Vektorraum

Vektoraddition und Multiplikation mit Skalaren: Ein Vektor v (blau) wird zu einem anderen Vektor w addiert (rot, oben). Unten wird w um einen Faktor 2 gestreckt, das Ergebnis ist die Summe v + 2·w.

Ein Vektorraum oder linearer Raum ist eine algebraische Struktur, die in fast allen Zweigen der Mathematik verwendet wird. Vektorräume bilden den zentralen Untersuchungsgegenstand der linearen Algebra. Die Elemente eines Vektorraums heißen Vektoren. Sie können addiert oder mit Skalaren multipliziert werden, das Ergebnis ist wieder ein Vektor desselben Vektorraums. Entstanden ist der Begriff, indem diese Eigenschaften ausgehend von Vektoren des euklidischen Raumes abstrahiert wurden, so dass sie dann auf abstraktere Objekte wie Funktionen oder Matrizen übertragbar sind.

Die Skalare (Zahlen), mit denen man einen Vektor multiplizieren kann, stammen aus einem Körper. Deswegen ist ein Vektorraum immer ein Vektorraum „über“ einem bestimmten Körper. Man spricht beispielsweise von einem Vektorraum über den reellen Zahlen. In den meisten Anwendungen legt man die reellen oder die komplexen Zahlen als Körper zugrunde.

Eine Basis eines Vektorraums ist eine Menge von Vektoren, die es erlaubt, jeden Vektor durch eindeutige, endlich viele Koordinaten darzustellen. Die Anzahl der Basisvektoren wird Dimension des Vektorraums genannt. Sie ist unabhängig von der Wahl der Basis und kann auch unendlich sein. Die strukturellen Eigenschaften eines Vektorraums sind eindeutig durch den Körper, über dem er definiert ist, und seine Dimension bestimmt.

Eine Basis ermöglicht es, Rechnungen mit Vektoren über deren Koordinaten statt mit den Vektoren selbst auszuführen, was manche Anwendungen erleichtert.

Formale Definition

Ein Vektorraum über einem Körper $(K,+,\cdot )$ oder kurz K-Vektorraum ist eine additive abelsche Gruppe $(V,+)$, auf der zusätzlich eine Multiplikation mit einem Skalar aus $K$ erklärt ist:

${*}\colon K\times V\to V$

Diese Skalarmultiplikation muss dabei für alle $u,v\in V$ und $\alpha ,\beta \in K$ die folgenden Bedingungen erfüllen:

I:	$\alpha *(\beta *v)=(\alpha \cdot \beta )*v$
IIa:	$\alpha *(u+v)=\alpha *u+\alpha *v$
IIb:	$(\alpha +\beta )*v=\alpha *v+\beta *v$,
sowie die Neutralität der 1 (als Einselement) des Körpers $K$
III:	$1*v=v$

Anders ausgedrückt ist ein $K$-Vektorraum ein unitärer $K$-Linksmodul, dessen Grundring $K$ ein (kommutativer) Körper ist.

Anmerkungen

• „$(V,+)$ ist eine abelsche Gruppe“ bedeutet:
  • Für alle $u,v,w\in V$ gilt $(u+v)+w=u+(v+w)$ (Assoziativität)
  • Es gibt ein neutrales Element 0, so dass für alle $v\in V$ gilt: $0+v=v+0=v$
  • Zu jedem $v\in V$ gibt es ein inverses Element $-v\in V$, so dass $v+(-v)=0$
  • Für alle $u,v\in V$ gilt $u+v=v+u$ (Kommutativität)
• Die Addition der abelschen Gruppe $(V,+)$ heißt Vektoraddition, ihr neutrales Element Nullvektor.
• In Analogie zu den Axiomen eines Körpers werden die Vektorraumaxiome I und II häufig als Assoziativitäts-, beziehungsweise Distributivgesetze bezeichnet. Dabei ist jedoch zu beachten, dass bei I die Skalarmultiplikation assoziativ mit der Multiplikation in $K$ ist, und dass in IIb die Pluszeichen zwei verschiedene Additionen (links die in $K$ bzw. rechts jene in $V$) bezeichnen.
• Die zu Distributivgesetzen analogen Axiome IIa und IIb garantieren die Verträglichkeit von Vektoraddition und Skalarmultiplikation.
• In diesem Artikel wird die Skalarmultiplikation zur besseren Unterscheidung mit „$*$“ bezeichnet. Obwohl die Multiplikation im Körper $K$ und die Skalarmultiplikation nicht verwechselt werden dürfen, werden sie in der Praxis jedoch zumeist beide mit demselben Zeichen „$\cdot$“ bezeichnet. Oft lässt man das Multiplikationszeichen sogar ganz weg. Ähnlich wurden bereits oben die Addition in der abelschen Gruppe $V$ und die Addition im Körper $K$ durch dasselbe Symbol „$+$“ bezeichnet, obwohl sie streng genommen zu unterscheiden wären. Die Verwendung der gleichen Symbole macht andererseits die Vektorraumaxiome besonders suggestiv.

