Zufallsmatrix

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Eine Zufallsmatrix bezeichnet in der Stochastik eine matrixwertige Zufallsvariable (englisch Random Matrix). Ihre Verteilung nennt man zur Abgrenzung von den multivariaten Verteilungen eine matrixvariate Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Zufallsmatrizen spielen eine wichtige Rolle in der statistischen sowie mathematischen Physik, insbesondere in der statistischen Mechanik. Aus historischer Sicht hat sich die Theorie aus dem Versuch entwickelt, Systeme mit vielen stochastischen aber miteinander agierenden Teilchen zu beschreiben. Viele der Grundlagen der Theorie stammen deshalb von mathematischen Physikern und viele Modelle haben eine physikalische Interpretation. Die ersten Arbeiten zum Thema Zufallsmatrizen stammen allerdings von dem Statistiker John Wishart.

Die Theorie der Zufallsmatrizen ist in der multivariaten Statistik relevant, wo man sie zur Analyse von Kovarianzmatrizen benötigt. Insbesondere im Zusammenhang mit hoch-dimensionalen Daten und spektralstatistischen Verfahren wie der Hauptkomponentenanalyse (PCA).

Zufallsmatrizen sind zu unterscheiden von der stochastischen Matrix.

Haarsches Maß und Weylsche Integralformel

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Auf jeder Lie-Gruppe existiert ein eindeutiges, links-invariantes Maß , d. h. für jedes und jede Borel-messbare Menge gilt . Dieses Maß nennt man linkes Haarsches Maß und es ist eindeutig bis auf Multiplikation mit einer Konstanten.

Betrachtet man nun eine kompakte Lie-Gruppe , so existiert ein eindeutiges, linkes Haarsches Maß , welches zu gleich auch rechts-invariant und normalisiert ist, genannt das Haarsche Wahrscheinlichkeitsmaß auf . Das heißt für jedes und jede Borel-messbare Menge gilt .

Für kompakte Lie-Gruppen lässt sich mit Hilfe der Integralformel von Weyl eine Formel für die Wahrscheinlichkeitsdichte bezüglich der Eigenwerte finden. Als Beispiel sei die unitäre Gruppe, die Eigenwerte sind von der Form mit . Weiter sei eine Klassenfunktion und der maximale Torus aller Diagonalmatrizen von , bezeichnet die adjungierte Darstellung und bezeichne das Wurzelsystem, dann gilt:[1]

,

und somit kriegt man mit Hilfe von Weyl’s Integralformel ein Integral über den maximalen Torus

.

Eine formale mathematische Definition lautet:[2]

Sei der Raum der -Matrizen über dem Körper mit einer σ-Algebra und ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine -messbare Funktion heißt Zufallsmatrix.

Als -Algebra kann die borelsche σ-Algebra des euklidischen Umgebungsraumes der Mannigfaltigkeit verwendet werden. Eine Zufallsmatrix ist somit das matrixwertige Analogon zu einer Zufallsvariablen.

Zentrale Begriffe

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Partitionsfunktion

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Sei ein Matrix-Raum (z. B. der hermiteschen -Matrizen ) und sei ein komplexes Maß auf diesem Raum, welches in der Regel nicht normalisiert ist. Dann nennt man das Integral

Partitionsfunktion und man erhält einen Erwartungswert zur Funktion

Wignersche Matrix

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Seien und i.i.d Zufallsvariablen mit gleichem Erwartungswert sowie und . Man nennt eine Zufallsmatrix eine (komplexe) Wignersche-Matrix wenn sie hermitesch ist und folgendes gilt .

Die Matrix wird oft mit skaliert. Manche Autoren definieren sie aber auch ohne Skalierung.

Sie ist ein wichtiger Typ von Zufallsmatrizen und benannt nach Eugene Wigner.

Wignersche Matrizen mit einer zugrundeliegenden Normalverteilung führen zu dem Begriff der gaußschen invarianten Ensembles. Allgemeine Wignersche Matrizen sind nicht invariant.

