euro. Werden die jährlichen Zinsen aber immer dem jeweils neu anzulegenden Betrag zugeschlagen (kapitalisiert), kann der Zinseszins dagegen seine Wirkung voll entfalten. Dann werden aus den anfänglichen 1000 Euro bei ansonsten unveränderten Parametern in derselben Zeit eine Summe von 11.467 Euro. Dieser Effekt wird zum „modernen Schuldturm“ bei Kreditaufnahmen, wenn die Kreditzinsen nicht bezahlt werden (können) und dann im nächsten Jahr mitverzinst werden. Neben dem Laufzeitfaktor ist der Zinseszins damit die wichtigste Vermögenserhöhungs- und Schuldenvergrößerungsursache.

$K_{50} = 1000\,\mathrm{Euro} \cdot (1 + 0{,}05)^{50} = 11.467{,}40\,\mathrm{Euro}$.

Wenn man allerdings über den gleichen Zeitraum eine Inflation von Beispielsweise 3 % mit einrechnet, so reduziert sich der Zinseszinseffekt durch die Geldentwertung erheblich, da nach 50 Jahren das Geld nur noch einen Wert relativ zum Ursprungswert von 0,228 hat. Die 11.467 Euro haben dann nur noch eine Kaufkraft von 2.616 Euro bezogen auf den Zeitpunkt des Anfangskapitals von 1000 Euro. Berechnet man hingegen die Geldentwertung auf die Summe aus Anfangskapital und die getrennt gesammelten Einzeljahreszinsen ohne Zinseszins von zusammen 3500 Euro, so hat man nach 50 Jahren nur noch eine Kaufkraft von 798 Euro und somit deutlich weniger als das eingesetzte Kapital. Da die Inflation eine exponentielle Geldentwertung hervor ruft, muss eine Verzinsung ebenfalls exponentiell über den Zinseszins erfolgen, da ansonsten auch bei einem Zinssatz der deutlich über der Inflation liegt auf lange Sicht der reale Wert eines Guthabens nicht erhalten bleibt.

Der Zinseszinseffekt kann bei ausreichendem Wirtschaftswachstum kompensiert werden. Wenn ein Staat beispielsweise seine Schulden mit 5 % verzinsen muss und eine Inflationsrate von 3 % vorliegt, so müsste das reale Wirtschaftswachstum jährlich etwa 2 % betragen, damit die reale Schuldenquote nicht zunimmt, auch wenn keine Zinsen bezahlt und keine Schulden getilgt werden. In diesem Fall würden die Inflation und das reale Wirtschaftswachstum den Zinseszinseffekt dauerhaft kompensieren, da Inflation und Wirtschaftswachstum dem gleichen exponentiellen Wachstum wie der Zinseszinseffekt unterliegt. Die nominale Wachstumsrate der Staatseinnahmen entspricht dann dem Zinssatz der Staatsschulden. Reicht das Wirtschaftswachstum nicht aus um den Zinseszinseffekt vollständig zu kompensieren, so muss langfristig, entweder der Zinssatz sinken, die Inflation steigen oder jährlich der Teil der Zinslast aufgebracht werden der nicht durch Inflation und Wirtschaftswachstum kompensiert wird. Bei einem realen Wirtschaftswachstum von 0 % müsste jährlich mindestens die Differenz von Zinssatz und Inflation, also 2 % in diesem Beispiel, aufgebracht werden damit es auch auf Dauer nicht zu einer Überschuldung kommt.

Aus den Zinseszins-Formeln kann man auch ableiten, wann sich ein Investment (Anlage eines Betrages zu einem Zinssatz) verdoppelt hat: 72er-Regel.

Ein weiteres verbreitetes Beispiel, welches die extremen Beträge illustriert, die durch die Annahme von über lange Zeit gleichbleibenden Wachstumsraten aufgrund von Zinseszinseffekten rechnerisch erhalten werden, ist das Beispiel des im Jahr Null angelegten Pennys: der Josephspfennig.

Siehe auch

• Rentenrechnung
• Sparkassenformel
• Zinsrechnung (in diesem Artikel finden sich auch weitere Formeln zur Zinseszinsrechnung)

Weblinks

• Erklärungen für Schüler
• Tutorial zur Zinsrechnung mit Übungsbeispielen und Lösungen

Einzelnachweise

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