Arkussinus und Arkuskosinus im kartesischen Koordinatensystem arcsin (x ) arccos (x ) Beispiel: Umkehrung der Kosinus- und Sinusfunktion[ 1] Der Arkussinus – geschrieben
arcsin
{\displaystyle \arcsin }
asin
{\displaystyle \operatorname {asin} }
Arkuskosinus (oder auch Arkuscosinus ) – geschrieben
arccos
{\displaystyle \arccos }
acos
{\displaystyle \operatorname {acos} }
Umkehrfunktionen der (geeignet) eingeschränkten Sinus- bzw. Kosinusfunktion . Sinus und Kosinus sind Funktionen, die einen Winkel auf einen Wert im Intervall
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
Definitionsmenge auf das Intervall
[
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle [-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}]}
[
0
,
π
]
{\displaystyle [0,\pi ]}
Zusammen mit dem Arkustangens als Umkehrfunktion des (ebenfalls geeignet eingeschränkten) Tangens bilden der Arkussinus und Arkuskosinus den Kern der Klasse der Arkusfunktionen . Aufgrund der in neuerer Zeit für Umkehrfunktionen gebräuchlichen Schreibweise
f
−
1
{\displaystyle f^{-1}}
sin
−
1
{\displaystyle \sin ^{-1}}
cos
−
1
{\displaystyle \cos ^{-1}}
arcsin
{\displaystyle \arcsin }
arccos
{\displaystyle \arccos }
Kehrwerten des Sinus und Kosinus (Kosekans und Sekans ) führen kann.[ 2]
Definitionen
Die Sinusfunktion ist
2
π
{\displaystyle 2\pi }
Periode nicht injektiv . Daher muss ihr Definitionsbereich geeignet eingeschränkt werden, um eine umkehrbar-eindeutige Funktion zu erhalten. Da es für diese Einschränkung mehrere Möglichkeiten gibt, spricht man von Zweigen des Arkussinus. Meist wird der Hauptzweig (oder Hauptwert)
arcsin
:
[
−
1
,
1
]
→
[
−
π
2
,
π
2
]
,
{\displaystyle \arcsin \colon [-1,1]\to \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right],}
die Umkehrfunktion der Einschränkung
sin
|
[
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle \sin |_{\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}}
[
−
π
2
,
π
2
]
,
{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right],}
Analog zum Arkussinus wird der Hauptzweig des Arkuskosinus als die Umkehrfunktion von
cos
|
[
0
,
π
]
{\displaystyle \cos |_{[0,\pi ]}}
arccos
:
[
−
1
,
1
]
→
[
0
,
π
]
{\displaystyle \arccos \colon [-1,1]\to [0,\pi ]}
ebenfalls eine bijektive Funktion. Mittels
arccos
(
x
)
+
arcsin
(
x
)
=
π
2
{\displaystyle \arccos(x)+\arcsin(x)={\frac {\pi }{2}}}
lassen sich diese beiden Funktionen ineinander umrechnen.
Eigenschaften
Arkussinus
Arkuskosinus
Funktionsgraph
Definitionsmenge
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
Bildmenge
[
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}
[
0
,
π
]
{\displaystyle [0,\pi ]}
Monotonie
streng monoton steigend
streng monoton fallend
Symmetrien
Ungerade Funktion (Punktsymmetrie zu
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
arcsin
(
−
x
)
=
−
arcsin
(
x
)
{\displaystyle \arcsin(-x)=-\arcsin(x)}
Punktsymmetrie zu
(
0
,
π
2
)
:
{\displaystyle \left(0,{\tfrac {\pi }{2}}\right)\colon }
arccos
(
x
)
=
π
−
arccos
(
−
x
)
{\displaystyle \arccos(x)=\pi -\arccos(-x)}
Asymptoten
keine
keine
Nullstellen
Eine Nullstelle bei
x
=
0
{\displaystyle x=0}
Eine Nullstelle bei
x
=
1
{\displaystyle x=1}
Sprungstellen
keine
keine
Polstellen
keine
keine
Extrema
Globales Maximum
π
2
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}
1
{\displaystyle 1}
−
π
2
{\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}}}
−
1
{\displaystyle -1}
Globales Maximum
π
{\displaystyle \pi }
−
1
{\displaystyle -1}
0
{\displaystyle 0}
1
{\displaystyle 1}
Wendepunkte
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
(
0
,
π
2
)
{\displaystyle \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right)}
Aufgrund der Symmetrieeigenschaften gilt:
arcsin
(
−
x
)
=
−
arcsin
(
x
)
{\displaystyle \arcsin(-x)=-\arcsin(x)}
arccos
(
−
x
)
=
π
−
arccos
(
x
)
{\displaystyle \arccos(-x)=\pi -\arccos(x)}
Reihenentwicklungen
Die Taylorreihe des Arkussinus erhält man durch Entwickeln der Ableitung in eine binomische Reihe und anschließende Integration, sie ist gegeben durch:
arcsin
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
(
2
k
−
1
)
!