Das GUE erhält man, wenn zusätzlich gilt und die Einträge normalverteilt sind. Das GOE erhält man wenn alle Einträge reell und normalverteilt sind und zusätzlich gilt.

Invariante Ensembles

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Zentrale Studienobjekte sind die invarianten Ensembles, welche durch die folgenden Maße auf dem entsprechenden Raum der Matrizen induziert werden:

wobei der Dyson-Index ist und das Potential. Man setzt an voraus, dass genügend schnell, wenn , damit alle Momente existieren. In der Regel ist ein Polynom. Man erhält für

  • das orthogonale Ensemble (OE) auf dem Raum der reellen symmetrischen Matrizen.
  • das unitäre Ensemble (UE) auf dem Raum der hermiteschen Matrizen
  • das symplektische Ensemble (SE) auf dem Raum der hermiteschen quaternionen Matrizen.

Die freie Energie der unitären Ensembles ist[3]

wobei den Raum der hermiteschen Matrizen bezeichnet.

Mit Hilfe der weylschen Integralformel lässt sich zeigen, dass das kanonische (unnormalisierte) Haarsche Maß auf der entsprechenden kompakten Lie-Gruppe oder folgende Darstellung zulässt

wobei das Lebesgue-Maß der Eigenwerte ist. Für skalierte Einträge des Gaußschen Ensembles erhält man eine geschlossene Form des Wahrscheinlichkeitsmaßes über der Weyl-Kammer mit

Das Wahrscheinlichkeitsmaß enthält den Boltzmann-Faktor wobei die totale potentielle Energie bezeichnet

Die Konstante

lässt sich mit Hilfe des Selberg-Integrals berechnen.

Gaußsche Ensembles

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Wichtige Spezialfälle der invariante Ensembles sind die Gaußschen Ensembles, welche durch das Potential mit und die folgenden Gaußschen Maße erzeugt werden

Man erhält für

  • das Gaußsches Orthogonales Ensemble (GOE) auf dem Raum der reellen symmetrischen Matrizen.
  • das Gaußsches Unitäres Ensemble (GUE) auf dem Raum der hermiteschen Matrizen.
  • das Gaußsches Symplektisches Ensemble (GSE) auf dem Raum der hermiteschen quaternionen Matrizen.

Die Bezeichnung orthogonal/unitär/symplektisch bezeichnet, unter welcher Matrix Konjugation die Verteilung invariant ist.

Beispielsweise gilt für eine Matrix aus dem GOE und einer Matrix aus der orthogonalen Gruppe , dass .

In der Quantenmechanik werden sie verwendet, um Hamiltonoperatoren zu modellieren.

Herleitung des GUE durch Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse
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Man betrachte das System stochastischer Differentialgleichungen der Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse

wobei unabhängige brownsche Bewegungen sind mit

und die Initialwerte beliebig sind.

Definiert man nun eine hermitesche Zufallsmatrix für mit

und bezeichnet mit das zugehörige Wahrscheinlichkeitsmaß, dann gilt für und

wobei das GUE bezeichnet.[4]

Zirkulare Ensembles

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Man erhält das Zirkulare Unitäre Ensemble (ZUE) durch das haarsche Maß auf dem Raum der unitären Matrizen. Das Zirkulare Orthogonale Ensemble (ZOE) erhält man durch das haarsche Maß auf dem Raum der symmetrischen unitären Matrizen. Das Zirkulare Symplektische Ensemble (ZSE) erhält man durch das haarsche Maß auf dem Raum der selbst-dualen unitären Quaternionen-Matrizen. Die Dichte der Eigenwerte der Zirkularen Ensembles ist

wobei für das ZOE, für das ZUE und für das ZSE gilt.[5]

β-Ensembles und Dysons „Threefolded Way“

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Man spricht von Dysons -Ensemble, da Freeman Dyson in seiner wissenschaftlichen Schrift The Threefolded Way[6] diese Klassifizierungen der Zufallsmatrizen herleitete, basierend auf physikalisch möglichen Zeitumkehr-Eigenschaften der Quantenmechanik (orthogonal, unitär, symplektisch). Der Fall ist aufgrund des Satzes von Frobenius nicht möglich. Neben den Gaußschen Ensembles spielen auch die -Wishart-Laguerre-Ensembles und die -Jacobi-Manova-Ensembles eine zentrale Rolle in der Theorie der Zufallsmatrizen.

