F-Verteilung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die F-Verteilung oder Fisher-Verteilung, auch Fisher-Snedecor-Verteilung (nach Ronald Aylmer Fisher und George W. Snedecor), ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Eine F-verteilte Zufallsvariable ergibt sich als Quotient zweier jeweils durch die zugehörige Anzahl von Freiheitsgraden geteilter Chi-Quadrat-verteilter Zufallsvariablen. Die F-Verteilung besitzt zwei unabhängige Freiheitsgrade als Parameter und bildet so eine Zwei-Parameter-Verteilungsfamilie.

Die F-Verteilung wird häufig in einem Test verwendet (F-Test), um festzustellen, ob der Unterschied zweier Stichprobenvarianzen auf statistischer Schwankung beruht oder ob er auf unterschiedliche Grundgesamtheiten hinweist. Auch im Rahmen der Varianzanalyse wird mit einer F-Statistik auf signifikante Unterschiede zwischen Grundgesamtheiten (Gruppen) getestet. [1]

Definition[Bearbeiten]

Dichtefunktion der F-Verteilung mit ausgewählten Freiheitsgraden m und n
Verteilungsfunktion der F-Verteilung mit ausgewählten Freiheitsgraden m und n

Eine stetige Zufallsvariable genügt der F-Verteilung \,F(m,n), mit m Freiheitsgraden im Zähler und n Freiheitsgraden im Nenner, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

f(x|m,n) = 
\begin{cases} 
m^{\frac{m}{2}} n^{\frac{n}{2}} \cdot \frac{\Gamma (\frac{m}{2}+\frac{n}{2})}{\Gamma (\frac{m}{2}) \Gamma (\frac{n}{2})} \cdot \frac{x^{\frac{m}{2}-1}}{(mx+n)^\frac{m+n}{2}} & \text{wenn} \; x \geq 0 \\ 
0 & \text{sonst} \\
\end{cases}

besitzt. Dabei ist mit \Gamma(x) die Gammafunktion an der Stelle x bezeichnet.

Historisch bildet die nachfolgende Definition den Ursprung der F-Verteilung als die Verteilung der Größe

F_{m,n}=\frac{\chi_m^2/m}{\chi_n^2/n},

wobei \chi_m^2 und \chi_n^2 unabhängige, χ²-verteilte Zufallsvariablen sind mit bzw. m Freiheitsgraden und n Freiheitsgraden.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Erwartungswert[Bearbeiten]

Der Erwartungswert existiert nur für n>2 und hat dann den Wert

\operatorname{E}(F_{m,n}) = \frac{n}{n-2}.

Varianz[Bearbeiten]

Die Varianz ist nur für n>4 definiert und lautet dann

\operatorname{Var}(F_{m,n}) = \frac{2 n^2 (m+n-2)}{m (n-2)^2 (n-4)}.

Verteilungsfunktion[Bearbeiten]

Die Werte der Verteilung P(X \leq x) = F(x|m;n) werden meist numerisch ermittelt und in einer Tabelle angegeben. Eine komplette Tabellierung bezüglich aller Freiheitsgrade ist i.a. nicht notwendig, so dass die meisten Verteilungstabellen die Quantile bezüglich ausgewählter Freiheitsgrade und Wahrscheinlichkeiten angeben. Man macht sich hier auch die Beziehung zunutze:

F^{-1}(p;m;n) = \frac{1}{F^{-1}(1-p;n;m)} \;,

wobei F^{-1}(p;m;n) das p-Quantil der F-Verteilung mit m und n Freiheitsgraden bedeutet.

Die F-Verteilung lässt sich geschlossen ausdrücken als

F(x|m;n)= I\left(\frac{m\cdot x}{m\cdot x+n},\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right),

wobei  I(z,a,b)=\frac{1}{B(a,b)}\cdot \int_0^z t^{a-1} (1-t)^{b-1}\mathrm{d}t die regularisierte unvollständige Betafunktion darstellt.

Maximum[Bearbeiten]

Für m>2 nimmt f an der Stelle

x_{\mathrm{max}}=\frac{n(m-2)}{m(n+2)}

das Maximum an.

Entropie[Bearbeiten]

Die Entropie der F-Verteilung (ausgedrückt in nats) beträgt

H(X) = \ln\left(\frac nm\cdot\frac{\Gamma\left(\frac m2\right)\Gamma\left(\frac n2\right)}{\Gamma\left(\frac m2+\frac n2\right)}\right) + \left(1-\frac m2\right)\psi\left(\frac m2\right) - \left(1+\frac n2\right)\psi\left(\frac n2\right) + \frac{m+n}{2}\psi\left(\frac{m+n}{2}\right)

wobei ψ(p) die Digamma-Funktion bezeichnet.

