Augustin-Louis Cauchy

Augustin Louis Cauchy [ogysˈtɛ̃ lwi koˈʃi] (* 21. August 1789 in Paris; † 23. Mai 1857 in Sceaux) war ein französischer Mathematiker.

Als ein Pionier der Analysis entwickelte er die von Gottfried Wilhelm Leibniz und Sir Isaac Newton aufgestellten Grundlagen weiter, wobei er die fundamentalen Aussagen auch formal bewies. Insbesondere in der Funktionentheorie stammen viele zentrale Sätze von ihm. Seine fast 800 Publikationen decken im Großen und Ganzen die komplette Bandbreite der damaligen Mathematik ab.

Nach dem Tode Leonhard Eulers hatten viele den Eindruck, dass die Mathematik fast vollständig erforscht und keine wesentlichen Probleme mehr übrig seien. Es waren insbesondere Carl Friedrich Gauß und Cauchy, die diesen Eindruck relativieren konnten.

Cauchy war streng katholisch und ein Anhänger des französischen Herrschergeschlechts der Bourbonen. Dies brachte ihn zur Zeit der Französischen Revolution immer wieder in einen Konflikt zu vielen seiner Zeitgenossen.

Augustin Louis Cauchy

Leben

Cauchys Vater Louis-François war ein streng katholischer, belesener Royalist. Zum Zeitpunkt der Erstürmung der Bastille am 14. Juli 1789 war er die rechte Hand des Lieutenant Général der Polizei von Paris, Louis Thiroux de Crosne. Dieser floh kurz darauf nach England, und Louis-François Cauchy verlor seinen Posten. Wenige Wochen später wurde Augustin Louis geboren, mitten in die französische Revolution hinein. Im April 1794 kehrte Thiroux zurück, wurde verhaftet und am selben Tage zum Tode verurteilt. Louis-François nahm daraufhin aus Angst vor Denunziation seine Familie mit in ihr Landhaus nach Arcueil, wo sie in Armut und Hunger lebten. Der kleine Augustin Louis erhielt von seinem Vater grundlegenden Unterricht. Der Hunger und die gefährliche Situation hinterließen eine lebenslange Abneigung gegen Revolutionen. Nach dem Ende der Terrorherrschaft kehrte die Familie nach Paris zurück, Louis-François machte wieder Karriere und wurde schließlich nach dem Staatsstreich Napoleons Generalsekretär des Senats. Das führte zu einer engen Bekanntschaft mit dem damaligen Innenminister Pierre-Simon Laplace und dem Senator Joseph-Louis Lagrange, zwei bedeutenden Mathematikern. Sie erkannten bereits früh das mathematische Talent des Sohns, so soll etwa Lagrange gesagt haben:

Vous voyez ce petit jeune homme, eh bien! Il nous remplacera tous tant que nous sommes de géomètres („Eines Tages wird dieser Junge uns simple Geometer alle übertreffen.“)

und riet seinem Vater:

Lassen Sie dieses Kind vor dem siebzehnten Lebensjahr kein mathematisches Buch anrühren. Wenn Sie sich nicht beeilen, ihm eine gründliche literarische Erziehung zu geben, so wird ihn seine Neigung fortreissen. Er wird ein grosser Mathematiker werden, aber kaum seine Muttersprache schreiben können. (G. Kowalewski: Grosse Mathematiker, München-Berlin 1939)

Augustin Louis Cauchy hatte zwei jüngere Brüder: Alexandre Laurent (1792–1857), der wie sein Vater Jurist wurde und in den Staatsdienst eintrat, sowie Eugène François (1802–1877), einen Schriftsteller.

Auf Anraten von Lagrange lernte Cauchy zunächst klassische Sprachen, was ihn auf eine weitere Mathematikausbildung vorbereiten sollte. So besuchte er ab 1802 zwei Jahre lang die École Centrale du Panthéon, wo er besonders in Latein glänzte. Daraufhin entschied er sich, die Ingenieurslaufbahn einzuschlagen, und nahm ab 1804 Mathematikunterricht, der ihn für die Aufnahmeprüfung an der jungen École Polytechnique vorbereiten sollte. 1805 absolvierte er als Zweitbester die Aufnahmeprüfung, die von dem französischen Mathematiker und Physiker Jean Baptiste Biot durchgeführt wurde. Die École Polytechnique sollte Ingenieure für Frankreichs öffentlichen Dienst ausbilden, und die Studenten mussten sich früh für eine spezielle Richtung entscheiden. Cauchy wählte Straßen- und Brückenbau. Der Unterricht war sehr mathematiklastig. Seine Lehrer trugen bekannte Namen wie Lacroix, de Prony, Hachette und Ampère. Nach zwei Jahren war Augustin-Louis Klassenbester und durfte zur weiteren Ausbildung auf die École Nationale des Ponts et Chaussées. Auch hier war er unter den Besten und durfte in seinem Praktikum unter Pierre Girard am Ourcq-Kanal mitarbeiten. In Paris waren die Studenten alles andere als unpolitisch. Während die meisten revolutionär und liberal eingestellt waren, trat Cauchy der Kongregation bei, dem weltlichen Arm der Jesuiten. Er blieb dort Mitglied, bis sie 1828 faktisch verboten wurde. Nach zwei Pflichtstudienjahren verließ er die Universität im Januar 1810 als aspirant-ingénieur.