Es ist üblich, nur von Laguerre-Ensembles bzw. Jacobi-Ensembles zu sprechen, statt von Wishart- bzw. Manova-Ensembles

Allgemeine spielen in der klassischen Theorie der Zufallsmatrizen eine untergeordnete Rolle.

Theorie der Zufallsmatrizen

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Die Theorie der Zufallsmatrizen befasst sich weniger mit einer konkreten Zufallsmatrix, sondern mit dem Matrizenraum dahinter. Konkret geht es um Wahrscheinlichkeitsmaße auf Matrixräumen und Lie-Gruppen, dies erklärt den Begriff des Ensembles. Ein klassisches Problem der Theorie der Zufallsmatrizen ist das Finden einer multivariaten Wahrscheinlichkeitsdichte für die Eigenwerte unterschiedlicher Matrix-Ensembles. Eine der frühesten Arbeiten stammt von Dyson, welcher eine geschlossene Form für eine große Menge von Matrizen fand, abhängig von der zugrundeliegenden Symmetrie der Matrizen und Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Die Spektraleigenschaften großer Zufallsmatrizen haben universelle Eigenschaften und man kann beim Studium komplizierter deterministischer Operatoren, wie zum Beispiel dem Dirac-Operator aus der Physik, diese Operatoren mit Zufallsmatrizen ersetzen und die Theorie der Zufallsmatrizen anwenden.

Beim Studium von Integralen über Matrix-Räume verwendet man zum Teil Resultate aus der Theorie der Lie-Gruppen und Lie-Algebren. Auch die freie Wahrscheinlichkeitstheorie von Voiculescu ist von Relevanz für große Zufallsmatrizen.

Generell untersucht man Matrizen mit bestimmten Symmetrie-Eigenschaften (z. B. hermitesche) und hat bestimmte stochastische Anforderungen an die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Raum jener Matrizen (z. B. obere Dreiecksmatrix unabhängig). Des Weiteren interessiert man sich vor allem für die Spektraltheorie und dessen asymptotisches Verhalten, wenn die Dimension . Die Spektraltheorie ist engverbunden mit der Theorie der Punktprozesse, da die Eigenwerte einen (zufälligen) Punktprozess formen. Bei vielen Ensembles taucht in der gleichen Region derselbe Punktprozess in unendlicher Dimension auf (Universalität). Matrix-wertige Funktionen wie die Determinante oder die Spur können nicht einfach auf unendlich-dimensionale Matrizen übertragen werden. Für bestimmte Operatoren lässt sich aber mit der abstrakten Fredholmtheorie eine Erweiterung auf unendlich-dimensionale separable Hilberträume über die äußere Algebra finden. Es lassen sich Determinanten für Operatoren aus den Schatten-von Neumann-Klassen definieren.

Definiert man die Einträge der Matrix als Brownsche Bewegungen, so lässt sich auch das matrixwertige Analogon eines stochastischen Prozesses bilden und die Theorie der stochastischen Analysis und die Martingal-Theorie ist anwendbar, siehe Dysons brownsche Bewegung und Wishart-Prozess.

Spektraltheorie der Zufallsmatrizen

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Sind die Einträge einer hermiteschen Zufallsmatrix von der Größe , so konvergiert das empirische Spektralmaß

wobei das Dirac-Delta bezeichnet.

