Regelungstechnik

Regelung der Drehzahl einer Dampfmaschine (nicht gezeichnet) mit einem Fliehkraftregler
rechts: Stellglied (Drosselklappe in der Dampfzuleitung)
links: Messglied und Regler als Einheit (Fliehkraftpendel auf einer Drehzahl-Messwelle)
Mitte: Gegenkopplung (Hebel und Stange) (kleinere Drehzahl vergrößert die Drosselöffnung)
Sollwert-Veränderung durch Längenänderung der Stange

Regelungstechnik ist ein Teilgebiet der Automatisierungstechnik und eine Ingenieurwissenschaft, die die in der Technik vorkommenden Regelungsvorgänge behandelt. Ein technischer Regelvorgang ist eine gezielte Beeinflussung von physikalischen, chemischen, oder anderen Größen in technischen Systemen. Die Größen sind entweder möglichst konstant zu halten (Festwertregelung) oder so zu beeinflussen, dass sie einer vorgegebenen zeitlichen Änderung folgen (Folgeregelung).

Bekannte Anwendungen im Haushalt sind die Konstanttemperaturregelung der Raumluft (Heizungsregelung), des Bügeleisens oder der Luft im Kühlschrank. Mit dem Tempomat wird die Fahrgeschwindigkeit im Kraftfahrzeug konstant gehalten. Eine Folgeregelung ist im Allgemeinen technisch anspruchsvoller, beispielsweise die Kursregelung mit einem Autopilot in der Schifffahrt, in der Luftfahrt oder in der Raumfahrt.

Regelung bedeutet Messen der zu beeinflussenden Größe (Regelgröße) und ein kontinuierlicher Vergleich mit dem gewünschten Wert. Der Regler errechnet entsprechend der Abweichung eine Stellgröße, die so auf die Regelgröße einwirkt, dass sie die Abweichung minimiert und die Regelgröße ein gewünschtes Zeitverhalten annimmt.

Im Gegensatz zur Regelung fehlt bei der Steuerung die Rückkopplung der Ausgangsgröße auf den Eingang. Wenn aber bei der Kommunikation zwischen Mensch und Maschine auf Grund einer angezeigten Ausgangsgröße die Eingangsgröße verändert wird, so findet eine Regelung mit dem Menschen als Regler statt.

Ein gegebener dynamischer Prozess (Regelstrecke) lässt sich durch eine experimentelle Systemanalyse mittels geeigneter Testsignale und Messung der Systemantwort näherungsweise als mathematisches Modell ermitteln. Unter Beachtung der Regelkreis-Entwurfsstrategien erfolgt gegebenenfalls die Regelkreissimulation am Computer und nachfolgend bei der Inbetriebnahme der Praxistest des Regelkreises mit der Regler-Optimierung.

Der vorliegende Artikel ist eine Zusammenfassung der wichtigsten Grundlagen der Systemdefinitionen, Entwurfsstrategien, Stabilitätseigenschaften, Systemanalysen und Berechnungsmethoden der Regelungstechnik.