Ingenieur Napoleons

Im Februar 1810 erhielt Cauchy den Auftrag, beim Bau des Hafens Port Napoléon in Cherbourg mitzuhelfen, der damals größten Baustelle Europas mit etwa 3000 Arbeitern. Ziel war die Vorbereitung der Invasion Englands. Die Arbeiten waren umfangreich, und in seiner knappen Freizeit beschäftigte er sich mit der Mathematik. Seine anfängliche Freude und sein Interesse am Ingenieurberuf nahmen jedoch bald ab, und so reifte sein Entschluss, eine wissenschaftliche Laufbahn einzuschlagen. Cauchys Ziel war jedoch zu diesem Zeitpunkt keineswegs die Mathematik. Die allgemeine wissenschaftliche Auffassung nach Eulers Tod war, dass die Probleme der Mathematik so gut wie vollständig gelöst waren. Wichtig war vor allem die Ingenieurswissenschaft sowie das Finden neuer Anwendungsfelder für Mathematik.

Die Forschungen während seiner Zeit in Cherbourg erbrachten eine kleine Verallgemeinerung des Eulerschen Polyedersatzes und einen Beweis für einen Satz über die Frage, unter welchen Bedingungen Polyeder mit gleichen Flächen identisch sind. Den Satz hatte Euklid bereits in seinen Elementen formuliert, er war jedoch bis dahin nie bewiesen worden. Cauchy schuf sich durch diese Arbeit einen Namen in der akademischen Pariser Gesellschaft.

Im Sommer 1812 verschlechterte sich sein Gesundheitszustand stark. Cauchy war seit seiner Kindheit und dem Hunger in Arcueil mit einer schlechten Gesundheit gestraft und litt an gelegentlichen Depressionen. Die große Arbeitsbelastung in Cherbourg machte ihm zu schaffen, so dass er im September krank geschrieben wurde und die Erlaubnis erhielt, zu seiner Familie nach Paris zurückzukehren. Als sich seine Gesundheit verbesserte, war er ganz und gar nicht darauf erpicht, wieder als Ingenieur arbeiten zu müssen, und widmete sich der Forschung. Er befasste sich, inspiriert vom Satz von Lagrange, mit der Gruppentheorie und fand ferner die drei Axiome, welche eine Determinante eindeutig definieren.

Im Frühjahr 1813 endete seine Krankschreibung. Cauchy wollte auf keinen Fall nach Cherbourg zurückkehren. Da verschaffte ihm sein ehemaliger Lehrer Pierre Girard die Möglichkeit, weiter am Ourcq-Kanalprojekt in Paris mitzuarbeiten. Im April heiratete er Aloise de Bure, die Tochter eines angesehenen Buchhändlers und Verlegers. Die beiden hatten zwei Töchter, Marie Françoise Alicia und Marie Mathilde. Seine Forschung war in diesem Jahr unergiebig: Zwar gab er eine Methode an, wie man die Anzahl der Lösungen einer algebraischen Gleichung beliebigen Grades angeben kann, diese war jedoch völlig unpraktikabel. Gleichzeitig bewarb er sich auf über 50 freie Stellen an den Pariser Akademien, allerdings ohne Erfolg – trotz der guten Beziehungen seines Vaters, der Druck ausübte, wo er konnte. Seine wissenschaftlichen Kollegen Ampère, Legendre, Poinsot und Molard wurden berufen, Cauchy nicht. Cauchy ließ sich im Sommer ohne Bezahlung krank schreiben. Die Niederlage Napoléons 1814 kam ihm zu Gute: Das Ourcq-Kanalprojekt wurde unterbrochen, und ihm wurde keine neue Stelle zugewiesen. Dieses Jahr markiert ebenfalls den Beginn der Beschäftigung Cauchys mit komplexen Funktionen.

Professor an der École Polytechnique

Die endgültige Niederlage Napoleons 1815 verschaffte Cauchys Karriere einen Auftrieb. Ludwig XVIII. wurde jetzt König von Frankreich, und mit ihm gelangten reaktionäre Kräfte an die Macht. Cauchys Vater schaffte es als treuer Royalist, seinen Posten auch unter dem neuen Regime zu behalten. Wissenschaftler, die von zweifelhafter politischer, also revolutionärer Gesinnung waren, hatten nun einen schweren Stand. Augustin Louis als strenger Katholik hatte diese Probleme nicht, und so erhielt er im November 1815 eine Stelle als Assistenzprofessor an der École Polytechnique und bereits im Dezember eine volle Professur. Im März 1816 wurde die Académie des Sciences vom König selbst umgestaltet, zwei liberale Mitglieder entfernt und die freiwerdenden Plätze durch erzkonservative Wissenschaftler wie Cauchy besetzt, der den Platz von Gaspard Monge einnahm.