!
(
2
k
)
!
!
x
2
k
+
1
2
k
+
1
=
∑
k
=
0
∞
(
2
k
k
)
x
2
k
+
1
4
k
(
2
k
+
1
)
=
∑
k
=
0
∞
CBC
(
k
)
4
k
(
2
k
+
1
)
x
2
k
+
1
=
=
x
+
1
2
⋅
x
3
3
+
1
⋅
3
2
⋅
4
⋅
x
5
5
+
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
⋅
x
7
7
+
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!}{(2k)!!}}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}{\frac {x^{2k+1}}{4^{k}(2k+1)}}=\sum _{k=0}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (k)}{4^{k}(2k+1)}}\,x^{2k+1}=\\&={x+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\cdot {\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\cdot {\frac {x^{7}}{7}}+\dotsb }\end{aligned}}}
Die Taylorreihe des Arkuskosinus ergibt sich aus der Beziehung
arccos
x
=
π
2
−
arcsin
x
{\displaystyle \arccos x={\tfrac {\pi }{2}}-\arcsin x}
arccos
(
x
)
=
π
2
−
∑
k
=
0
∞
(
2
k
−
1
)
!
!
(
2
k
)
!
!
x
2
k
+
1
2
k
+
1
=
π
2
−
∑
k
=
0
∞
(
2
k
k
)
x
2
k
+
1
4
k
(
2
k
+
1
)
{\displaystyle \arccos(x)={\frac {\pi }{2}}-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!}{(2k)!!}}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}{\frac {x^{2k+1}}{4^{k}(2k+1)}}}
Beide Reihen haben den Konvergenzradius 1.
Der Ausdruck
k
!
!
{\displaystyle k!!}
Doppelfakultät und mit dem Ausdruck CBC wird der Zentralbinomialkoeffizient bezeichnet:
CBC
(
x
)
=
(
2
x
x
)
=
(
2
x
)
!
(
x
!
)
2
=
Π
(
2
x
)
Π
(
x
)
2
=
∏
n
=
1
∞
[
(
1
+
x
n
)
2
(
1
+
2
x
n
)
−
1
]
{\displaystyle \operatorname {CBC} (x)={2x \choose x}={\frac {(2x)!}{(x!)^{2}}}={\frac {\Pi (2x)}{\Pi (x)^{2}}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\bigl [}{\bigl (}1+{\frac {x}{n}}{\bigr )}^{2}{\bigl (}1+{\frac {2x}{n}}{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}}
So wird der Zentralbinomialkoeffizient mit Hilfe von der Fakultätsfunktion beziehungsweise der Gaußschen Pifunktion definiert.
Im Gegensatz zum Arkussinus selbst hat das Quadrat des Arkussinus in dessen MacLaurinschen Reihe den Zentralbinomialkoeffizienten [ 3]
arcsin
(
x
)
2
=
∑
n
=
1
∞
2
2
n
−
1
n
2
CBC
(
n
)
x
2
n
=
=
x
2
+
1
3
⋅
x
4
+
8
45
⋅
x
6
+
4
35
⋅
x
8
+
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)^{2}&=\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {2^{2n-1}}{n^{2}\operatorname {CBC} (n)}}\,x^{2n}=\\&={x^{2}+{\frac {1}{3}}\cdot x^{4}+{\frac {8}{45}}\cdot x^{6}+{\frac {4}{35}}\cdot x^{8}+\dotsb }\end{aligned}}}
Das Gleiche gilt somit auch für den Quotienten aus Arkussinus und Pythagoräischer Gegenstückfunktion:
arcsin
(
x
)
1
−
x
2
=
∑
n
=
1
∞
2
2
n
−
1
n
CBC
(
n
)
x
2
n
−
1
=
x
+
2
3
⋅
x
3
+
8
15
⋅
x
5
+
16
35
⋅
x
7
+
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\arcsin(x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}&=\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {2^{2n-1}}{n\operatorname {CBC} (n)}}\,x^{2n-1}\\&={x+{\frac {2}{3}}\cdot x^{3}+{\frac {8}{15}}\cdot x^{5}+{\frac {16}{35}}\cdot x^{7}+\dotsb }\end{aligned}}}
