Stetige Gleichverteilung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Die stetige Gleichverteilung, auch Rechteckverteilung oder Uniformverteilung genannt, ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie hat auf einem Intervall $(a, b)$ eine konstante Wahrscheinlichkeitsdichte. Dies ist gleichbedeutend damit, dass alle Teilintervalle gleicher Länge dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen.

[Bearbeiten] Definition

Eine stetige Zufallsvariable $X$ bezeichnet man als gleichverteilt auf dem Intervall $[a, b]$ , wenn Wahrscheinlichkeitsdichte $f (x)$ und Verteilungsfunktion $F (x)$ gegeben sind als

$f(x)=\begin{cases} 0 & x < a\\ \frac 1{b-a} & a \le x \le b\\ 0 & x > b \end{cases}$

$F(x)= \begin{cases} 0 & x \le a\\ \frac{x-a}{b-a} & a < x < b\\ 1 & x\ge b \end{cases}$

Als abkürzende Schreibweise für die stetige Gleichverteilung wird häufig $\mathcal U(a,b)$ oder $\mathcal SG(a,b)$ verwendet.

[Bearbeiten] Eigenschaften

[Bearbeiten] Erwartungswert und Median

Der Erwartungswert und der Median der stetigen Gleichverteilung ist

$\begin{align} \operatorname E(X) &= \int\limits_{-\infty}^\infty xf(x)dx\\ &= \frac 1{b-a}\int\limits_a^b x\cdot 1dx\\ &= \frac 12\frac{b^2-a^2}{b-a}\\ &= \frac{a+b}2. \end{align}$

[Bearbeiten] Varianz

Die Varianz der stetigen Gleichverteilung ist

$\begin{align} \operatorname{Var}(X) &= \operatorname E(X^2) - \left(\operatorname E(X)\right)^2\\ &= \frac 1{b-a}\int\limits_a^b x^2 \cdot 1dx - \left(\frac{a+b}2\right)^2\\ &= \frac 13\frac{b^3-a^3}{b-a} - \left(\frac{a+b}2\right)^2\\ &= \frac 1{12}\left(4b^2 + 4ab + 4a^2 - 3a^2 - 6ab - 3b^2\right)\\ &= \frac 1{12}(b-a)^2. \end{align}$

[Bearbeiten] Standardabweichung

Aus der Varianz erhält man die Standardabweichung

$\sigma_x = \sqrt{\frac{(b-a)^2}{12}} = \frac{b-a}{2\sqrt 3}.$

[Bearbeiten] Variationskoeffizient

Für den Variationskoeffizienten ergibt sich:

$\operatorname{VarK}(X) = \frac 1{\sqrt 3}\frac{b-a}{a+b}.$

[Bearbeiten] Schiefe

Die Schiefe lässt sich darstellen als

$\operatorname v(X) = 0.$

[Bearbeiten] Wölbung

Die Wölbung lässt sich ebenfalls geschlossen darstellen als

$\gamma_2 = -\frac 65.$

[Bearbeiten] Summe von gleichverteilten Zufallsvariablen

Die Summe zweier unabhängiger und stetig gleichverteilter Zufallsvariablen ist dreiecksverteilt.

[Bearbeiten] Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

$\phi_X(t) = \frac{1}{(b-a)it}(e^{itb}-e^{ita}),$

wobei $i$ die imaginäre Einheit darstellt.

[Bearbeiten] Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der stetigen Gleichverteilung ist

$m_X(s) = \begin{cases}\frac{\displaystyle e^{bs}-e^{as}}{\displaystyle (b-a)s} & s\neq 0 \\ 1 & s=0. \end{cases}$

und speziell für $a = 0$ und $b = 1$

$m_X(s) = \frac 1s(e^s-1).$

Damit ergeben sich die ersten allgemeinen Momente zu

$m_1 = \frac 12(a+b).$

[Bearbeiten] Beziehung zu anderen Verteilungen

Mit der Inversionsmethode lassen sich gleichverteilte Zufallszahlen in andere Verteilungen überführen. Wenn $X$ eine gleichverteilte Zufallsvariable ist, dann genügt beispielsweise $Y=-\tfrac 1\lambda \ln(X)$ der Exponentialverteilung mit dem Parameter $λ$ .