Dieses Vorgehen machte ihm keine Freunde. Auch wenn er mittlerweile einen hervorragenden Ruf als Mathematiker hatte und seine Berufungen fachlich nicht zu beanstanden waren, blieb ihnen doch der Makel der politischen Protektion. Dazu kam, dass Cauchy wenig auf die Meinungen anderer gab und nach außen sehr schroff war, insbesondere gegen Nichtkatholiken. Sein Unterstützer Lagrange war 1813 gestorben, und Cauchy schaffte es, sich auch noch Laplace zum Feind zu machen, indem er die Methoden von Laplace und Poisson als zu intuitiv und zu wenig exakt bezeichnete. Mit Poisson, der auf sehr ähnlichen Gebieten arbeitete, behielt er allerdings ein gutes Arbeitsverhältnis und die beiden arbeiteten häufig zusammen. Einzig mit dem katholischen Ampère verband ihn eine enge Freundschaft.

Als Mitglied der Académie war eine von Cauchys Pflichten die Begutachtung von eingesandten wissenschaftlichen Artikeln. Dieser Arbeit widmete er viel seiner Zeit, allerdings nicht unbedingt zur Freude der Schreiber. So schrieb Abel: „Cauchy ist verrückt und man kann nichts dagegen tun. Allerdings ist er zur Zeit der einzige, der weiß, wie man Mathematik machen sollte.“ Ähnliche schlechte Erfahrungen machten Galois und Poncelet. Es schien auch, dass Cauchy teilweise die Papiere der jungen Wissenschaftler verloren hatte, was ihm heftig vorgeworfen wurde. Ostrogradski dagegen fand nur warme Worte für Cauchy, der den jungen Russen sogar mehrmals aus dem Schuldturm freikaufte, wenn jener mal wieder seine Miete nicht bezahlen konnte.

Als Lehrender ging Cauchy mit großem Eifer zur Sache. Er hielt die Analysis für eine Grundvoraussetzung zum Meistern der Mechanik und anderer wichtiger Ingenieursdisziplinen. Es entstanden in dieser Zeit im Rahmen seiner Vorlesungen die Bände Cours d’analyse de l’École Polytechnique. Er legte großen Wert auf die Genauigkeit der Definitionen und führte viel neuen Stoff ein, wie seine neue Definition der Ableitung, die auf einem Grenzwert beruhte und nicht auf dem Infinitesimalkalkül. Dies gefiel den Studenten nicht, denen Cauchys Vorlesungen zu abstrakt und zu wenig ingenieurorientiert waren. Hinzu kam, dass die liberale Studentenschaft dem Royalisten Cauchy auch aus politischen Gründen nicht wohlgesinnt war, einmal wurde er sogar ausgebuht. Schwerwiegender blieb, dass Cauchys Reformen des Stoffs und des Curriculums auch auf Seiten der Professoren (mit Ausnahme Ampères, der ihn tatkräftig unterstützte) nicht auf Gegenliebe stießen.

Seine Vorstellungen von der Lehre schrieb er in einigen Büchern nieder. Diese sind Meilensteine der Analysis.

Exil nach der Julirevolution

Im Juli 1830 wurde der reaktionäre König Karl X. gestürzt und durch den liberalen Bürgerkönig Louis Philippe ersetzt. Die Studenten der École Polytechnique spielten eine nicht unbedeutende Rolle in den Straßenkämpfen. Für Cauchy war dies alles zu viel. Er verließ im September die Stadt und ließ seine Familie zurück. Zunächst ging er in die Schweiz, nach Freiburg im Üechtland, einer Hochburg der Jesuiten. Eine Rückkehr nach Frankreich setzte nun allerdings einen Treueschwur auf das neue Regime voraus, was für ihn nicht in Frage kam. So blieb Cauchy nichts anderes als das Exil fern von seiner Familie. Er verlor seine Posten und ging 1831 nach Turin, wo er auf einen Lehrstuhl für theoretische Physik berufen wurde. Bereits 1833 verließ er die Stadt, um sich Karl X. auf dem Hradschin in Prag anzuschließen, und wurde Hauslehrer dessen Enkels Heinrich, des Herzogs von Bordeaux.