Alternative Definition

Ist $(V,+)$ eine abelsche Gruppe, so bildet die Menge $\operatorname {End} (V)$ der Endomorphismen von $V$ mit punktweiser Addition als Addition, der Komposition von Abbildungen als Multiplikation und der Identität als Einselement einen Ring. Operiert der Körper $K$ auf $V$, d. h. gibt es einen Ringhomomorphismus $\varphi \colon K\to \operatorname {End} (V)$ von Ringen mit Einselement, so macht dies $V$ zu einem $K$-Vektorraum.

Die Äquivalenz zu obenstehender Definition ergibt sich, wenn man $\alpha *v=\varphi (\alpha )(v)$ setzt.

Erste Eigenschaften

Für alle $\alpha \in K$ und $v,w\in V$ gelten folgende Aussagen:

• $(-\alpha )*v=-(\alpha *v)=\alpha *(-v)$.
• $\alpha *v=0_{V}\quad \Leftrightarrow \quad \alpha =0_{K}{\text{ oder }}v=0_{V}$.
• Die Gleichung $v+x=w$ ist für alle $v,w\in V$ eindeutig lösbar; die Lösung ist $x=w+(-v)$.

Beispiele

Euklidische Ebene

Ein anschaulicher Vektorraum ist die zweidimensionale Euklidische Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ (in rechtwinkligen kartesischen Koordinaten) mit den Pfeilklassen (Verschiebungen oder Translationen) als Vektoren und den reellen Zahlen als Skalaren.

${\vec {v}}=(2,3)$ ist die Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben,

${\vec {w}}=(3,-5)$ die Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach unten.

Die Summe zweier Verschiebungen ist wieder eine Verschiebung, und zwar diejenige Verschiebung, die man erhält, indem man die beiden Verschiebungen nacheinander ausführt:

${\vec {v}}+{\vec {w}}=(5,-2)$, d. h. die Verschiebung um 5 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach unten.

Der Nullvektor ${\vec {0}}=(0,0)$ entspricht der Verschiebung, die alle Punkte an ihrem Platz belässt, d. h. der identischen Abbildung.

Durch die Streckung der Verschiebung ${\vec {v}}$ mit einem Skalar $a=3$ aus der Menge der reellen Zahlen erhalten wir das Dreifache der Verschiebung:

$a*{\vec {v}}=3*(2,3)=(6,9)$.

Alles zu diesem Beispiel gesagte gilt auch in der reellen affinen Ebene.

Raum der linearen Funktionen

Ein weiteres Beispiel für einen Vektorraum ist der Raum der linearen (affinen) Funktionen auf den reellen Zahlen. Dies sind die Funktionen der Form

$f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;x\mapsto a\cdot x+b$

mit reellen Zahlen $a$ und $b$. Dies sind diejenigen Funktionen, deren Graph eine Gerade ist. Wählen wir beispielhaft zwei affine Funktionen

$f(x)=2x+3$, $g(x)=3x-5$,

so sehen wir, wie deren Summe wieder eine affine Funktion ergibt:

$f(x)+g(x)=2x+3+3x-5=(2+3)x+(3-5)=5x-2$

Der Nullvektor ist die konstante Funktion

$x\mapsto 0x+0=0,$

die alle reellen Zahlen auf die Null abbildet. Mit einem Skalar $a=3$ aus der Menge der reellen Zahlen ergibt die Skalarmultiplikation

$a*f(x)=3\cdot (2x+3)=(3\cdot 2)x+(3\cdot 3)=6x+9$.

Vektorraum der Polynome

Die Polynome mit Koeffizienten aus einem Körper bilden, mit der üblichen Addition und der Multiplikation mit einem Element des Körpers, einen unendlichdimensionalen Vektorraum. Für die Polynome, deren Grad durch ein $N\in \mathbb {N}$ nach oben beschränkt ist, hat der resultierende Vektorraum die Dimension $N+1$. Beispielsweise ist die Menge aller Polynome vom Grad kleiner gleich 4

$a+b\cdot x+c\cdot x^{2}+d\cdot x^{3}+e\cdot x^{4}$

ein Vektorraum der Dimension 5. Eine Basis bilden die Monome $\{1,\ x,\ x^{2},\ x^{3},\ x^{4}\}$.

