Stetige Gleichverteilung

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Dichtefunktion der Gleichverteilung für a=4, b=8 (blau), a=1, b=18 (grün) und a=1, b=11 (rot)

Die stetige Gleichverteilung, auch Rechteckverteilung oder Uniformverteilung genannt, ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie hat auf einem Intervall [a,b] eine konstante Wahrscheinlichkeitsdichte. Dies ist gleichbedeutend damit, dass alle Teilintervalle gleicher Länge dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen.

Definition[Bearbeiten]

Eine stetige Zufallsvariable X bezeichnet man als gleichverteilt auf dem Intervall [a,b], wenn Dichtefunktion f(x) und Verteilungsfunktion F(x) gegeben sind als

f(x)=\begin{cases}
  \frac 1{b-a} & a \le x \le b\\
  0            & \text{sonst}
\end{cases} Stetige Gleichverteilung Dichte.png
F(x)= \begin{cases}
  0               & x \le a\\
  \frac{x-a}{b-a} & a < x < b\\
  1               & x\ge b
\end{cases} Stetige Gleichverteilung Verteilungsfunktion.png

Als abkürzende Schreibweise für die stetige Gleichverteilung wird häufig \mathcal U(a,b) oder \mathcal{SG}(a,b) verwendet. In einigen Formeln sieht man auch \text{Gleich}(a,b) oder \text{uniform}(a,b) als Bezeichnung für die Verteilung.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Wahrscheinlichkeiten[Bearbeiten]

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine auf [a,b] gleichverteilte Zufallsvariable X in einem Teilintervall [c,d] \subseteq [a,b] liegt, entspricht dem Verhältnis der Intervalllängen:

P(c \leq X \leq d) = F(d) - F(c) = \frac{d-c}{b-a}.

Erwartungswert und Median[Bearbeiten]

Der Erwartungswert und der Median der stetigen Gleichverteilung entsprechen dem Mittelpunkt des Intervalls [a,b]:

  \operatorname E(X) = \int\limits_{-\infty}^\infty xf(x)dx = \frac 1{b-a}\int\limits_a^b x\cdot 1dx = \frac 12\frac{b^2-a^2}{b-a} = \frac{a+b}2
\operatorname{Median}(X) = F^{-1}(\tfrac{1}{2}) = \frac{a+b}{2}.

Varianz[Bearbeiten]

Die Varianz der stetigen Gleichverteilung ist

\operatorname{Var}(X)  = \operatorname{E}(X^2) - \left({\operatorname{E}(X)} \right)^2  = \frac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {x^2 \cdot 1dx}  - \left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2  = \frac{1}{3}\frac{{b^3  - a^3 }}{{b - a}} - \left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2
 = \frac{1}{{12}}\left[ {4b^2  + 4ab + 4a^2  - 3a^2  - 6ab - 3b^2 } \right] = \frac{1}{{12}}(b - a)^2.

Standardabweichung und weitere Streumaße[Bearbeiten]

Aus der Varianz erhält man die Standardabweichung

\sigma_x = \sqrt{\frac{(b-a)^2}{12}} = \frac{b-a}{2\sqrt 3} \approx 0{,}289(b-a).

Die mittlere absolute Abweichung beträgt (b-a)/4, und der Interquartilsabstand (b-a)/2 ist genau doppelt so groß. Die Gleichverteilung ist die einzige symmetrische Verteilung mit monotoner Dichte mit dieser Eigenschaft.

Variationskoeffizient[Bearbeiten]

Für den Variationskoeffizienten ergibt sich:

\operatorname{VarK}(X) = \frac 1{\sqrt 3}\frac{b-a}{a+b}.

Schiefe[Bearbeiten]

Die Schiefe lässt sich darstellen als

\operatorname v(X) = 0.

Wölbung und Exzess[Bearbeiten]

Die Wölbung \beta_2 und der Exzess \gamma_2 = \beta_2 - 3 lassen sich ebenfalls geschlossen darstellen als

\beta_2 = \frac{9}{5} = 1{,}8 bzw.
\gamma_2 = -\frac{6}{5} = -1{,}2.