Karl X. hatte im August 1830 abgedankt und seinen Enkel zum Thronerben erklärt. Dieser erhob damit ab seinem 14. Lebensjahr Anspruch auf den Titel des Königs von Frankreich. Dementsprechend war seine Erziehung ein Politikum, das auch in Frankreich genau verfolgt wurde, wo einige Adlige lieber die Bourbonen als Louis-Philippe auf dem Thron wünschten. Cauchy wurde aufgrund seiner wissenschaftlichen Meriten und seiner Nähe zu den Jesuiten ausgewählt, den Prinzen in Mathematik und den Naturwissenschaften, insbesondere Chemie und Physik, zu unterrichten. Er nahm diese Aufgabe sehr ernst, so wie er auch den Anspruch des Prinzen auf den Thron lebhaft unterstützte. So bereitete er sich gewissenhaft auf die Unterrichtsstunden vor und betrieb in diesen Jahren so gut wie keine Forschung. Es zeigte sich auch hier, wie schon in Paris und Turin, sein mangelndes Talent als Lehrer. Der Prinz zeigte keinerlei Interesse oder Begabung für Mathematik und er verstand von dem, was Cauchy ihm erzählte, herzlich wenig. Bis zu seinem 18. Lebensjahr, als seine Ausbildung beendet wurde, entwickelte er eine ausgiebige Abneigung gegen Mathematik. Cauchy zeigte als Lehrer keinerlei Autorität, und der verwöhnte Bourbonenprinz tanzte ihm nach Belieben auf der Nase rum und trieb derbe Späße mit ihm.

1834 holte Augustin Louis seine Familie nach, die er die letzten vier Jahre nur bei seltenen Besuchen in Paris gesehen hatte. Zwei Jahre später zog der Tross des Exilkönigs nach Görz weiter, wo der Prinz 1838 seinen 18. Geburtstag feierte. Für Cauchy bedeutete dies das Ende seines Lebens als Hauslehrer. Karl X. belohnte ihn für seine Dienste mit dem Titel eines Barons, auf den Cauchy ab da viel Wert legte. Aufgrund der schlechten Gesundheit seiner Mutter, die dann auch 1839 starb, kehrte er wieder nach Paris zurück.

Jede Woche eine Veröffentlichung

Cauchy war nun in der schwierigen Situation, dass er wegen seiner Weigerung, den Treueeid auf den König zu schwören, keine Professur mehr innehatte. Zwar war er weiterhin Mitglied der Académie des Sciences und konnte so am wissenschaftlichen Leben teilhaben und publizieren, allerdings konnte er sich auf keine neue Stelle bewerben. Eine Ausnahme war das Bureau des Longitudes, in dem der Treueeid nicht so eng gesehen wurde, weswegen er sich entschloss, sich dort auf eine freiwerdende Stelle zu bewerben. Cauchy setzte sich auch Ende 1839 durch, allerdings stellte sich die Regierung quer: ohne Eid keine formelle Einstellung. Die nächsten vier Jahre wurde dies am Bureau geflissentlich ignoriert. Cauchy war nun also wieder Professor, allerdings ohne Salär.

Damit begann eine seiner schaffensreichsten Perioden. In Prag hatte Cauchy so gut wie nichts veröffentlicht, allerdings über vieles nachgedacht, und die reifen Ideen brachte er jetzt zu Papier. Die Académie hatte ein Journal eingerichtet, die Comptes Rendus, in dem die Mitglieder schnell publizieren konnten. Cauchy nutzte dies aus wie kein anderer: zwischen 1839 und Februar 1848 veröffentlichte er über 300 Artikel. Rechnet man ein, dass er 1844 nicht forschte, so bleibt fast ein Artikel die Woche, eine unglaubliche Schaffensgeschwindigkeit. Er muss diese Zeitschrift derartig mit Abhandlungen überschwemmt haben, dass man zukünftig die Seitenzahl pro Abhandlung auf vier beschränkte.

1843 starb Lacroix und so wurde eine Professur am Collège de France frei. Es bewarben sich Liouville, Cauchy und Libri, der Lacroix bereits vertreten hatte und dort seine Inkompetenz nachdrücklich bewiesen hatte. Libri hatte jedoch einen großen Vorteil: Seine politische Haltung. Die Jesuiten versuchten in dieser Zeit, ihre Vorstellungen der Lehre an den französischen Universitäten durchzusetzen, also in die Freiheit der Lehre einzugreifen. Cauchy unterstützte dieses Vorhaben nachdrücklich und mit eigenem Einsatz. Libri dagegen war ein bekennender Gegner der Jesuiten, und aus diesem Grund wurde Libri zum Professor ernannt. Schlimmer noch, das Ministerium setzte jetzt einen Schlussstrich unter die Affäre am Bureau des Longitudes: Cauchy wurde vor die Tür gesetzt, da er den Treueeid nie geleistet hatte. Er widmete daraufhin das nächste Jahr der Unterstützung der jesuitischen Politik.

Erst die Februarrevolution von 1848, die den Bürgerkönig Louis-Philippe stürzte, änderte etwas an seiner Situation.

Die letzten Jahre

Die Februarrevolution brachte nicht, wie von Cauchy erhofft, seinen ehemaligen Schüler Henri auf den Thron, sondern Napoléon III. Auch diesem wollte Cauchy keinen Treueeid schwören. Die neue Regierung machte aber für Frankreichs größten Mathematiker eine Ausnahme. So erhielt er 1849 eine Professur. Aus privater Sicht war die Februarrevolution ein schwerer Schlag für die Familie Cauchy. Augustin Louis’ Vater und seine beiden Brüder, die seit dem Staatsstreich Napoleons fast 50 Jahre zuvor hochstehende Beamte waren und jeden Regimewechsel überstanden hatten, verloren diesmal ihre Posten. Für Louis François Cauchy war dies zu viel: er starb im Dezember 1848.