Geschichte der Regelungstechnik

Tabelle der historischen Ereignisse der Regelungstechnik
Jahr	Forscher Mathematiker	Historische Ereignisse
300 v. C	Ktesibios aus Alexandria Philon von Byzanz	Wasserkanäle, Kombinierte Saug- und Druckpumpe, Wasserorgel, Wasserstandsregler
1. Jahr- hundert	Heron von Alexandria	Heronsbrunnen Füllstandsregelung
ca. 1770	Leonhard Euler	Differential- und Integralrechnung u. a. mit Differenzengleichungen, Wegbereiter der numerischen Berechnung, Eulersches Polygonzugverfahren, Euler-Gleichungen.
ca. 1780	Pierre-Simon Laplace	Systembeschreibungen mit Hilfe der Laplace-Transformation, Laplace-Gleichung, Laplace-Operator.
1782	James Watt	Beginn der Industriellen Revolution, Konstruktion einer Dampfmaschine
1788	James Watt	Fliehkraftregler für Windmühlen und Dampfmaschinen
1868	James Clerk Maxwell	Systembeschreibung verschiedener Regler durch Differentialgleichungen
1895	Adolf Hurwitz	Stabilitätskriterium in Abhängigkeit des Nennerpolynoms, Hurwitzpolynom
1922	Nicolas Minorsky	Schiffsteuerung mit PID-Regelung bei der US-Navy
1932	Harry Nyquist	Stabilitätskriterium basierend auf der Ortskurve des Frequenzgangs
1938	Hendrik Wade Bode	Frequenzganganalyse (Bodediagramm)
1942	Ziegler / Nichols	Einstellregeln für P-, PI- und PID-Regler
1942	Norbert Wiener	Modelle der Prädiktion (Vorhersage), Modelle der Flugbahn von Flugzeugen; Automatische Zielsteuerung.
1944	Hermann Schmidt	Erster Lehrstuhl für Regelungstechnik in Deutschland an der TH Berlin-Charlottenburg
1947	Norbert Wiener	Schöpfer des Begriffs Kybernetik. Unter anderem wird hier der Rückkoppelungsmechanismus in technischen und biologischen Systemen untersucht. Ein weiterer grundlegender Begriff hierzu ist Kommunikationstheorie.
1948	Walter Richard Evans	Wurzelortskurve
1955	Heinrich Kindler	Erstes Institut für Regelungstechnik im deutschsprachigen Raum an der TH Dresden
1957	Winfried Oppelt	Erster Lehrstuhl für Regelungstechnik in der Bundesrepublik Deutschland an der TH Darmstadt
1960	Rudolf Kálmán	Kalman-Filter, Zustandsraumdarstellung
1962	Richard Bellman	Optimalitätsprinzip von Bellman Dynamische Programmierung, Bellman-Algorithmus
1965	Lotfi Zadeh	Fuzzy-Set-Theorie als unscharfe Mengenlehre entwickelt (University of California, Berkeley). In Japan als Fuzzy-Logik für Fuzzy-Regler (Controller) seit 1980er Jahren in industriellen Prozessen eingesetzt, in Europa seit den 1990er Jahren.
1974	Günther Schmidt	Erster deutscher Universalregler auf Mikroprozessor-Basis (Digitalregler) an der TU München (gemeinsam mit H. Birk)

Historisch ausgeführte Regelungen

Das Prinzip der Regelung wurde schon von Mechanikern in der Antike angewendet. Nachgewiesen sind Einrichtungen zur Regelung von Flüssigkeits-Niveaus, die Ktesibios aus Alexandria und sein Schüler Philon von Byzanz erfanden. Ktesibios regelte den Wasserstand in einem Behälter, aus dem eine Einlaufwasseruhr mit Wasser versorgt wurde. Der Wasserzufluss von konstanter Höhe herab ist gleichmäßig und erhöht die Genauigkeit der Uhr. Von Phylon ist eine Öllampe bekannt geworden (siehe Abbildung), in der das Öl automatisch auf gleichem Niveau gehalten wurde. Das konstante Ölniveau verbesserte den gleichmäßigen Brand der Flamme, ein Luxus, auf den man verzichten könnte und bei heutigen Öllampen auch verzichtet. Der Aufwand war aber klein, obwohl es sich um eine vollwertige Regelung handelte.

Danach wurde das Prinzip der Regelung erst wieder in der Neuzeit aufgegriffen. Im 17.  Jahrhundert entstand die erste Temperaturregelung, die der Niederländer Cornelis Jacobszoon Drebbel in einem Brutkasten für Hühnereier entwarf. 1681 erfand der Franzose Denis Papin eine einfache Druckregelung für einen Dampfkochtopf durch Einbau eines Überdruckventils.

Der erste in Serie hergestellte Regler war der Fliehkraftregler, dessen Erfindung James Watt fälschlicherweise zugeschrieben wird (siehe Abbildung, oben). Der Fliehkraftregler wurde vorher schon an Windmühlen verwendet. Watt hat die 1769 von Thomas Newcomen erfundene Dampfmaschine im Jahr 1786 mit einem solchen Regler ausgerüstet. Für die neue Dampftechnik kam auch die aus der Antike bekannte Wasserstandsregelung mit Schwimmer durch den Russen Ivan Polzunov zur Anwendung. Der Schwimmer beeinflusste über ein Gestänge das Wasser-Einlassventil des Dampfkessels.