Körpererweiterungen

Ist $L$ ein Oberkörper von $K$, so ist $L$ mit seiner Addition und der eingeschränkten Multiplikation $K\times L\rightarrow L$ als skalare Multiplikation ein $K$-Vektorraum. Die dazu nachzuweisenden Regeln ergeben sich unmittelbar aus den Körperaxiomen für $L$. Diese Beobachtung spielt eine wichtige Rolle in der Körpertheorie.

Beispielsweise ist $\mathbb {C}$ auf diese Weise ein zweidimensionaler $\mathbb {R}$-Vektorraum; eine Basis ist $\{1,i\}$. Ebenso ist $\mathbb {R}$ ein unendlichdimensionaler $\mathbb {Q}$-Vektorraum, bei dem eine Basis jedoch nicht konkret angegeben werden kann.

Erweiterung des Skalarenkörpers

Ist $V$ ein Vektorraum über $K$ und ist $L$ ein Oberkörper von $K$, so kann man das Tensorprodukt $L\otimes _{K}V$ bilden. Letzteres ist ein Vektorraum über $L$, wie man leicht bestätigt. Im Spezialfall $K=\mathbb {R}$ und $L=\mathbb {C}$ geht man durch diese Konstruktion von einem reellen Vektorraum zu einem komplexen Vektorraum über, diesen Vorgang nennt man Komplexifizierung.

Lineare Abbildungen

→ Hauptartikel: Lineare Abbildung

Lineare Abbildungen sind die Funktionen zwischen zwei Vektorräumen, die in einem gewissen Sinne die Struktur des Vektorraums erhalten, sie sind die Homomorphismen zwischen Vektorräumen im Sinne der universellen Algebra. Eine Funktion $f:U\to V$ zwischen zwei Vektorräumen $U$ und $V$ über demselben Körper $K$ heißt genau dann linear, wenn für alle $a,b\in U$ und alle $\lambda \in K$

• $f(a+b)=f(a)+f(b)$
• $f(\lambda a)=\lambda f(a)$

erfüllt sind. Das heißt $f$ ist in einem gewissen Sinne kompatibel mit den Strukturen, die den Vektorraum konstituieren, nämlich der Addition und der Skalarmultiplikation. Zwei Vektorräume heißen isomorph, wenn es eine lineare Abbildung zwischen ihnen gibt, die bijektiv ist, also eine Umkehrfunktion besitzt. Diese Umkehrfunktion ist dann automatisch ebenfalls linear. Isomorphe Vektorräume unterscheiden sich nicht bezüglich ihrer Struktur als Vektorraum.

Basis eines Vektorraums

→ Hauptartikel: Vektorraumbasis

Für endlich viele $v_{1},\dotsc ,v_{n}\in V$ und $\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{n}\in K$ bezeichnet man die Summe

$s=\alpha _{1}v_{1}+\dotsb +\alpha _{n}v_{n}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i}$

als Linearkombination der Vektoren $v_{1},\dotsc ,v_{n}$. Dabei ist $s$ selbst wieder ein Vektor aus dem Vektorraum $V$.

Ist $S$ eine Teilmenge von $V$, so wird die Menge aller Linearkombinationen von Vektoren aus $S$ die lineare Hülle von $S$ genannt. Sie ist ein Untervektorraum von $V$, und zwar der kleinste Untervektorraum, der $S$ enthält.

Eine Teilmenge $S$ eines Vektorraums $V$ heißt linear abhängig, wenn sich der Nullvektor auf nicht-triviale Weise als eine Linearkombination von Vektoren $v_{1},\dotsc ,v_{n}\in S$ ausdrücken lässt. „Nicht-trivial“ bedeutet, dass mindestens ein Skalar (ein Koeffizient der Linearkombination) von null verschieden ist. Andernfalls heißt $S$ linear unabhängig.

Eine Teilmenge $B$ eines Vektorraums $V$ ist eine Basis von $V$, wenn $B$ linear unabhängig ist und die lineare Hülle von $B$ der ganze Vektorraum ist.