1850 bewarb Cauchy sich, ebenso wie Liouville, wieder auf die Mathematikprofessur am Collège de France – Libri war geflüchtet. Liouville wurde gewählt, und es entspann sich ein hässlicher Streit zwischen den beiden. Cauchy wollte seine Niederlage nicht akzeptieren (die erste Abstimmung hatte elf Stimmen für ihn, zehn für Liouville und zwei Enthaltungen ergeben). Die beiden gerieten daraufhin auch wissenschaftlich in Streit: 1851 präsentierte Cauchy einige Resultate Hermites über doppeltperiodische Funktionen und bewies sie mittels seines Integralsatzes. Liouville meinte, dass die Resultate direkt aus seinem Satz von Liouville folgen würden. Der Konter war vernichtend: Cauchy zeigte, dass man den Satz von Liouville sehr einfach mit dem Integralsatz beweisen kann.

Auf die jungen Mathematiker Frankreichs übte Cauchy einen bedeutenden Einfluss aus: auch in seinen letzten Jahren, in denen er sein Forschungspensum stark zurückschraubte, evaluierte er viele eingereichte Artikel und kritisierte sie ausgiebig. Cauchy hatte ferner die letzten Jahre versucht, seine Kollegen zum katholischen Glauben zurückzuführen. Dies war ihm bei dem Mathematiker Duhamel gelungen. Ausgerechnet mit ihm lieferte er sich im Dezember 1856 einen Prioritätsstreit, den Ostrogradski zu Ungunsten Cauchys aufklären konnte. Cauchy weigerte sich, seinen Fehler zuzugeben, und wurde so Zielscheibe vieler Anfeindungen, die seine letzten Monate überschatteten.

Er starb 1857 in Sceaux bei Paris im Kreis seiner Familie.

Werk

Das Werk Cauchys ist beachtlich: es umfasst nahezu 800 Artikel und diverse Bücher. In 27 Bänden wurde es im Laufe von fast 100 Jahren in den Œuvres complètes, Paris, Gauthier-Villars, 1882–1974, veröffentlicht.

Die Inspiration für seine Forschung holte Cauchy sich aus zwei Quellen: der Mathematiklehre und der Physik. Die großen Mathematiker vor ihm, wie Euler oder Lagrange, hatten ohne saubere mathematische Definitionen gearbeitet, wie sie heute eine Selbstverständlichkeit sind, und viel intuitives Verständnis von Funktionen, Differenzierbarkeit oder Stetigkeit benutzt. Bei der Vorbereitung zu seinen Vorlesungen fielen Cauchy diese Lücken auf, und so stellte er als erster die Analysis auf eine strenge methodische Basis – eine seiner großen wissenschaftlichen Leistungen, weswegen man ihn als einen der ersten modernen Mathematiker betrachtet.

Hatte man vorher eher intuitiv mit infinitesimalen Einheiten argumentiert, führte Cauchy in seinen Vorlesungen Cours d’analyse de l’École Polytechnique (1821) Grenzwerte zur Definition der Stetigkeit und Differenzierbarkeit ein. Dies ermöglichte eine exakte Problemdefinition und die Beweisbarkeit der verwendeten Theorien.

Mit dem Cours d’Analyse beginnt das Zeitalter der Strenge und der Arithmetisierung der Analysis. Lediglich der Begriff der (lokal) gleichmäßigen Konvergenz fehlt noch, um dem Werk den letzten Schliff zu geben. In Unkenntnis dieses Begriffs spricht Cauchy den unrichtigen Satz aus, dass konvergente Reihen stetiger Funktionen immer stetige Grenzfunktionen haben (nach Reinhold Remmert, Funktionentheorie I, Springer-Verlag, 1984).

Ein großer Teil der wissenschaftlichen Beiträge Cauchys sind in seinen drei Werken Cours d’analyse de l’École Polytechnique (1821), Exercises de mathématique (5 Bände, 1826–30) und Exercises d’analyse et de physique mathématique (4 Bände) aufgeführt, die Cauchy im Rahmen seiner Vorlesungen an der École Polytechnique verfasst hatte. Beispielhaft folgt die Gliederung eines Teils der Vorlesungen, die schon einen großen Teil seiner Forschungen widerspiegeln. Die wichtigsten Beiträge in seinen Abhandlungen betreffen vor allem Folgen und Reihen sowie komplexe Funktionen.

