Verschobene Pareto-Verteilung

Die verschobene Pareto-Verteilung, auch Lomax-Verteilung genannt, ist eine in der mathematischen Statistik betrachtete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die besonders zur Modellierung von Großschäden geeignet ist, insbesondere bei Industrie- und Rückversicherungen. Mathematisch handelt es sich hierbei um eine Pareto-Verteilung, deren Verteilungskurve um einen festen Parameterwert verschoben ist, woraus sich der Name dieser Verteilung ableitet.

Definition

Eine stetige Zufallsvariable $X$ genügt der verschobenen Pareto-Verteilung $\operatorname {Par^{\star }} (a,b)$ mit den Parametern $a>0$ und $b>0$, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x)={\begin{cases}ab(1+bx)^{-(a+1)}&x\geq 0\\0&x<0.\end{cases}}$

besitzt. Hierbei ist ${\frac {1}{b}}$ ein Skalenparameter der Verteilung.

Eigenschaften

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion ist für $x\geq 0$ gegeben durch

$F(x)=P(X\leq x)=1-(1+bx)^{-a}$.

Insbesondere gilt damit für die Überlebensfunktion: $P(X>x)=1-F(x)=(1+bx)^{-a}$.

Erwartungswert

Der Erwartungswert ergibt sich zu:

$\operatorname {E} (X)={\frac {1}{b(a-1)}}.$

Varianz

Die Varianz ist angebbar als

$\operatorname {Var} (X)={\frac {1}{b^{2}}}\left({\frac {a}{a-2}}-{\frac {a^{2}}{(a-1)^{2}}}\right)={\frac {a}{b^{2}(a-1)^{2}(a-2)}}.$

Standardabweichung

Aus Erwartungswert und Varianz ergibt sich die Standardabweichung

$\sigma (X)={\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}\left({\frac {a}{a-2}}-{\frac {a^{2}}{(a-1)^{2}}}\right)}}={\frac {1}{b(a-1)}}{\sqrt {\frac {a}{a-2}}}.$

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man den Variationskoeffizienten

$\operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {a}{a-2}}}.$

Schiefe

Für die Schiefe resultiert

$\operatorname {v} (X)={\frac {\displaystyle {\frac {a}{a-3}}-3{\frac {a^{2}}{(a-2)(a-1)}}+2{\frac {a^{3}}{(a-1)^{3}}}}{\displaystyle \left({\frac {a}{a-2}}-{\frac {a^{2}}{(a-1)^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ist für die verschobene Pareto-Verteilung nicht in geschlossener Form angebbar.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist für die verschobene Pareto-Verteilung nicht in geschlossener Form angebbar.

Literatur

• Klaus Jürgen Schröter: Verfahren zur Approximation der Gesamtschadenverteilung: Systematisierung, Techniken und Vergleiche. Band 1 von Karlsruher Reihe, Beiträge zur Versicherungswissenschaft, Verlag Versicherungswirtsch., 1995, ISBN 978-3-88487-471-4, S. 35.

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | Dirac | diskret uniform | empirisch | hypergeometrisch | kategorial | negativ hypergeometrisch | Rademacher | verallgemeinert binomial | Zipf | Zipf-Mandelbrot | Zweipunkt

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | discrete-Phase-Type | erweitert negativ binomial | Gauss-Kuzmin | gemischt Poisson | geometrisch | logarithmisch | negativ binomial | parabolisch-fraktal | Poisson | Skellam | verallgemeinert Poisson | Yule-Simon | Zeta

Kontinuierliche univariate Verteilungen

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
Beta | Cantor | Kumaraswamy | raised Cosine | Dreieck | Trapez | U-quadratisch | stetig uniform | Wigner-Halbkreis

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:
Beta prime | Bose-Einstein | Burr | Chi | Chi-Quadrat | Coxian | Erlang | Exponential | Extremwert | F | Fermi-Dirac | Folded normal | Fréchet | Gamma | Gamma-Gamma | verallgemeinert invers Gauß | halblogistisch | halbnormal | Hartman-Watson | Hotellings T-Quadrat | hyper-exponentiale | hypoexponential | invers Chi-Quadrat | scale-invers Chi-Quadrat | Invers Normal | Invers Gamma | Kolmogorow-Verteilung | Lévy | log-normal | log-logistisch | Maxwell-Boltzmann | Maxwell-Speed | Nakagami | nichtzentriert Chi-Quadrat | Pareto | Phase-Type | Rayleigh | relativistisch Breit-Wigner | Rice | Rosin-Rammler | shifted Gompertz | truncated normal | Type-2-Gumbel | Weibull | Wilks’ Lambda

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | exponential Power | Fishers z | Fisher-Tippett (Gumbel) | generalized hyperbolic | Hyperbolic-secant | Landau | Laplace | alpha-stabil | logistisch | normal (Gauß) | normal-invers Gauß’sch | Skew-normal | Studentsche t | Type-1-Gumbel | Variance-Gamma | Voigt

Multivariate Verteilungen

Diskrete multivariate Verteilungen:
Dirichlet compound multinomial | Ewens | gemischt Multinomial | multinomial | multivariat hypergeometrisch | multivariat Poisson | negativmultinomial | Pólya/Eggenberger | polyhypergeometrisch

Kontinuierliche multivariate Verteilungen:
Dirichlet | GEM | generalized Dirichlet | multivariat normal | multivariat Student | normalskaliert invers Gamma | Normal-Gamma | Poisson-Dirichlet

Multivariate Matrixverteilungen:
Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit | Invers Wishart | Matrix Beta | Matrix Gamma | Matrix invers Beta | Matrix invers Gamma | Matrix Normal | Matrix Student-t | Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung | Normal-invers-Wishart | Normal-Wishart | Wishart