Beziehungen zu anderen Verteilungen[Bearbeiten]

Das Zeichen \sim bedeutet im Folgenden ' ist verteilt wie '.

Beziehung zur Beta-Verteilung[Bearbeiten]

Die Zufallsvariable

Y=\frac{\frac mn F_{m,n}}{1+\frac mn  F_{m,n}}

ist betaverteilt mit Parametern m/2 und n/2 \left( Y \sim \operatorname{Beta}(m/2,n/2)\right). Es gilt:

Y\sim \frac{\chi^2_m}{\chi^2_m+\chi^2_n}

wobei \chi_m^2 und \chi_n^2 unabhängige Chi-Quadrat-verteilte Zufallsgrößen sind mit m bzw. n Freiheitsgraden.

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung[Bearbeiten]

Aus den unabhängigen \chi_m^2 und \chi_n^2 Chi-Quadrat-verteilten Zufallsgrößen mit m bzw. n Freiheitsgraden lässt sich

F_{m,n}=\frac{\chi_m^2/m}{\chi_n^2/n}

konstruieren. Diese Zufallsvariable ist F(m,n)-verteilt.

Beziehung zur nichtzentralen F-Verteilung[Bearbeiten]

Für unabhängige Zufallsvariablen X \sim \chi^2(\delta, m) und Y \sim \chi^2(n) ist

Z = \frac{X/m}{Y/n}

verteilt nach der nichtzentralen F-Verteilung Z \sim F(\delta,m,n) mit Nichtzentralitäts-Parameter \delta. Dabei ist \chi^2(\delta,\,m) eine nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung mit Nichtzentralitäts-Parameter \delta und m Freiheitsgraden. Für \delta=0 ergibt sich die zentrale F-Verteilung F(m,\,n).

Dichte der nichtzentralen F-Verteilung[Bearbeiten]

g(z|m,n,\delta)=f(z|m,n) \cdot e^{-\delta/2}{}_1\mathcal F_1\left(\frac{m+n}{2},\frac m2,\frac{m\cdot z \cdot\delta}{2(m\cdot z+n)}\right).[2]

Die Funktion {}_1\mathcal F_1(a,b,x) ist eine spezielle Hypergeometrische Funktion, auch Kummersche Funktion genannt und f(x|m,n) repräsentiert die oben angegebene Dichte der zentralen F-Verteilung.

Erwartungswert und Varianz der nichtzentralen F-Verteilung sind gegeben durch

\frac{n(1+\delta/m)}{n-2},(n>2)

und

\frac{2n^2(m(1+\delta/m)^2+(n-2)(1+2\delta/m))}{m(n-2)^2(n-4)},(n>4).

Beide ergeben bei \delta\to 0 die Formeln der zentralen F-Verteilung.

Beziehung zur Normalverteilung[Bearbeiten]

Wenn die unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen X_1, X_2, \dotsc, X_m,Y_1, Y_2, \dotsc, Y_n die Parameter

\operatorname{E}(X_i)=\mu, \operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2
\operatorname{E}(Y_j)=\nu,  \operatorname{Var}(Y_j)=\tau^2

besitzen, sind die jeweiligen Stichprobenvarianzen S_X^2 und S_Y^2 unabhängig, und es gilt:

\frac{S_X^2}{\sigma^2}\sim\chi_{m-1}^2/(m-1)

und

\frac{S_Y^2}{\tau^2}\sim\chi_{n-1}^2/(n-1).

Deshalb unterliegt die Zufallsvariable

F=\frac{S_X^2/\sigma^2}{S_Y^2/\tau^2}

einer F-Verteilung mit m-1 Freiheitsgraden im Zähler und n-1 Freiheitsgraden im Nenner,

Beziehung zur Studentschen t-Verteilung[Bearbeiten]

Wenn X \sim t_n (Studentsche t-Verteilung), dann ist X^2 \sim F(1,n).

Das Quadrat einer t-verteilten Zufallsvariablen mit n Freiheitsgraden folgt einer F-Verteilung mit m=1 und n Freiheitsgraden.

Herleitung der Dichte[Bearbeiten]

Die Wahrscheinlichkeitsdichte der F-Verteilung lässt sich herleiten (vgl. Herleitung der Dichte der Studentschen t-Verteilung) aus der gemeinsamen Dichte der beiden unabhängigen Zufallsvariablen \chi^2_m und \chi^2_n, die beide Chi-Quadrat-verteilt sind. [3]


g_{\chi^2_m,\chi^2_n}(x,y)= \frac{x^{\frac m2-1}e^{-\frac 12x}}{2^\frac m2\Gamma(\frac m2)} \cdot \frac{y^{\frac n2-1}e^{-\frac 12y}}{2^\frac n2\Gamma(\frac n2)}.