Die Technik der selbsttätigen Regelung blieb lange Zeit auf die Anwendung in Kraftmaschinen beschränkt. Eine erste Ausweitung erstreckte sich auf die Regelung von Größen in verfahrenstechnischen Prozessen, vor allem von Temperaturen, Drücken und Massenströmen. Nach dem Zweiten Weltkrieg entstanden die vereinheitlichten, vielfach einstellbaren elektrischen, hydraulischen und pneumatischen PID-Regler. Die pneumatischen PID-Regler werden in der Verfahrenstechnik bevorzugt, da von ihrer Hilfsenergiequelle Luftdruck keine Brandgefahr ausgeht.

In der jüngsten Vergangenheit hat sich die Anwendung der Regelungstechnik auf alle Gebiete der Technik ausgedehnt. Anstöße gaben die Ausweitung der Automatisierung, zum Beispiel mit Hilfe von Robotern, und die neue Weltraumtechnik. Die Regelungstechnik ist inzwischen eine Symbiose mit der Informationstechnik (sowohl Hard- als auch Software) eingegangen.

Definition Steuerung und Regelung

Naturphänomen Regelung

Das Regelungsprinzip ist keine Erfindung des Menschen, sondern ein Naturphänomen.

• Beispiel Erdklima

Erdgeschichtlich gesehen, ist die globale Luft-Durchschnittstemperatur in Erdbodennähe (Meereshöhe) seit vielen Millionen Jahren relativ konstant. Das Regelungsprinzip für den schmalen Temperaturbereich als Klima-Voraussetzung des höher entwickelten biologischen Lebens kommt in der Natur zur Anwendung, wenn z.  B. durch eine steigende Lufttemperatur die globale Wasser-Oberflächentemperatur der Weltmeere steigt und durch Wasserdampf mit Wolkenbildung die Sonneneinstrahlung reduziert. Dabei greifen zahlreiche langfristige und kurzfristige Störgrößen zur Klimaveränderung ein:

• langfristige Störgrößen:

Abstand Erde-Mond vergrößert sich (Gezeitenänderung), Meeresströme ändern ihre Richtung, Erdkontinentalplatten wandern (Kontinentaldrift), Erdmagnet-Pole wandern.

• Erdgeschichtlich kurzfristige Störgrößen:

Starker Vulkanismus führt zur Abkühlung, große Meteoriteneinschläge führen zu Abkühlung oder im Extremfall zur Erdoberflächenverbrennung, Perioden geringer Sonnenaktivitäten (Sonnenflecken) bewirken eine leichte Abkühlungen (Kleine Eiszeit umstritten!).

Biologisch: Algenwachstum und Eisendüngung (als Kohlenstoffbindung zur Kohlendioxid-Reduzierung: umstritten!), Abholzung der Wälder, Verbrennen fossiler Brennstoffe und erhöhter Methanausstoß (Siehe Alkane) führen zum Treibhauseffekt.

• Beispiel: Biologische Systeme und Geologie

Die Gaia-Hypothese wurde von der Mikrobiologin Lynn Margulis und dem Chemiker, Biophysiker und Mediziner James Lovelock Mitte der 1960er-Jahre entwickelt. Sie besagt, dass die Erde und ihre gesamte Biosphäre wie ein Lebewesen betrachtet werden kann.

• Beispiel: 'Regelungsvorgänge der lebenden Natur

Bei Tieren als Warmblüter: geregelte Körpertemperatur und geregelter Blutdruck, Pupillenöffnung reagiert auf Lichteinfall, aufrechter Gang bei Zweibeinern.

Das Hase-Fuchs-Population-Modell (siehe Räuber-Beute-Beziehung und Lotka-Volterra-Regeln) als Beispiel für das biologisches Gleichgewicht regelt eine Führungsgröße als Funktion der unterschiedlichen Nahrungsangebote auf eine annähernd feste Hase-Fuchs-Verhältniszahl.

Störgrößen: veränderte Geländeeigenschaften, Klima, Krankheit, Mensch.

Steuerung

Bei der Steuerung eines Prozesses liegt die Ausgangsgröße y(t) der Steuerstrecke als Folge der Eingangsgröße u(t) (Stellgröße) in einer offenen Wirkungsstrecke. Wenn keine fortlaufende Rückführung der Prozess-Ausgangsgröße y(t) auf die Prozess-Eingangsgröße u(t) durchgeführt wird, handelt es sich um eine Steuerung.