COURS D’ANALYSE DE L’ECOLE ROYALE POLYTECHNIQUE	Vorlesung der Analysis an der königlichen polytechnischen Hochschule
Première Partie	Erster Teil
Analyse algébrique	Algebraische Analysis
1. Des fonctions réelles.	1. Reelle Funktionen
2. Des quantités infiniment petites ou infiniment grandes, et de la continuité des fonctions. Valeurs singulières des fonctions dans quelques cas particuliers.	2. Unendlich kleine oder unendlich große Größen. Singuläre Funktionswerte in bestimmten Fällen.
3. Des fonctions symétriques et des fonctions alternées. Usage de ces fonctions pour la résolution des équations du premier degré à un nombre quelconque d’inconnues. Des fonctions homogènes.	3. Symmetrische und alternierende Funktionen. Verwendung dieser Funktionen für die Lösung von Gleichungen ersten Grades mit mehreren Unbekannten. Homogene Funktionen.
4. Détermination des fonctions entières, d’après un certain nombre de valeurs particulières supposées connues. Applications.	4. Vollständige Bestimmung ganzer Funktionen anhand einzelner bekannter Funktionswerte. Anwendungen.
5. Détermination des fonctions continues d’une seule variable propres à vérifier certaines conditions.	5. Bestimmung stetiger Funktionen mit einer Variablen unter Berücksichtigung bestimmter Bedingungen.
6. Des séries (réelles) convergentes et divergentes. Règles sur la convergence des séries. Sommation de quelques séries convergentes.	6. Reelle divergente und konvergente Reihen. Regeln der Konvergenz von Reihen. Summation ausgewählter konvergenter Reihen.
7. Des expressions imaginaires et de leurs modules.	7. Komplexe Ausdrücke und ihre Beträge.
8. Des variables et des fonctions imaginaires.	8. Komplexe Variable und Funktionen.
9. Des séries imaginaires convergentes et divergentes. Sommation de quelques séries imaginaires convergentes. Notations employées pour représenter quelques fonctions imaginaires auxquelles on se trouve conduit par la sommation de ces mêmes séries.	9. Komplexe konvergente und divergente Reihen. Summation von ausgewählten konvergenten komplexen Reihen. Verwendete Notation, um bestimmte komplexe Funktionen darzustellen, die bei der Reihensummation auftreten.
10. Sur les racines réelles ou imaginaires des équations algébriques dont le premier membre est une fonction rationnelle et entière d’une seule variable. Résolution de quelques équations de cette espèce par l’algèbre ou la trigonométrie.	10. Reelle oder komplexe Wurzeln algebraischer Gleichungen, deren erstes Glied eine ganze rationale Funktion einer Variablen ist. Algebraische oder trigonometrische Lösung derartiger Gleichungen.
11. Décomposition des fractions rationnelles.	11. Zerlegung rationaler Brüche.
12. Des séries récurrentes.	12. Rekursive Folgen.

Folgen und Reihen

In der Theorie der Folgen und Reihen hat Cauchy viele wichtige Kriterien für deren Konvergenz entwickelt.

Von grundlegender Bedeutung für die Theorie der Folgen und Reihen ist die Cauchy-Folge. Cauchy benutzte im Cours d’analyse das Cauchykriterium für Reihen, das analog auf Folgen angewandt werden kann, um ihre Konvergenz zu zeigen. Einen echten Beweis dafür, dass Cauchyfolgen in R konvergieren, gab er allerdings nicht. Bernard Bolzano hatte bereits 1817 bewiesen, dass der Grenzwert einer Cauchy-Folge eindeutig bestimmt sein muss, allerdings setzten offenbar sowohl Bolzano als auch Cauchy die Existenz dieses Grenzwerts in R als anschaulich gegeben voraus. Erst in der von Eduard Heine und Georg Cantor begründeten Theorie der reellen Zahlen (vgl. Konstruktion von R aus Q) wurde dieser Mangel beseitigt, indem R einfach als Menge von (Äquivalenzklassen von) Fundamentalfolgen definiert wurde. Zu Ehren Cauchys heißen diese seither Cauchy-Folgen.

Cauchy zeigte die Konvergenz der geometrischen Reihe und leitete daraus das Quotientenkriterium und das Wurzelkriterium ab. Letzteres besagt, dass eine Reihe reeller Zahlen konvergiert, wenn ab einem n-ten Summanden der Reihe die n-te Wurzel dieses Summanden kleiner als eine Zahl kleiner als Eins ist. Meistens kann das Wurzelkriterium mit Hilfe des Grenzwerts der n-ten Wurzel praktisch überprüft werden.

Einer ähnlichen Idee folgt die Formel von Cauchy-Hadamard, mit der man den Konvergenzradius einer Potenzreihe ermitteln kann. Er berechnet sich als oberer Grenzwert des Quotienten zweier benachbarter Koeffizienten einer Potenzreihe.

Der Grenzwertsatz von Cauchy besagt schließlich, dass das arithmetische Mittel der Elemente einer konvergenten Folge gegen den Grenzwert dieser Folge strebt.

Der Cauchy’sche Verdichtungssatz gibt ein Kriterium an, wie ausgewählte Glieder einer Reihe (daher verdichtet) als Kriterium für eine streng monoton fallende Reihe verwendet werden können.

