Laplace-Verteilung

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Dichtefunktionen der Laplace-Verteilung für unterschiedliche Parameter

Die Laplace-Verteilung (benannt nach Pierre-Simon Laplace, einem französischen Mathematiker und Astronomen) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Da sie die Form zweier aneinandergefügter Exponentialverteilungen hat, wird sie auch als Doppelexponentialverteilung bezeichnet.

Definition[Bearbeiten]

Eine stetige Zufallsgröße X unterliegt der Laplace-Verteilung mit dem Lageparameter \mu \in \mathbb{R} und dem Skalenparameter \sigma > 0, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

f(x)= \frac{1}{2\sigma}e^{\displaystyle -\frac{|x-\mu|}{\sigma}}

besitzt.

Ihre Verteilungsfunktion lautet

F(x) = \begin{cases}\displaystyle
                {1 \over 2} e^{\displaystyle\frac{x-\mu}{\sigma}},       & x \leq \mu \\ \displaystyle
                1 - {1 \over 2} e^{\displaystyle -\frac{x-\mu}{\sigma}}  & x > \mu 
              \end{cases}

Eigenschaften[Bearbeiten]

Erwartungswert, Median, Modalwert[Bearbeiten]

Der Parameter \mu ist gleichzeitig Erwartungswert, Median und Modalwert.

 \operatorname{E}(X)  = \mu

Varianz[Bearbeiten]

Die Varianz wird durch den Parameter \sigma bestimmt.

\operatorname{Var}(X) = 2 \sigma^2

Kurtosis[Bearbeiten]

Die Kurtosis einer Laplace-Verteilung ist identisch 6 (entspricht einem Exzess von 3).

\operatorname{Kurt}(X) = 6

Momenterzeugende Funktion[Bearbeiten]

Die momenterzeugende Funktion eine Laplace-verteilten Zufallsgröße mit Parametern \mu und \sigma lautet

M_X(t) = \frac{e^{\mu t}}{1-\sigma^2 t^2}, für |t|<1/\sigma.

Charakteristische Funktion[Bearbeiten]

Die charakteristische Funktion entsteht aus der momenterzeugenden Funktion, indem man das Argument t durch is ersetzt, man erhält:

\phi_{X}(s)    = \frac{e^{i\mu s}}{1+\sigma^{2}s^{2}}.

Entropie[Bearbeiten]

Die Entropie der Laplace-Verteilung (ausgedrückt in nats) beträgt

1+\ln(2\sigma).

Zufallszahlen[Bearbeiten]

Zur Erzeugung doppelexponentialverteilter Zufallszahlen bietet sich die Inversionsmethode an.

Die nach dem Simulationslemma zu bildende Pseudoinverse der Verteilungsfunktion lautet hierbei

F^{-1}(y) = \begin{cases} \displaystyle
                     {1 \over \lambda} \ln (2 y)        & y < {1 \over 2} \\ \displaystyle
                   - {1 \over \lambda} \ln (2 (1 - y)), & y \ge {1 \over 2} 
                   \end{cases}.

Zu einer Folge von Standardzufallszahlen u_i lässt sich daher eine Folge

x_i := F^{-1}( u_i )

doppelexponentialverteilter Zufallszahlen berechnen.

Beziehung zu anderen Verteilungen[Bearbeiten]

Beziehung zur Normalverteilung[Bearbeiten]

Sind X_1,X_2,X_3,X_4\sim \mathcal N(0,1) unabhängige standardnormalverteile Zufallsgrößen, dann ist Z=\det\begin{pmatrix} X_1 & X_2 \\ X_3 & X_4 \end{pmatrix}=X_1\, X_4-X_2 \, X_3 standardlaplaceverteilt (\mu=0).

Beziehung zur Exponentialverteilung[Bearbeiten]

Eine Zufallsvariable X := Y_\lambda - Z_\lambda, die als Differenz zweier unabhängiger exponentialverteilter Zufallsvariablen Y_\lambda und Z_\lambda mit demselben Parameter definiert ist, ist Laplace-verteilt.[1]

Abgrenzung zur stetigen Gleichverteilung[Bearbeiten]

Die so definierte stetige Laplaceverteilung hat nichts mit der stetigen Gleichverteilung zu tun. Sie wird mit ihr trotzdem gerne verwechselt, weil die diskrete Gleichverteilung nach Laplace benannt ist (Laplacewürfel).

Weblinks[Bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten]

  1. Milton Abramowitz und Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions, 1972, S. 930