Momente[Bearbeiten]

k-tes Moment m_k = \frac{1}{k+1}\sum_{i=0}^k a^i b^{k-i}
k-tes zentrales Moment \mu_k = \begin{cases}\frac{(b-a)^k}{2^k(k+1)} & \text{ k gerade}\\ 0 & \text{ k ungerade}\end{cases}

Summe gleichverteilter Zufallsvariablen[Bearbeiten]

Verteilungsdichten der Summe von bis zu 6 Gleichverteilungen U(0,1)

Die Summe zweier unabhängiger und stetig gleichverteilter Zufallsvariablen gleicher Träger-Breite ist dreiecksverteilt, andernfalls ergibt sich eine trapezförmiger Verteilung. Genauer:

Zwei Zufallsvariablen seien unabhängig und stetig gleichverteilt, die eine auf dem Intervall [a,b], die andere auf dem Intervall [c,d]. Sei \alpha=\min\{d-c,b-a\} und \beta=\max\{d-c,b-a\}. Dann hat Ihre Summe die folgende Verteilung:

f:\R\mapsto\R, x \longmapsto \begin{cases}0 & x \not\in [a+c,b+d]
\\\frac{x}{\alpha\beta}-\frac{a+c}{\alpha\beta} & x \in [a+c,a+c+\alpha]
\\\frac{1}{\beta} & x \in [a+c+\alpha,a+c+\beta]
\\\frac{b+d}{\alpha\beta}-\frac{x}{\alpha\beta} & x \in [a+c+\beta,b+d]
\end{cases}

Die Summe von unabhängigen gleichverteilten Zufallsvariablen nähert sich der Normalverteilung an (Zentraler Grenzwertsatz).

Eine zuweilen verwendete Methode (Zwölferregel) zur approximativen Erzeugung (standard-)normalverteilter Zufallszahlen funktioniert so: man summiert 12 (unabhängige) auf dem Intervall [0,1] gleichverteilte Zufallszahlen und subtrahiert 6 (das liefert die richtigen Momente, da die Varianz einer U(0,1)-verteilten Zufallsvariablen 1/12 ist und sie den Erwartungswert 1/2 besitzt).

Charakteristische Funktion[Bearbeiten]

Die charakteristische Funktion hat die Form

\phi_X(t) = \frac{1}{(b-a)it}\left(e^{itb}-e^{ita}\right),

wobei i die imaginäre Zahl darstellt.

Momenterzeugende Funktion[Bearbeiten]

Die momenterzeugende Funktion der stetigen Gleichverteilung ist

m_X(s) = \begin{cases}\frac{\displaystyle e^{bs}-e^{as}}{\displaystyle (b-a)s} & s\neq 0 \\
                                      1                            & s=0.
                         \end{cases}

und speziell für a=0 und b=1

m_X(s) = \frac 1s(e^s-1).

Beziehung zu anderen Verteilungen[Bearbeiten]

Mit der Inversionsmethode lassen sich gleichverteilte Zufallszahlen in andere Verteilungen überführen. Wenn X eine gleichverteilte Zufallsvariable ist, dann genügt beispielsweise Y=-\tfrac 1\lambda \ln(X) der Exponentialverteilung mit dem Parameter \lambda.

Beispiel für das Intervall [0,1][Bearbeiten]

Häufig wird a=0 und b=1 angenommen, also X=\mathcal U(0,1) betrachtet. Dann ist die Dichtefunktion f(x)=1 und die Verteilungsfunktion F(x)=x auf dem Intervall [0,1]. Der Erwartungswert beträgt E(X) = 0,5 und die Varianz Var(X) = 1/12, somit ist die Standardabweichung \sigma = \sqrt{1/12} \approx 0{,}29. Siehe hierzu auch den obigen Abschnitt Summe gleichverteilter Zufallsvariablen.

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]