Da die zufälligen Ensembles Punktprozesse sind, kann man die -Punkt Korrelationsfunktion für die Eigenwerte herleiten. Sei eine Testfunktion und definiere das Funktional

Dann ist die -Punkt Korrelationsfunktion folgende ausgewertete Funktionalableitung[7]

Mit dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz lässt sich Konvergenz im Erwartungswert für definieren

Globale Situation

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Eines der wichtigsten Ergebnisse ist das sogenannte Wignersche Halbkreisgesetz (siehe Eugen Wigner): Es besagt, dass das (skalierte) empirische Spektralmaß einer Wignerischen Zufallsmatrix (in der Physik bekannt als die sogenannte Zustandsdichte) einer charakteristischen Halbkreis-Verteilung genügt.

Das Variationsproblem der Verteilung der Eigenwerte

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Allgemeiner handelt es sich bei der Grenzwertverteilung der Eigenwerte um die Lösung eines Variationsproblem. Definiere den Raum der Maße

und betrachte das Funktional

Das Funktional erklärt sich durch die Integralschreibweise der totalen potentiellen Energie

bezüglich des empirischen Spektralmaßes . Für wird ein eindeutiges Equilibriummaß durch die Euler-Lagrange-Variationsbedingung für eine reelle Konstante [3]

definiert, wobei der Träger des Maßes ist und definiere das Polynom

.

Das Equilibirummaß besitzt folgende Radon-Nikodym-Dichte

Beispiel: Wignersche Halbkreis
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Im Fall des GUE konvergiert das zufällige Maß schwach in Wahrscheinlichkeit gegen die deterministische Verteilung

Es gilt für eine Funktion und

Der Satz kann mit Mitteln der Kombinatorik und der Momentmethode bewiesen werden. Für eine Zufallsvariable gilt, dass wobei die Catalan-Zahlen sind.

Durch die oben erwähnte Equilibriummaß-Methode der statistischen Mechanik gibt es eine Verbindung zur Theorie der großen Abweichungen. Einen analytischen konstruktiven Beweis ergibt sich über die Stieltjes-Transformation.

Für Wishart- bzw. Laguerre-Matrizen konvergiert das empirische Spektralmaß gegen die Martschenko-Pastur-Verteilung und für MANOVA bzw. Jacobi-Matrizen gegen die Kesten-Mckey-Verteilung.

Für quadratische Zufallsmatrizen mit i.i.d. komplexen Einträgen mit und gilt das Kreisgesetz (Tao-Vu[8]) welches besagt, dass gegen

konvergiert.

Man spricht von Universalität, weil die Sätze unabhängig von der zugrundeliegenden Verteilung sind.

Lokale Situation

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Limitverhalten

Lokal ergibt sich bei Skalierung ein Punktprozess für die Eigenwerte. Der Fall von hermiteschen Matrizen ist signifikant einfacher. Man kann mittels der Theorie der orthogonale Polynome eine determinantale Form für die Korrelationsfunktion finden, welche dann zu Fredholm-Determinanten von Integraloperatoren führen. Die Fälle und lassen sich mit Quaternionen-Determinanten und schief-orthogonalen Polynome lösen.[9]

Es gilt für die -Punkt Korrelationsfunktion

wobei die multivariate Dichte der Eigenwerte ist.

Für das GUE erhält man einen determinantal point process, ein einfacher Punktprozess mit Kern bezüglich eines Maßes , dessen existiert, so dass für alle gilt

.

Skaliert man den Integralkern konvergiert dieser entweder zu dem Sinus- oder Airy-Kern. Die benötigten asymptotischen Entwicklungen können mittels der nicht-trivialen Methode des steilsten Anstiegs gezeigt werden (asymptotische Entwicklungen vom Plancherel-Rotach-Typ).

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine kompakte Menge keine (unskalierte) Eigenwerte enthält, lässt sich als Fredholm-Determinante formulieren (Gaudin-Mehta)

.

