Zeta-Verteilung

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Zeta-Verteilung mit verschiedenen Parameterwerten von s

Die Zeta-Verteilung (auch Zipf-Verteilung nach George Kingsley Zipf) ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die den natürlichen Zahlen x=1,2,3,... die Wahrscheinlichkeiten

P(X=x)=\frac{x^{-s}}{\zeta(s)}

zuordnet, wobei s>1 ein Parameter und ζ(s) die riemannsche Zetafunktion ist.


Ihr k-tes Moment existiert, falls s > k + 1 und liegt in diesem Fall bei

E(X^k) = \frac{\zeta(s - k)}{\zeta(s)}.

Es kann gezeigt werden, dass die Anzahl unterschiedlicher Primfaktoren einer Zeta-verteilten Zufallsvariable wiederum unabhängige Zufallsvariablen sind. Dies ist bei keiner anderen Wahrscheinlichkeitsverteilung der Fall.

Zur Motivation dieser Verteilung siehe Zipfsches Gesetz.

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