Verkettungen mit Sinus und Kosinus
Für die Arkusfunktionen gelten unter anderem folgende Formeln:
sin
(
arccos
(
x
)
)
=
1
−
x
2
{\displaystyle \sin(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}}
y
=
arccos
(
x
)
{\displaystyle y=\arccos(x)}
y
∈
[
0
,
π
]
{\displaystyle y\in \left[0,{\pi }\right]}
sin
(
y
)
=
1
−
cos
2
(
y
)
{\displaystyle \sin(y)={\sqrt {1-\cos ^{2}(y)}}}
cos
(
arcsin
(
x
)
)
=
1
−
x
2
{\displaystyle \cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}}
y
=
arcsin
(
x
)
{\displaystyle y=\arcsin(x)}
y
∈
[
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}
cos
(
y
)
=
1
−
sin
2
(
y
)
{\displaystyle \cos(y)={\sqrt {1-\sin ^{2}(y)}}}
sin
(
arctan
(
x
)
)
=
x
1
+
x
2
{\displaystyle \sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
y
=
arctan
(
x
)
{\displaystyle y=\arctan(x)}
y
∈
]
−
π
2
,
π
2
[
{\displaystyle y\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}
sin
(
y
)
=
tan
(
y
)
1
+
tan
2
(
y
)
{\displaystyle \sin(y)={\frac {\tan(y)}{\sqrt {1+\tan ^{2}(y)}}}}
cos
(
arctan
(
x
)
)
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle \cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
y
=
arctan
(
x
)
{\displaystyle y=\arctan(x)}
y
∈
]
−
π
2
,
π
2
[
{\displaystyle y\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}
cos
(
y
)
=
1
1
+
tan
2
(
y
)
{\displaystyle \cos(y)={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}(y)}}}}
Beziehung zum Arkustangens
Von besonderer Bedeutung in älteren Programmiersprachen ohne implementierte Arkussinus- und Arkuskosinusfunktion sind folgende Beziehungen, die es ermöglichen, den Arkussinus und Arkuskosinus aus dem vielleicht implementierten Arkustangens zu berechnen. Aufgrund obiger Formeln gilt
arcsin
(
x
)
=
arctan
(
x
1
−
x
2
)
{\displaystyle \arcsin(x)=\arctan \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)}
arccos
(
x
)
=
π
2
−
arctan
(
x
1
−
x
2
)
{\displaystyle \arccos(x)={\frac {\pi }{2}}-\arctan \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)}
für
|
x
|
<
1.
{\displaystyle |x|<1.}
arctan
(
1
0
)
:=
lim
t
→
∞
arctan
(
t
)
=
π
2
,
{\displaystyle \arctan \left({\tfrac {1}{0}}\right):=\lim _{t\to \infty }\arctan(t)={\tfrac {\pi }{2}},}
x
=
±
1
{\displaystyle x=\pm 1}
arcsin
(
x
)
=
2
arctan
(
x
1
+
1
−
x
2
)
{\displaystyle \arcsin(x)=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)}
arccos
(
x
)
=
π
2
−
2
arctan
(
x
1
+
1
−
x
2
)
{\displaystyle \arccos(x)={\frac {\pi }{2}}-2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)}
verwenden, was sich aus Obigem durch Anwenden der Funktionalgleichung des Arkustangens ergibt und für
|
x
|
≤
1
{\displaystyle |x|\leq 1}
−
1
<
x
≤
1
{\displaystyle -1<x\leq 1}
arccos
(
x
)
=
2
arctan
(
1
−
x
1
+
x
)
{\displaystyle \arccos(x)=2\arctan \left({\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}\right)}
vereinfachen.