Universalität im Hauptteil

2010 zeigten Erdős-Ramírez-Schlein-Tao-Vu-Yau für wignerische Matrizen mit subexponentialer Abnahme Universalität des Sinus-Kern.[10]

Rand

Betrachtet man den Rand des Spektrums, so erhält man einen Airy-Prozess und bekommt die Tracy-Widom-Verteilung mit Kern

wobei die Airy-Funktion bezeichnet.

Für das GSE und GOE erhält man eine Verallgemeinerung, ein sogenannter pfaffian point processes.

Im Falle des Laguerre-Ensembles ergibt sich bei dem hard edge (harten Rand) ein Bessel-Prozess und bei dem soft edge (weichen Rand) ein Airy-Prozess.

Bereits 1928 untersuchte John Wishart als einer der ersten die Zufallsmatrizen, die bei einer standard-multivariaten normalverteilten Stichprobe entstehen (die Kovarianzmatrix). Dies führte zu der Wishart-Verteilung, die matrixvariate Verallgemeinerung der χ2-Verteilung bzw. Gamma-Verteilung.

In den 1950er untersuchte Eugene Wigner die Verteilung zwischen benachbarten Energieniveaus von schweren Atomkernen. Das Energieniveau wird durch die Eigenwerte des Hamiltonian der (zeitunabhängigen) Schrödingergleichung beschrieben

Für schwere Atomkerne ist dieses Problem zu komplex um es theoretisch zu lösen, deshalb kam Wigner auf die Idee, dieses Problem als statistisches Problem zu lösen und stattdessen die Spektraldichte von großen endlichen Zufallsmatrizen zu untersuchen.

Empirische Daten aus Experimenten zeigten, dass die Verteilung von der Form

sein musste und somit das Energieniveau korreliert ist, da sonst eine Poisson-Verteilung zugrunde liegen sollte und es erklärte auch das Phänomen, dass sich die Energieniveaus gegenseitig abstiessen. Dieses Resultat wird als Wigners Vermutung (englisch Wigner's surmise) bezeichnet. Die Konstanten sind von abhängig und beschreibt die zugrundeliegende Symmetrie der Atomkerne unter Zeitumkehr und Spinrotation. Wigner postulierte, dass die Abstände zwischen den Linien des Spektrums den Abständen der Eigenwerte einer Zufallsmatrix gleichen.

Aus den 1960ern stammen bedeutende Arbeiten zur mathematischen Theorie der Zufallsmatrizen von Gaudin, Mehta und Dyson. Parallel dazu entwickelte sich auch wichtige Arbeiten zu den Kovarianzmatrizen.

Die traditionelle Ausgangslage der Statistik hat eine (kleine) fixe Anzahl von Parametern und Observationen. Die Theorie der Zufallsmatrizen hat sich aus der Situation entwickelt, wenn sehr groß ist und man interessiert sich auch für die Fälle wenn .

In den 1970ern entdeckte Montgomery und Dyson eine Verbindung zwischen den Zufallsmatrizen und der Zahlentheorie respektive zwischen schweren Atomkernen und den kritischen Nullstellen der riemannschen Zeta-Funktion.

Weitere Anwendungen

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Einzelnachweise und Anmerkungen