Mit der Transformation


f=\frac{x/m}{y/n},v=y ,

bekommt man die gemeinsame Dichte von F=\frac{\chi^2_m/m}{\chi^2_n/n} und \chi^2_n, wobei f\ge 0 und v\ge 0.

Die Jacobideterminante dieser Transformation ist:

\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(f,v)}=\begin{vmatrix}
     \frac mn v&0\\
     \Diamond&1
\end{vmatrix}=\frac mn v.

Der Wert \Diamond ist unwichtig, weil er bei der Berechnung der Determinante mit 0 multipliziert wird. Die neue Dichtefunktion schreibt sich also


g_{F,\chi^2_n}(f,v)= \frac{1}{2^\frac m2 \Gamma(\frac m2)}\left(f v\, \frac mn\right)^{\frac{m}{2}-1}e^{-\frac 12(f v\, \frac mn)}\cdot \frac{1}{2^\frac n2 \Gamma(\frac n2)}v^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac 12v}\cdot\frac{m}{n}v.

Gesucht ist nun die Randverteilung g_{m,\,n}(f) als Integral über die nicht interessierende Variable v:


g_{m,n}(f)=\int\limits_{0}^\infty g_{F,\chi^2_n}(f,v)\,dv=\frac{(\frac mn)^{\frac m2}f^{\frac m2-1}}{2^\frac {m+n}{2}  \Gamma(\frac m2) \Gamma(\frac n2)} \int\limits_{0}^\infty v^{\frac{m+n}{2}-1}e^{-\frac v2 (1+\frac mn f)}\,dv=m^{\frac m2} n^{\frac n2} \cdot \frac{\Gamma (\frac m2+\frac n2)}{\Gamma (\frac m2) \Gamma (\frac n2)} \cdot \frac{f^{\frac m2-1}}{(mf+n)^\frac{m+n}{2}}.

Quantilfunktionen[Bearbeiten]

Das p-Quantil der F-Verteilung x_p ist die Lösung der Gleichung p=F(x_p|m,\,n) und damit prinzipiell über die Umkehrfunktion zu berechnen. Konkret gilt hier

x_p=\frac{n I^{-1}(p,\frac m2,\frac n2)}{m(1-I^{-1}(p,\frac m2,\frac n2))},

mit I^{-1} als Inverse der regularisierten unvollständigen Betafunktion. Dieser Wert x_p ist in der F-Verteilungstabelle unter den Koordinaten p, m und n eingetragen.

Für einige Werte m, n lassen sich die Quantilsfunktionen x_p(m,\,n) explizit ausrechnen. Man löst das Beta Integral I(x,\tfrac m2,\tfrac n2) mit m,n=1,2,\dotsc, wobei für ein paar Indizes invertierbare Funktionen auftreten:


\begin{array}{c|c|c|c|c}
 m \downarrow,\,n \rightarrow &  1  & 2 & 3  & 4\\
\hline
 1 &\tan(\frac\pi2 p)^2  & \frac{2p^2}{1-p^2} & ?  & \frac{4}{2\cos(\frac{2\arcsin(p)}{3})-1}-4\\
\hline
 2 & \frac12(\frac{1}{(1-p)^2}-1)  & \frac{p}{1-p} &  \frac32(\frac{1}{(1-p)^{2/3}}-1)  & \frac{2}{\sqrt{1-p}}-2\\
\hline
 3 & ?  & \frac{2p^{2/3}}{3-3p^{2/3}} & ?  & ?\\ 
 \hline
4 & \frac{1}{(4\sin(\frac{\arcsin(1-p)}{3}))^2} -\frac14 & \frac{\sqrt p}{2(1-\sqrt p)} & ?  & \frac{1}{\frac12+\sin(\frac{\arcsin(1-2p)}{3})}-1\\
\end{array}

Literatur[Bearbeiten]

  • Joachim Hartung, Bärbel Elpelt, Karl-Heinz Klösener: Statistik, 12. Auflage, Oldenbourg 1999, S. 156 ff., ISBN 3-486-24984-3.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. P.R. Kinnear, C.D. Gray (2004): SPSS 12 MADE SIMPLE. Psychology Press. New York. S. 208–209.
  2. Eric Weisstein, "Noncentral F-Distribution." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/NoncentralF-Distribution.html
  3. Frodesen, Skjeggestad, Tofte: Probability and Statistics in Particle Physics, Universitetsforlaget, Bergen - Oslo - Tromsö S. 145f