Additionstheoreme
Die Additionstheoreme für Arkussinus und Arkuskosinus erhält man mit Hilfe der Additionstheoreme für Sinus und Kosinus :
arcsin
x
+
arcsin
y
=
{
arcsin
(
sin
(
arcsin
x
+
arcsin
y
)
)
=
arcsin
(
x
1
−
y
2
+
y
1
−
x
2
)
wenn
x
y
≤
0
oder
x
2
+
y
2
≤
1
π
−
arcsin
(
sin
(
arcsin
x
+
arcsin
y
)
)
=
π
−
arcsin
(
x
1
−
y
2
+
y
1
−
x
2
)
wenn
x
>
0
und
y
>
0
und
x
2
+
y
2
>
1
−
π
−
arcsin
(
sin
(
arcsin
x
+
arcsin
y
)
)
=
−
π
−
arcsin
(
x
1
−
y
2
+
y
1
−
x
2
)
wenn
x
<
0
und
y
<
0
und
x
2
+
y
2
>
1
{\displaystyle \arcsin x+\arcsin y=\left\{{\begin{array}{rcrl}\arcsin(\sin(\arcsin x+\arcsin y))&=&\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)&{\text{wenn}}\quad xy\leq 0\quad {\text{oder}}\quad x^{2}+y^{2}\leq 1\\\pi -\arcsin(\sin(\arcsin x+\arcsin y))&=&\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)&{\text{wenn}}\quad x>0\quad {\text{und}}\quad y>0\quad {\text{und}}\quad x^{2}+y^{2}>1\\-\pi -\arcsin(\sin(\arcsin x+\arcsin y))&=&-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)&{\text{wenn}}\quad x<0\quad {\text{und}}\quad y<0\quad {\text{und}}\quad x^{2}+y^{2}>1\\\end{array}}\right.}
arccos
x
+
arccos
y
=
{
arccos
(
cos
(
arccos
x
+
arccos
y
)
)
=
arccos
(
x
y
−
1
−
x
2
1
−
y
2
)
wenn
x
+
y
≥
0
2
π
−
arccos
(
cos
(
arccos
x
+
arccos
y
)
)
=
2
π
−
arccos
(
x
y
−
1
−
x
2
1
−
y
2
)
wenn
x
+
y
<
0
{\displaystyle \arccos x+\arccos y=\left\{{\begin{array}{rcrl}\arccos(\cos(\arccos x+\arccos y))&=&\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)&{\text{wenn}}\quad x+y\geq 0\\2\pi -\arccos(\cos(\arccos x+\arccos y))&=&2\pi -\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)&{\text{wenn}}\quad x+y<0\\\end{array}}\right.}
Daraus folgt insbesondere für doppelte Funktionswerte
2
arcsin
x
=
{
arcsin
(
2
x
1
−
x
2
)
wenn
2
x
2
≤
1
π
−
arcsin
(
2
x
1
−
x
2
)
wenn
x
>
0
und
2
x
2
>
1
−
π
−
arcsin
(
2
x
1
−
x
2
)
wenn
x
<
0
und
2
x
2
>
1
{\displaystyle 2\arcsin x=\left\{{\begin{array}{rl}\arcsin \left(2x{\sqrt {1-x^{2}}}\right)&{\text{wenn}}\quad 2x^{2}\leq 1\\\pi -\arcsin \left(2x{\sqrt {1-x^{2}}}\right)&{\text{wenn}}\quad x>0\quad {\text{und}}\quad 2x^{2}>1\\-\pi -\arcsin \left(2x{\sqrt {1-x^{2}}}\right)&{\text{wenn}}\quad x<0\quad {\text{und}}\quad 2x^{2}>1\\\end{array}}\right.}
2
arccos
x
=
{
arccos
(
2
x
2
−
1
)
wenn
x
≥
0
2
π
−
arccos
(
2
x
2
−
1
)
wenn
x
<
0
{\displaystyle 2\arccos x=\left\{{\begin{array}{rl}\arccos \left(2x^{2}-1\right)&{\text{wenn}}\quad x\geq 0\\2\pi -\arccos \left(2x^{2}-1\right)&{\text{wenn}}\quad x<0\\\end{array}}\right.}
Ableitungen
Arkussinus
d
d
x
arcsin
(
x
)
=
1
1
−
x
2
,
−
1
<
x
<
1
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad -1<x<1}
Arkuskosinus
d
d
x
arccos
(
x
)
=
−
1
1
−
x
2
,
−
1
<
x
<
1
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad -1<x<1}
Umrechnung
d
d
x
arccos
(
x
)
=
−
d
d
x
arcsin
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arccos(x)=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arcsin(x)}
Integrale
Standardisierte Integraldarstellungen
Die Integraldarstellungen des Arkussinus bzw. Arkuskosinus sind gegeben durch:
arcsin
(
x
)
=
∫
0
x
d
t
1
−
t
2
=
∫
0
1
x
1
−
x
2
y
2
d
y
{\displaystyle \arcsin(x)=\int \limits _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}=\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}}\,\mathrm {d} y}
arccos
(
x
)
=
∫
x
1
d
t
1
−
t
2
=
π
2
−
∫
0
1
x
1
−
x
2
y
2
d
y
{\displaystyle \arccos(x)=\int \limits _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}={\frac {\pi }{2}}-\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}}\,\mathrm {d} y}
Auch mit dem Logarithmus Naturalis kann für den Arkussinus eine Integralidentität aufgestellt werden:
1
1
−
x
2
=
∫
0
1
4
(
y
2
+
1
)
π
[
(
y
2
+
1
)
2
−
4
x
2
y
2
]
d
y
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\int _{0}^{1}{\frac {4\,(y^{2}+1)}{\pi {\bigl [}(y^{2}+1)^{2}-4\,x^{2}y^{2}{\bigr ]}}}\,\mathrm {d} y}
Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x entsteht folgende Formel:
arcsin
(
x
)
=
∫
0
1
1
π
y
ln
(
y
2
+
2
x
y
+
1
y
2
−
2
x
y
+
1
)
d
y
{\displaystyle \arcsin(x)=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\pi \,y}}\ln {\biggl (}{\frac {y^{2}+2xy+1}{y^{2}-2xy+1}}{\biggr )}\,\mathrm {d} y}
Die nun gezeigte Integralidentität wurde durch den Mathematiker James Harper entdeckt und in seinen Werken A simple proof of
1
+
1
/
2
2
+
1
/
3
2
+
…
=
π
2
/
6
{\displaystyle 1+1/2^{2}+1/3^{2}+\ldots =\pi ^{2}/6}
und Another simple proof of
1
+
1
/
2
2
+
1
/
3
2
+
…
=
π
2
/
6
{\displaystyle 1+1/2^{2}+1/3^{2}+\ldots =\pi ^{2}/6}
[ 4] Basler Problem und konnte einige weitere Integralidentitäten aufstellen, welche das Bindeglied zwischen den Arkusfunktionen und den Areafunktionen beziehungsweise Logarithmusfunktionen darstellen. Beispielsweise gilt folgendes Integral:
∫
0
1
1
y
ln
(
y
2
+
y
+
1
y
2
−
y
+
1
)
d
y
=
π
2
6
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{y}}\ln {\biggl (}{\frac {y^{2}+y+1}{y^{2}-y+1}}{\biggr )}\,\mathrm {d} y={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
Eine analoge Integralidentität nach demselben Grundmuster kann für das Quadrat des Arkuskosinus hervorgebracht werden:
arccos
(
x
)
2
=
π
2
3
−
∫
0
1
2
y
ln
(
y
2
+
2
x
y
+
1
)
d
y
{\displaystyle \arccos(x)^{2}={\frac {\pi ^{2}}{3}}-\int _{0}^{1}{\frac {2}{y}}\ln(y^{2}+2xy+1)\,\mathrm {d} y}
Und mit dem Areatangens Hyperbolicus kann für den Arkussinus eine Integralidentität aufgestellt werden:
2
arcsin
(
x
)
1
−
x
2
=
∫
0
1
2
x
(
1
−
x
2
)
(
1
−
x
2
y
2
)
d
y
{\displaystyle {\frac {2\arcsin(x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\int _{0}^{1}{\frac {2\,x}{\sqrt {(1-x^{2})(1-x^{2}y^{2})}}}\,\mathrm {d} y}
Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x entsteht folgende Formel:
arcsin
(
x
)
2
=
∫
0
1
2
y
[
artanh
(
y
)
−
artanh
(
1
−
x
2
y
1
−
x
2
y
2
)
]
d
y
{\displaystyle \arcsin(x)^{2}=\int _{0}^{1}{\frac {2}{y}}{\biggl [}\operatorname {artanh} {\bigl (}y{\bigr )}-\operatorname {artanh} {\biggl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}\,y}{\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}}{\biggr )}{\biggr ]}\,\mathrm {d} y}
Wenn der Grenzwert von dieser Identität für
x
=
1
{\displaystyle x=1}
Areatangens Hyperbolicus folgende Identität:
∫
0
1
1
y
a
r
t
a
n
h
(
y
)
d
y
=
π
2
8
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{y}}\,\mathrm {artanh} (y)\,\mathrm {d} y={\frac {\pi ^{2}}{8}}}
Und mit dieser Formel kann das Basler Problem bewiesen werden:
∫
0
1
1
y
a
r
t
a
n
h
(
y
)
d
y
=
∫
0
1
(
1
y
∑
n
=
1
∞
1
2
n
−
1
y
2
n
−
1
)
d
y
=
∑
n
=
1
∞
1
(
2
n
−
1
)
2
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{y}}\,\mathrm {artanh} (y)\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\biggl (}{\frac {1}{y}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\,y^{2n-1}{\biggr )}\,\mathrm {d} y=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{2}}}}
Daraus folgt:
∑
n
=
1
∞
1
(
2
n
−
1
)
2
=
π
2
8
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}}
Stammfunktionen von Arkussinus und Arkuskosinus
Arkussinus
∫
arcsin
(
x
a
)
d
x
=
x
arcsin
(
x
a
)
+
a
2
−
x
2
+
C
{\displaystyle \int \arcsin \left({\frac {x}{a}}\right)\,\mathrm {d} x=x\,\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right)+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C}
Arkuskosinus
∫
arccos
(
x
a
)
d
x
=
x
arccos
(
x
a
)
−
a
2
−
x
2
+
C
{\displaystyle \int \arccos \left({\frac {x}{a}}\right)\,\mathrm {d} x=x\,\arccos \left({\frac {x}{a}}\right)-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C}
Komplexe Argumente
arcsin
(
a
+
b
i
)
=
s
g
n
+
a
2
⋅
arccos
(
(
a
2
+
b
2
−
1
)
2
+
4
b
2
−
(
a
2
+
b
2
)
)
+
i
⋅
s
g
n
+
b
2
⋅
arcosh
(
(
a
2
+
b
2
−
1
)
2
+
4
b
2
+
(
a
2
+
b
2