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  1. Elizabeth Meckes: The Random Matrix Theory of the Classical Compact Groups. 1. Auflage. Cambridge University Press, 2019, ISBN 978-1-108-41952-9, doi:10.1017/9781108303453.
  2. Greg W. Anderson, Alice Guionnet, Ofer Zeitouni: An Introduction to Random Matrices. Cambridge University Press, 2009.
  3. a b John Harnad: Random Matrices, Random Processes and Integrable Systems. Hrsg.: Springer. ISBN 978-1-4614-2877-0.
  4. Yan V. Fyodorov: Introduction to the Random Matrix Theory: Gaussian Unitary Ensemble and Beyond. doi:10.48550/ARXIV.MATH-PH/0412017.
  5. Peter J. Forrester: Log-Gases and Random Matrices. In: Princeton University Press (Hrsg.): London Mathematical Society Monographs (LMS-34). Band 34.
  6. Freeman Dyson: The Threefold Way. Algebraic Structure of Symmetry Groups and Ensembles in Quantum Mechanics. Abgerufen am 23. Mai 2021.
  7. Leonid Pastur und Mariya Shcherbina: Eigenvalue distribution of large random matrices. Hrsg.: American Mathematical Society. 2011.
  8. 2010 gezeigt durch Terence Tao und Van H. Vu
  9. G. Mahoux und M.L. Mehta: A method of integration over matrix variables IV. In: EDP Sciences, (Hrsg.): Journal de Physique I. Nr. 1, 1991, S. 1093–1108.
  10. Laszlo Erdos, Jose Ramirez and Benjamin Schlein and Terence Tao and Van Vu and Horng-Tzer Yau: Bulk universality for Wigner hermitian matrices with subexponential decay. arxiv:0906.4400 [math].
  11. https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-02397287/document
  12. VS Rychkov, S Borlenghi, H Jaffres, A Fert, X Waintal: Spin Torque and Waviness in Magnetic Multilayers: A Bridge Between Valet-Fert Theory and Quantum Approaches. In: Phys. Rev. Lett. 103. Jahrgang, Nr. 6, August 2009, S. 066602, doi:10.1103/PhysRevLett.103.066602, PMID 19792592.
  13. DJE Callaway: Random Matrices, Fractional Statistics, and the Quantum Hall Effect. In: Phys. Rev., B Condens. Matter. 43. Jahrgang, Nr. 10, April 1991, S. 8641–8643, doi:10.1103/PhysRevB.43.8641, PMID 9996505.
  14. M Janssen, K Pracz: Correlated Random Band Matrices: Localization-delocalization Transitions. In: Phys Rev E Stat Phys Plasmas Fluids Relat Interdiscip Topics. 61. Jahrgang, 6 Pt A, Juni 2000, S. 6278–86, doi:10.1103/PhysRevE.61.6278, PMID 11088301.
  15. DM Zumbühl, JB Miller, CM Marcus, K Campman, AC Gossard: Spin-orbit Coupling, Antilocalization, and Parallel Magnetic Fields in Quantum Dots. In: Phys. Rev. Lett. 89. Jahrgang, Nr. 27, Dezember 2002, S. 276803, doi:10.1103/PhysRevLett.89.276803, PMID 12513231.
  16. SR Bahcall: Random Matrix Model for Superconductors in a Magnetic Field. In: Phys. Rev. Lett. 77. Jahrgang, Nr. 26, Dezember 1996, S. 5276–5279, doi:10.1103/PhysRevLett.77.5276, PMID 10062760.
  17. D Sánchez, M Büttiker: Magnetic-field Asymmetry of Nonlinear Mesoscopic Transport. In: Phys. Rev. Lett. 93. Jahrgang, Nr. 10, September 2004, S. 106802, doi:10.1103/PhysRevLett.93.106802, PMID 15447435.
  18. F Franchini, VE Kravtsov: Horizon in Random Matrix Theory, the Hawking Radiation, and Flow of Cold Atoms. In: Phys. Rev. Lett. 103. Jahrgang, Nr. 16, Oktober 2009, S. 166401, doi:10.1103/PhysRevLett.103.166401, PMID 19905710.
  19. arxiv:math.OA/0412545
  20. James A. Mingo, Roland Speicher: Free Probability and Random Matrices. Fields Institute Monographs, Bd. 35, Springer Verlag, New York, 2017
  21. arxiv:math.OA/0501238
  22. http://web.mit.edu/sea06/agenda/talks/Harding.pdf
  23. Antonia M. Tulino, Sergio Verdú: Random Matrix Theory and Wireless Communications. Now, 2004.
  24. newscientist.com