Im Reihenproduktsatz wies er erstmals nach, dass die so genannte Cauchysche Produktreihe zweier konvergenter Reihen unter besonderen Bedingungen ebenfalls konvergiert. Dieser Beweis wird häufig für die Konvergenzanalysen von Potenzreihen herangezogen.

Cauchy hat außer dem Reihenproduktsatz noch weitere Erkenntnisse über die Potenzreihen geliefert. Vor allem bewies er erstmals mit formaler Strenge das Taylorsche Theorem und entwickelte in diesem Zusammenhang das Cauchysche Restglied einer Taylorreihe.

Als erster bewies er streng die Konvergenz der schon von Leonard Euler untersuchten Folge $\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ (ihr Grenzwert ist die Eulersche Zahl $e$).

Eine spezielle Anwendung konvergenter Folgen findet sich im Cauchyschen Hauptwert, mit dessen Hilfe Integrale von Funktionen mit Polstellen bestimmt werden können. Man untersucht hier, ob das Integral der Funktion in der Umgebung der Polstelle konvergiert.

Differential- und Integralrechnung

Ebenfalls im Cours d’Analyse findet sich Cauchys Definition der Ableitung als Grenzwert. Seine Zeitgenossen Lagrange und Laplace hatten die Ableitung über Taylor-Reihen definiert, da sie annahmen, dass eine stetige Funktion durch eine unendliche Taylor-Reihe eindeutig dargestellt werden konnte, die Ableitung war dann einfach der zweite Koeffizient der Reihe. Cauchy widerlegte diese Annahme erstmals.

In der Integralrechnung benutzte Cauchy ebenfalls als erster (auch im Cours d’Analyse) eine Definition über einen Grenzwertprozess, bei dem das Integrationsintervall in immer kleiner werdende Teilintervalle unterteilt wird und die Länge jedes Teilintervalls mit dem Funktionswert am Anfang des Intervalls multipliziert wird.

Funktionentheorie und Differentialgleichungen

Cauchys Leistungen auf dem Gebiet der Funktionentheorie, also der Lehre von komplexen Funktionen, waren bahnbrechend. Euler und Laplace hatten bereits auf intuitive Weise die komplexe Zahlenebene zur Berechnung von reellen Integralen benutzt, allerdings ohne diese Vorgehensweise durch einen Beweis rechtfertigen zu können. Laplace konnte Cauchy für diese Methoden interessieren, und 1814 fing jener an, sich systematisch mit komplexen Funktionen auseinanderzusetzen. Er definierte im Cours d’Analyse als erster formal eine Funktion komplexer Variablen und war faktisch bis etwa 1840 der einzige, der sich mit Funktionentheorie beschäftigte, dementsprechend groß ist sein Beitrag zu diesem Gebiet.

In seinem berühmten Aufsatz Sur les intégrales définies begann er 1814, reelle Funktionen über Rechtecke in der komplexen Zahlenebene zu integrieren, um reelle Integrale auszurechnen. Hier tauchen zum ersten mal die Cauchy-Riemannschen partiellen Differentialgleichungen auf, die komplexe Differenzierbarkeit und partielle Differentialgleichungen verbinden: Eine komplexwertige Funktion ist genau dann komplex differenzierbar, wenn sie dem oben genannten System der Cauchy-Riemannschen Gleichungen genügt. Es folgt ein Beweis des cauchyschen Integralsatzes für das Rechteck. Schließlich beschäftigt sich der Aufsatz mit dem Fall, dass die Funktion in dem Rechteck einfache Polstellen hat und enthält den Residuensatz für den Fall der Integration über ein Rechteck.

Diese Ansätze verfolgt er in den nächsten zehn Jahren weiter und verallgemeinerte sie auf beliebige Integrationspfade (wobei er davon ausging, dass der jordansche Kurvensatz gilt) und auch auf mehrfache Pole. Ferner stellte er Poissons Ansatz, ein reelles Integral über eine Polstelle durch Ausnutzen der komplexen Ebene auszurechnen, auf fundierten Boden.

Alle holomorphen Funktionen können mit Hilfe der Integralformel von Cauchy beliebig oft differenziert werden. Man kann dann mit diesen Ableitungen holomorphe Funktionen als Potenzreihen darstellen.

Mit der Cauchyschen Majorantenmethode kann die Existenz der Lösungen einer Differentialgleichung mit einer holomorphen Funktion als rechte Seite untersucht werden. Grundlage dafür ist die Potenzreihenentwicklung der Lösung.

Cauchy untersuchte ebenfalls gewöhnliche Differentialgleichungen und gab für lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten einen Lösungsweg, basierend auf der Fourier-Transformation und seinem Residuensatz. Er lieferte ebenfalls mit Hilfe des eulerschen Polygonzugverfahrens einen einfachen Existenzbeweis. Nach ihm ist das Cauchy-Problem benannt, das sind Anfangswertprobleme, bei denen die Lösungen auf dem kompletten Raum gesucht werden.