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(a+b\,\mathrm {i} )=\quad {\frac {\operatorname {sgn^{+}} {a}}{2}}\cdot \arccos &\left({\sqrt {(a^{2}+b^{2}-1)^{2}+4b^{2}}}-(a^{2}+b^{2})\right)\\+\;\mathrm {i} \cdot {\frac {\operatorname {sgn^{+}} {b}}{2}}\cdot \operatorname {arcosh} &\left({\sqrt {(a^{2}+b^{2}-1)^{2}+4b^{2}}}+(a^{2}+b^{2})\right)\end{aligned}}}
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
arccos
(
a
+
b
i
)
=
π
2
−
arcsin
(
a
+
b
i
)
{\displaystyle \arccos(a+b\,\mathrm {i} )={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(a+b\,\mathrm {i} )}
Zur Funktion
arcosh
{\displaystyle \operatorname {arcosh} }
Areakosinus hyperbolicus , und für die Funktion
s
g
n
+
:
R
→
{
−
1
,
1
}
{\displaystyle \operatorname {sgn^{+}} \colon \mathbb {R} \to \{-1,1\}}
s
g
n
+
(
x
)
:=
2
⋅
Θ
(
x
)
−
1
=
{
+
1
für
x
≥
0
−
1
für
x
<
0
{\displaystyle \operatorname {sgn^{+}} (x):=2\cdot \Theta (x)-1={\begin{cases}+1&{\text{für }}x\geq 0\\-1&{\text{für }}x<0\end{cases}}}
mit der Heaviside-Funktion
Θ
{\displaystyle \Theta }
Anmerkungen
Wichtige Funktionswerte
Siehe auch: Sinus und Kosinus: Wichtige Funktionswerte
Die folgende Tabelle listet die wichtigen Funktionswerte der beiden Arkusfunktionen auf.[ 5]
x
{\displaystyle x}
arcsin
(
x
)
{\displaystyle \arcsin(x)}
arccos
(
x
)
{\displaystyle \arccos(x)}
0
{\displaystyle 0}
0
∘
{\displaystyle 0^{\circ }}
0
{\displaystyle 0}
90
∘
{\displaystyle 90^{\circ }}
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
30
∘
{\displaystyle 30^{\circ }}
π
6
{\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}
60
∘
{\displaystyle 60^{\circ }}
π
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}
1
2
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}
45
∘
{\displaystyle 45^{\circ }}
π
4
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}
45
∘
{\displaystyle 45^{\circ }}
π
4
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}
1
2
3
{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}}
60
∘
{\displaystyle 60^{\circ }}
π
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}
30
∘
{\displaystyle 30^{\circ }}
π
6
{\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}
1
{\displaystyle 1}
90
∘
{\displaystyle 90^{\circ }}
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
0
∘
{\displaystyle 0^{\circ }}
0
{\displaystyle 0}
Weitere wichtige Werte sind:
x
{\displaystyle x}
arcsin
(
x
)
{\displaystyle \arcsin(x)}
arccos
(
x
)
{\displaystyle \arccos(x)}
1
4
(
6
−
2
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}
15
∘
{\displaystyle 15^{\circ }}
π
12
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{12}}}
75
∘
{\displaystyle 75^{\circ }}
5
π
12
{\displaystyle {\tfrac {5\pi }{12}}}
1
4
(
5
−
1
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)}
18
∘
{\displaystyle 18^{\circ }}
π
10
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{10}}}
72
∘
{\displaystyle 72^{\circ }}
2
π
5
{\displaystyle {\tfrac {2\pi }{5}}}
1
4
10
−
2
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}
36
∘
{\displaystyle 36^{\circ }}
π
5
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{5}}}
54
∘
{\displaystyle 54^{\circ }}
3
π
10
{\displaystyle {\tfrac {3\pi }{10}}}
1
4
(
1
+
5
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}
54
∘
{\displaystyle 54^{\circ }}
3
π
10
{\displaystyle {\tfrac {3\pi }{10}}}
36
∘
{\displaystyle 36^{\circ }}
π
5
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{5}}}
1
4
10
+
2
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}
72
∘
{\displaystyle 72^{\circ }}
2
π
5
{\displaystyle {\tfrac {2\pi }{5}}}
18
∘
{\displaystyle 18^{\circ }}
π
10
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{10}}}
1
4
(
6
+
2
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}
75
∘
{\displaystyle 75^{\circ }}
5
π
12
{\displaystyle {\tfrac {5\pi }{12}}}
15
∘
{\displaystyle 15^{\circ }}
π
12
