Inverse Normalverteilung

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Die inverse Normalverteilung (auch inverse Gauß-Verteilung oder Wald-Verteilung genannt) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie wird in verallgemeinerten linearen Modellen verwendet. Bei der Untersuchung der Brownschen Molekularbewegung mit Drift v>0 und Streuungskoeffizient \lambda>0 ist die zufällige Zeit des ersten Erreichens des Niveaus a>0 invers normalverteilt mit den Parametern \left(\frac{a}{v},\frac{a^{2}}{\lambda^{2}}\right).

siehe auch: Lévy-Prozess

Definition[Bearbeiten]

Dichtefunktionen verschiedener inverser Gaußverteilungen

Eine stetige Zufallsvariable X genügt der inversen Normalverteilung mit den Parametern \lambda > 0 (Ereignisrate) und \mu > 0 (Mittelwert), wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte f(x)=\begin{cases}
             \left(\frac{\lambda}{2\pi x^3}\right)^{\frac{1}{2}}e^{-\frac{\lambda(x-\mu)^2}{2\mu^2x}} & x > 0 \\
             0                                                                                        & x\leq 0
           \end{cases} besitzt.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Erwartungswert[Bearbeiten]

Die inverse Normalverteilung besitzt den Erwartungswert

 \operatorname{E}(X) = \mu .

Varianz[Bearbeiten]

Die Varianz ergibt sich analog zu

\operatorname{Var}(X) = \frac{\mu^3}{\lambda}.

Standardabweichung[Bearbeiten]

Daraus erhält man für die Standardabweichung

\sigma = \sqrt{\frac{\mu^3}{\lambda}}

Variationskoeffizient[Bearbeiten]

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten

\operatorname{VarK}(X) = \sqrt{\frac{\mu}{\lambda}}.

Schiefe[Bearbeiten]

Die Schiefe ergibt sich zu

\operatorname{v}(X) = 3\sqrt{\frac{\mu}{\lambda}}.

Wölbung (Kurtosis)[Bearbeiten]

Die Wölbung ergibt sich zu

\beta_2 = \frac{15 \mu}{\lambda} + 3 .

Die Exzess-Kurtosis ist

\gamma_2 = \beta_2 - 3 = \frac{15 \mu}{\lambda} .

Charakteristische Funktion[Bearbeiten]

Die charakteristische Funktion hat die Form

\phi_{X}(s) = e^{\frac{\lambda}{\mu}\left(1-\sqrt{1-\frac{2\mu^2is}{\lambda}}\right)}.

Momenterzeugende Funktion[Bearbeiten]

Die momenterzeugende Funktion der inversen Normalverteilung ist

m_{X}(s) = e^{\frac{\lambda}{\mu}\left(1-\sqrt{1-\frac{2\mu^2s}{\lambda}}\right)}.

Reproduzierbarkeit[Bearbeiten]

Sind X_1, \dots, X_n Zufallsvariable mit inverser Normalverteilung mit den Parametern \lambda und \mu, dann ist die Größe \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i} wieder eine Zufallsvariable mit einer inversen Normalverteilung, aber mit den Parametern n\lambda und \mu.