Funktionalgleichungen

Im Kapitel 5 seiner Analyse algébrique untersuchte Cauchy die vier Funktionalgleichungen

$\Phi (x+y)=\Phi (x)+\Phi (y)\;$

$\Phi (x+y)=\Phi (x)\Phi (y)\;$

$\Phi (xy)=\Phi (x)+\Phi (y)\;$

$\Phi (xy)=\Phi (x)\Phi (y)\;$

und bewies, dass die stetigen Lösungen die Form $\Phi (x)=ax\;$, $\Phi (x)=a^{x}\;$ (mit positivem $a\;$), $\Phi (x)=a\log x\;$ beziehungsweise $\Phi (x)=x^{a}\;$ haben. Für die erste dieser Funktionalgleichungen hat sich seither die Bezeichnung Cauchy(sche)-Funktionalgleichung eingebürgert.

Beiträge zur Physik

Aus der Physik ist der Name Cauchy nicht wegzudenken. Besonders seine Forschungen in der Elastizitätstheorie waren grundlegend auch für heutige Anwendungen. So entwickelte Cauchy den Spannungstensor eines Würfels, mit dessen 9 Kennzahlen die Spannung in einem Punkt eines elastischen Körpers vollständig beschrieben werden kann. Dagegen gibt die Cauchy-Zahl das Verhältnis der Trägheitskräfte zu den elastischen Kräften bei Schwingungen des Schalls in einem Körper an. Nach dem Cauchyschen Ähnlichkeitsmodell haben zwei Körper dann das gleiche Elastizitätsverhalten, wenn sie die gleiche Cauchy-Zahl aufweisen. Die Bedeutung dieser Erkenntnis liegt darin, dass man so mit Modellen die Stabilität von realen Bauwerken untersuchen kann. Die theoretischen Erkenntnisse Cauchys in der Elastizitätstheorie machten erst die umfassenden Forschungen Naviers in Bezug auf Brückenbau an der École Polytechnique möglich.

In einem gewissen Zusammenhang mit der Elastizitätstheorie stehen auch die Forschungen Cauchys über das Licht. Man wollte zu dieser Zeit das Wesen der Lichtwellen mit Hilfe der Dispersion, also der wellenlängenabhängigen Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht beim Durchgang durch ein Prisma, untersuchen. Cauchy hatte schon 1815 Wellengleichungen untersucht und sich vor allem in seinen Studien zur Elastizität mit linearen partiellen Differentialgleichungen beschäftigt, was er für die Untersuchung von Lichtwellen ausnutzen konnte. Man ging davon aus, dass der Raum von einem mit einer Flüssigkeit vergleichbaren Medium, dem sogenannten Äther, erfüllt sein müsse, da die Wellen ja einen Träger für ihre Verbreitung bräuchten. Zufällig ergab dieser Ansatz im Wesentlichen die gleichen Ergebnisse wie die heutige Relativitätstheorie. Cauchy leitete aus diesen Forschungen empirisch einen einfachen Zusammenhang zwischen Brechzahl des Prismas und der Wellenlänge des Lichts ab.

Sonstige Leistungen

Die Cauchy-Verteilung oder auch t-Verteilung mit einem Freiheitsgrad zeichnet sich dadurch aus, dass sie keine Momente besitzt. Das Integral der Erwartungswerte konvergiert hier nicht.

Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung gibt an, dass der Absolutwert des Skalarproduktes zweier Vektoren nie größer als das Produkt der jeweiligen Vektornormen ist. Diese Erkenntnis dient beispielsweise als Basis für den Korrelationskoeffizienten in der Statistik.

Ein wertvoller Beitrag zur Stochastik ist das Prinzip der Konvergenz mit Wahrscheinlichkeit 1, mit der eine Folge von Zufallsvariablen fast sicher gegen eine Zufallsvariable konvergiert.

Literatur

• Bruno Belhoste: Augustin-Louis Cauchy. A biography. Springer, New York 1991, ISBN 3-540-97220-X
• Siegfried Gottwald u.a. (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. Deutsch, Frankfurt/M. 2006, ISBN 3-8171-1729-9
• Dieter Hoffmann u.a. (Hrsg.): Lexikon der bedeutenden Naturwissenschaftler (1 CD-ROM). Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2004, ISBN 3-8274-0403-7
• Detlef D. Spalt: Die Vernunft im Cauchy-Mythos. Deutsch, Frankfurt/M. 1996, ISBN 3-8171-1480-X (zu modernen Begriffsproblemen, wie Zahlgrößen, Kontinuität, etc. und u.a. eine virtuelle Diskussionen mit den verstorbenen Mathematikern Niels Henrik Abel und Richard Dedekind)

Weblinks

• Vorlage:PND
• Englische Biographie
• Französische BibMath
• Beitrag der katholischen Seton Hall University
• Bibliothèque nationale de France Zugriff auf mehrere digitalisierte Werke von Cauchy.
• Gallica Hier kann man seine gesammelten Werke in beiden Serien (I + II) digitalisiert herunterladen
• Algebraische Analysis auf Deutsch