Beta-prime-Verteilung

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Die Beta-prime-Verteilung (auch Beta-Primärverteilung oder Inverse Beta Verteilung genannt) Bp ist eine univariate Verteilung für stetige Zufallsvariablen, mit zwei Parametern α und β. Es handelt sich um einen Sonderfall der Gamma-Gamma-Verteilung und somit um eine Mischverteilung.

Beta prime pdf.png

Die Dichtefunktion ist:

f(x) = \frac{x^{\alpha-1} (1+x)^{-\alpha -\beta}}{B(\alpha,\beta)}.

Dabei ist B(α, β) die Beta-Funktion.

mit Erwartungswert

E(X) = \frac{\alpha}{\beta-1} \text{ falls } \beta>1

Modus

Mod(X) = \frac{\alpha-1}{\beta+1} \text{ falls } \alpha\ge 1\text{, 0 sonst}\!

und Varianz

Var(X) = \frac{\alpha(\alpha+\beta-1)}{(\beta-2)(\beta-1)^2} \text{ falls } \beta>2

Beziehung zur Gammaverteilung[Bearbeiten]

Ist der zweite Parameter ε der Gammaverteilung G(a,ε) eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung G(b,1) verteilt ist, dann ist die hervorgehende Zufallsvariable wie eine Beta-Primärverteilung Bp(a, b) verteilt.

Beziehung zur Gamma-Gamma-Verteilung[Bearbeiten]

Eine Gamma-Gamma-Verteilung Gg(a, b=1, d) entspricht einer Beta-Primärverteilung Bp(α=d, β=a)