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{12}}}
Kettenbruchdarstellung des Arkussinus
H. S. Wall fand 1948 für den Arkussinus folgende Darstellung als Kettenbruch :
arcsin
(
x
)
=
x
1
−
x
2
1
−
1
⋅
2
x
2
3
−
1
⋅
2
x
2
5
−
3
⋅
4
x
2
7
−
3
⋅
4
x
2
9
−
5
⋅
6
x
2
11
−
…
{\displaystyle \arcsin(x)={\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}}{1-{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3-{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{5-{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{7-{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{9-{\cfrac {5\cdot 6x^{2}}{11-\ldots }}}}}}}}}}}}}
Komplexe Funktion
Man kann Arkussinus und Arkuskosinus auch durch den Hauptzweig des komplexen Logarithmus ausdrücken:
arcsin
z
=
−
i
ln
(
i
z
+
1
−
z
2
)
{\displaystyle \arcsin z=-\mathrm {i} \,\ln \left(\mathrm {i} z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)}
arccos
z
=
−
i
ln
(
z
+
i
1
−
z
2
)
{\displaystyle \arccos z=-\mathrm {i} \,\ln \left(z+\mathrm {i} {\sqrt {1-z^{2}}}\right)}
Diese beiden Formeln kann man wie folgt herleiten:
Für
arcsin
z
{\displaystyle \arcsin z}
sin
(
x
)
=
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
=
z
e
i
x
−
1
e
i
x
=
2
z
i
(
e
i
x
)
2
−
1
=
2
z
i
e
i
x
(
e
i
x
)
2
−
2
z
i
e
i
x
−
1
=
0
e
i
x
=
−
−
2
z
i
2
±
(
−
2
z
i
2
)
2
−
(
−
1
)
e
i
x
=
z
i
±
1
−
z
2
i
x
=
ln
(
z
i
±
1
−
z
2
)
x
=
ln
(
z
i
±
1
−
z
2
)
i
x
=
ln
(
z
i
±
1
−
z
2
)
i
i
2
x
=
ln
(
z
i
±
1
−
z
2
)
i
−
1
x
=
−
i
ln
(
z
i
±
1
−
z
2
)
arcsin
z
=
−
i
ln
(
z
i
±
1
−
z
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x)&={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2\mathrm {i} }}\\{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2\mathrm {i} }}&=z\\\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-{\frac {1}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}}&=2z\mathrm {i} \\(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})^{2}-1&=2z\mathrm {i} \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\\(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})^{2}-2z\mathrm {i} \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-1&=0\\\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}&=-{\frac {-2z\mathrm {i} }{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {-2z\mathrm {i} }{2}}\right)^{2}-(-1)}}\\\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}&=z\mathrm {i} \pm {\sqrt {1-z^{2}}}\\\mathrm {i} x&=\ln(z\mathrm {i} \pm {\sqrt {1-z^{2}}})\\x&={\frac {\ln(z\mathrm {i} \pm {\sqrt {1-z^{2}}})}{\mathrm {i} }}\\x&={\frac {\ln(z\mathrm {i} \pm {\sqrt {1-z^{2}}})\,\mathrm {i} }{\mathrm {i} ^{2}}}\\x&={\frac {\ln(z\mathrm {i} \pm {\sqrt {1-z^{2}}})\,\mathrm {i} }{-1}}\\x&=-\mathrm {i} \,\ln(z\mathrm {i} \pm {\sqrt {1-z^{2}}})\\\arcsin z&=-\mathrm {i} \,\ln(z\mathrm {i} \pm {\sqrt {1-z^{2}}})\\\end{aligned}}}
Für
arccos
z
{\displaystyle \arccos z}
cos
(
x
)
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
e
i
x
+
e
−
i
x
2
=
z
e
i
x
+
1
e
i
x
=
2
z
(
e
i
x
)
2
+
1
=
2
z
e
i
x
(
e
i
x
)
2
−
2
z
e
i
x
+
1
=
0
e
i
x
=
−
−
2
z
2
±
(
−
2
z
2
)
2
−
1
)
e
i
x
=
z
±
z
2
−
1
i
x
=
ln
(
z
±
i
1
−
z
2
)
x
=
ln
(
z
±
i
1
−
z
2
)
i
x
=
ln
(
z
±
i
1
−
z
2
)
i
i
2
x
=
ln
(
z
±
i
1
−
z
2
)
i
−
1
x
=
−
i
ln
(
z
±
i
1
−
z
2
)
arccos
z
=
−
i
ln
(
z
±
i
1
−
z