Unter Voraussetzung des Auswahlaxioms lässt sich mittels des Lemmas von Zorn beweisen, dass jeder Vektorraum eine Basis hat (er ist frei), wobei diese Aussage im Rahmen von Zermelo Fraenkel äquivalent zum Auswahlaxiom ist. Dies hat weitreichende Konsequenzen für die Struktur eines jeden Vektorraums: Zunächst einmal lässt sich zeigen, dass je zwei Basen eines Vektorraums dieselbe Kardinalität haben, sodass die Kardinalität einer beliebigen Basis eines Vektorraums eine eindeutige Kardinalzahl ist, die man als Dimension des Vektorraums bezeichnet. Zwei Vektorräume über demselben Körper sind nun genau dann isomorph, wenn sie dieselbe Dimension haben, denn aufgrund der Gleichmächtigkeit zweier Basen von zwei Vektorräumen existiert eine Bijektion zwischen ihnen. Diese lässt sich leicht zu einer linearen über allen Linearkombinationen von Basiselementen also den ganzen Räumen fortsetzen, und man erhält einen Isomorphismus. Ebenso lässt sich zeigen, dass beliebige lineare Abbildungen durch die Bilder von Elementen einer Basis festgelegt sind. Dies ermöglicht die Darstellung jedweder linearer Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen als Matrix. Dies lässt sich auf unendlichdimensionale Vektorräume übertragen, wobei jedoch sichergestellt werden muss, dass jede verallgemeinerte „Spalte“ nur endlich viele von Null verschiedene Einträge enthält, damit jeder Basisvektor auf eine Linearkombinationen von Basisvektoren im Zielraum abgebildet wird.

Mittels des Basisbegriffs hat sich das Problem, ein Skelett in der Kategorie aller Vektorräume über einem gegebenen Körper zu finden, darauf reduziert, ein Skelett in der Kategorie der Mengen zu finden, das durch die Klasse der Kardinalzahlen gegeben ist. Ein jeder $d$-dimensionale Vektorraum lässt sich auch als die $d$-fache direkte Summe des zugrunde liegenden Körpers auffassen. Die direkten Summen eines Körpers bilden also ein Skelett der Kategorie der Vektorräume über ihm.

Die Linearfaktoren der Darstellung eines Vektors in den Basisvektoren heißen Koordinaten des Vektors bezüglich der Basis und sind Elemente des zugrunde liegenden Körpers. Erst durch Einführung einer Basis werden jedem Vektor seine Koordinaten bezüglich der gewählten Basis zugeordnet. Dadurch wird das Rechnen erleichtert, insbesondere wenn man statt Vektoren in „abstrakten” Vektorräumen ihre zugeordneten „anschaulichen” Koordinatenvektoren verwenden kann.

Untervektorraum

Ein Untervektorraum (auch linearer Unterraum) ist eine Teilmenge eines Vektorraums, die selbst wieder ein Vektorraum über demselben Körper ist. Dabei werden die Vektorraumoperationen auf den Untervektorraum vererbt.

Jeder Vektorraum enthält zwei triviale Untervektorräume, nämlich zum einen sich selbst, zum anderen den kleinsten Untervektorraum $\{0\}$, der nur aus dem Nullvektor besteht.

Kriterium für die Unterraumeigenschaft

Ist $V$ ein $K$-Vektorraum, so bildet eine Teilmenge $U\subseteq V$ genau dann einen Untervektorraum, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

• $U\neq \emptyset$
• für alle $x,y\in U$ gilt $x+y\in U$

  ($U$ ist abgeschlossen bezüglich der Vektoraddition)

• für alle $x\in U$ und $\alpha \in K$ gilt $\alpha *x\in U$

  ($U$ ist abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation)

Beweis der Gültigkeit des Unterraumkriteriums

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $U\subseteq V$ eine Teilmenge.

"$\Rightarrow$" Ist $U$ mit den vererbten Operationen ebenfalls ein $K$-Vektorraum, so gelten auch die drei Teilkriterien: Die ersten beiden ergeben sich, weil $(U,+)$ eine Untergruppe von $(V,+)$ sein muss, das letzte, weil die Einschränkung von $*$ die Skalarmultiplikation für $U$ ist.

"$\Leftarrow$" Sind umgekehrt die drei Teilkriterien erfüllt, so ist für jedes $u\in U$ wegen des dritten Kriteriums stets auch das additive Inverse $-u=(-1)*u\in U$, so dass zusammen mit den ersten beiden folgt, dass $(U,+)$ eine Untergruppe von $(V,+)$, insb. also eine abelsche Gruppe ist. Da obendrein $*$ als Abbildung $*\colon K\times U\to U$ aufgefasst werden kann und sich Assoziativität, Distributivgesetze und die Neutralität der 1 direkt von $V$ übertragen, folgt, dass $U$ mit diesen Verknüpfungen ein $K$-Vektorraum ist.