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(x)&={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2}}\\{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2}}&=z\\\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+{\frac {1}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}}&=2z\\(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})^{2}+1&=2z\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\\(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})^{2}-2z\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+1&=0\\\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}&=-{\frac {-2z}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {-2z}{2}}\right)^{2}-1)}}\\\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}&=z\pm {\sqrt {z^{2}-1}}\\\mathrm {i} x&=\ln(z\pm \mathrm {i} {\sqrt {1-z^{2}}})\\x&={\frac {\ln(z\pm \mathrm {i} {\sqrt {1-z^{2}}})}{\mathrm {i} }}\\x&={\frac {\ln(z\pm \mathrm {i} {\sqrt {1-z^{2}}})\,\mathrm {i} }{\mathrm {i} ^{2}}}\\x&={\frac {\ln(z\pm \mathrm {i} {\sqrt {1-z^{2}}})\,\mathrm {i} }{-1}}\\x&=-\mathrm {i} \,\ln(z\pm \mathrm {i} {\sqrt {1-z^{2}}})\\\arccos z&=-\mathrm {i} \,\ln(z\pm \mathrm {i} {\sqrt {1-z^{2}}})\\\end{aligned}}}
Siehe auch
Literatur
James D. Harper: A simple proof of
1
+
1
/
2
2
+
1
/
3
2
+
…
=
π
2
/
6
{\displaystyle 1+1/2^{2}+1/3^{2}+\ldots =\pi ^{2}/6}
The American Mathematical Monthly 109(6) (Jun. – Jul., 2003) 540–541.
Einzelnachweise
↑ Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie . 3.3 Die Umkehrfunktionen. Springer Spektrum, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63831-6 , S. 46 .
↑ Eric W. Weisstein : Inverse Trigonometric Functions .MathWorld ↑ Derrick Henry Lehmer: Interesting Series Involving the Central Binomial Coefficient . Volume 92, 1985. Seite 452
↑ James D.Harper, Another simple proof of
1
+
1
2
2
+
1
3
2
+
⋯
=
π
2
6
{\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
, American Mathematical Monthly, Band 110, Nr. 6, 2003, S. 540–541
↑ Georg Hoever: Höhere Mathematik kompakt . Springer Spektrum, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-662-43994-4 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
![{\displaystyle [-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c0215b3d39f1ccb8768a392d7ab3e9af48661c0)
![{\displaystyle [0,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e2a912eda6ef1afe46a81b518fe9da64a832751)
![{\displaystyle \arcsin \colon [-1,1]\to \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16005d8f13fe22748f868c3b42f9103c161298c7)
![{\displaystyle \sin |_{\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61c44f77f1f62e69e6cfa4008dc70866a3be7206)
![{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c80933c3f838c832f393b2701d11fbf961a433e4)
![{\displaystyle \cos |_{[0,\pi ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21c2debc1e3cf07e8e689aa5b15c512aa843ca1e)
![{\displaystyle \arccos \colon [-1,1]\to [0,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea4c6551e2eb9568ea656354e031c39358fa5487)
![{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54381f086ac9ffe8306d413f813abcb616e95dee)
![{\displaystyle \operatorname {CBC} (x)={2x \choose x}={\frac {(2x)!}{(x!)^{2}}}={\frac {\Pi (2x)}{\Pi (x)^{2}}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\bigl [}{\bigl (}1+{\frac {x}{n}}{\bigr )}^{2}{\bigl (}1+{\frac {2x}{n}}{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96f6923fbb9bc0423bdb0a5e9bc3dd329d2e5c20)
![{\displaystyle y\in \left[0,{\pi }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6f788ef654230044a492dd40686fc6f393be8e1)
![{\displaystyle y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98937a3d0b8000c81a0eed570473405330b76605)
![{\displaystyle y\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae3c69f5704cb758503bfa093c66044205b89ae9)
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\int _{0}^{1}{\frac {4\,(y^{2}+1)}{\pi {\bigl [}(y^{2}+1)^{2}-4\,x^{2}y^{2}{\bigr ]}}}\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84312a498d142c6057b0fd1d5a02aebaa1f44ce4)
![{\displaystyle \arcsin(x)^{2}=\int _{0}^{1}{\frac {2}{y}}{\biggl [}\operatorname {artanh} {\bigl (}y{\bigr )}-\operatorname {artanh} {\biggl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}\,y}{\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}}{\biggr )}{\biggr ]}\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff264623dc4d4bdd9694797406979e697fc554bd)