Beispiel

Es sei $V=\mathbb {R} ^{2}$ der Vektorraum der Paare reeller Zahlen. Ein Untervektorraum ist z. B. $M=\mathbb {R} \times \left\{0\right\}$. Anschaulich ist $V$ eine Ebene, und $M$ ist die mit der x-Achse zusammenfallende Gerade. Jede andere durch den Ursprung verlaufende Gerade ist ebenfalls ein Unterraum.

Bezug zu linearen Abbildungen

Jeder Unterraum ist Bild eines anderen Vektorraums unter einer linearen Abbildung in den Raum und sowie Kern einer linearen Abbildung in einen anderen Vektorraum. Aus einem Vektorraum und einem Untervektorraum kann man durch Bildung von Äquivalenzklassen einen weiteren Vektorraum, den Quotientenraum oder Faktorraum, bilden, was maßgeblich mit der Eigenschaft eines Unterraums zusammenhängt, ein Kern zu sein, siehe auch Homomorphiesatz.

Vektorräume mit zusätzlicher Struktur

In vielen Anwendungsbereichen in der Mathematik, etwa der Geometrie oder Analysis, ist die Struktur eines Vektorraums nicht hinreichend, und man betrachtet daher Vektorräume mit bestimmten zusätzlich auf ihnen definierten Strukturen, die mit der Vektorraumstruktur in gewissen Sinnen kompatibel sind. Beispiele:

Euklidischer Vektorraum

Als euklidischer Vektorraum wird (meist) ein reeller Vektorraum mit Skalarprodukt bezeichnet. Er ist ein Spezialfall eines Prähilbertraums (siehe dort für abweichende Nomenklatur).

Normierter Raum

Ein normierter Raum ist ein Vektorraum, in dem Vektoren eine Länge (Norm) besitzen. Diese ist eine nichtnegative reelle Zahl und erfüllt die Dreiecksungleichung.

Prähilbertraum

Ein Prähilbertraum ist ein reeller oder komplexer Vektorraum, auf dem ein inneres Produkt (Skalarprodukt bzw. positiv definite hermitesche Form) definiert ist. In einem solchen Raum kann man Begriffe wie Länge und Winkel definieren.

Topologischer Vektorraum

Ein topologischer Vektorraum über einem topologischen Körper $K$ ist ein topologischer Raum $V$ mit einer kompatiblen $K$-Vektorraumstruktur, d. h. die Vektorraumoperationen ${+}\colon V\times V\to V$ und ${*}\colon K\times V\to V$ sind stetig.

Unitärer Vektorraum

Als unitärer Vektorraum wird (meist) ein komplexer Vektorraum mit positiv definiter hermitescher Form ("Skalarprodukt") bezeichnet. Er ist ein Spezialfall des Prähilbertraums.

Bei all diesen Beispielen handelt es sich um topologische Vektorräume. In topologischen Vektorräumen sind die analytischen Konzepte der Konvergenz, der gleichmäßigen Konvergenz und der Vollständigkeit anwendbar. Ein vollständiger normierter Vektorraum heißt Banachraum, ein vollständiger Prähilbertraum heißt Hilbertraum.

Verallgemeinerungen

• Wenn man an Stelle eines Körpers $K$ einen kommutativen Ring zugrunde legt, erhält man einen Modul. Moduln sind eine gemeinsame Verallgemeinerung der Begriffe abelsche Gruppe (für den Ring der ganzen Zahlen) und Vektorraum (für Körper).

• Einige Autoren verzichten in der Definition von Körpern auf das Kommutativgesetz der Multiplikation und nennen Moduln über Schiefkörpern ebenfalls Vektorräume. Folgt man dieser Vorgehensweise, so müssen $K$-Linksvektorräume und $K$-Rechtsvektorräume unterschieden werden, wenn der Schiefkörper nicht kommutativ ist. Die oben gegebene Definition des Vektorraums ergibt dabei einen $K$-Linksvektorraum, da die Skalare im Produkt auf der linken Seite stehen. $K$-Rechtsvektorräume werden analog mit der spiegelbildlich erklärten Skalarmultiplikation definiert. Viele fundamentale Ergebnisse gelten völlig analog auch für Vektorräume über Schiefkörpern, etwa die Existenz einer Basis.

• Wenn man an Stelle eines Körpers $K$ einen Halbkörper zugrunde legt, erhält man einen Halbvektorraum.

• Eine andere Verallgemeinerung von Vektorräumen sind Vektorbündel; sie bestehen aus je einem Vektorraum für jeden Punkt eines topologischen Basisraumes.

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0.

Weblinks

• Vektorraumtheorie (eLearning-Angebot mit Übungsaufgaben)