Greifen keine Störgrößen d_i(t) die Steuerstrecke an, arbeitet eine Steuerung bei gut bekannter stabiler Strecke problemlos. Sind die Störungen messbar, können sie durch geeignete Maßnahmen kompensiert werden. Beispielsweise ist die Energiezufuhr für eine Heizungseinrichtung, bei der die Führungsgröße u(t) in Abhängigkeit des Wertes der Außentemperatur wirkt und damit den Raum aufheizt, eine Steuerung. Wird ein Fenster des Raumes zur kalten äußeren Umgebung geöffnet, wirkt eine Störgrösse d(t), wodurch die Rauminnentemperatur sinkt.

Prinzip einer Steuerung mit Kompensation einer Störgröße

Definition Steuerung nach DIN ICE 60050-351

Das Steuern, die Steuerung, ist ein Vorgang in einem System, bei dem eine oder mehrere Größen als Eingangsgrößen, andere als Ausgangsgrößen auf Grund der dem System eigentümlichen Gesetzmäßigkeiten beeinflussen. Kennzeichen für das Steuern ist der offene Wirkungsweg, oder ein geschlossener Wirkungsweg, bei dem durch die Eingangsgrößen beeinflusste Ausgangsgröße nicht fortlaufend und nicht wieder über dieselben Eingangsgrößen auf sich selbst wirken.

Vorteile der Prozess-Steuerung

• Die Wirkungsabläufe sind leicht überschaubar.
• Bei Auftreten einer Störung kann manuell auf den Prozess eingewirkt werden.
• Es können kein instabiles Verhalten und keine schädigenden überhöhten Amplituden der Steuergröße durch falsch angepassten Regler auftreten.
• Eine besondere Messeinrichtung für eine Rückmeldung der Steuergröße y(t) ist nicht erforderlich.

Nachteile der Prozess-Steuerung

• Nur bekannte messbare Störungen können durch geeignete Maßnahmen kompensiert werden.
• Die Steuerstrecke muss sehr gut bekannt sein, wenn eine Störungskompensation in gewünschter Weise wirksam sein soll.
• Es erfolgt keine Rückmeldung, ob die Führungsgröße u(t) durch die Ausgangsgröße y(t) erreicht wurde.
• Es besteht keine Möglichkeit, eine instabile Strecke zu stabilisieren.

Regelung

Im Gegensatz zu einer Steuerung eines Prozesses wird der tatsächliche Wert des Ausgangs der Regelstrecke, die Regelgröße, fortlaufend über einen Regler mit Soll-Istwert-Vergleich auf den Eingang der Regelstrecke zurückgeführt. Das Vergleichsergebnis, die Regeldifferenz, nähert sich dabei trotz unbekannter auf die Regelstrecke einwirkender Störungen einem von den Eigenschaften des verwendeten Reglers abhängigen Minimum.

Entscheidendes Merkmal des Regelkreises ist die negative Rückkopplung (Gegenkopplung) der Regelgröße auf den Eingang des Reglers. Die positive Regeldifferenz e(t) ist die Differenz zwischen der Führungsgröße w(t) und dem Istwert y(t). Sie wird von dem Regler in einen Stellwert u(t) berechnet, der über die Regelstrecke die Regelgröße y(t), also den Istwert der Regelgröße, beeinflusst. Dadurch nähert sich entsprechend dem Zeitverhalten der Regelstrecke und des Reglers die Regelgröße der Führungsgröße an.

Es ist Aufgabe des Reglers, das Zeitverhalten der Regelgröße bezüglich des statischen und dynamischen Verhaltens gemäß vorgegebener Anforderungen festzulegen. Zur Erfüllung widersprechender Anforderungen wie gutes Führungs- und Störverhalten sind gegebenenfalls aufwändigere Regelkreisstrukturen erforderlich.

Vorteile der Regelung:

• Auftretende bekannte und unbekannte nicht messbare Störungen werden eliminiert.
• Eine größere Verstärkung kann die Regelstrecke schneller machen, solange keine Stellgrößenbegrenzungen und keine Instabilitäten auftreten.
• Für die Systemanalyse eines Regelkreises sind auch angenäherte Modelle der Regelstrecke ausreichend.
• Monoton instabile Regelstrecken können durch Einbindung in einen Regelkreis stabilisiert werden.

Nachteile der Regelung:

• Der Regelkreis kann durch ungewollte, z. B. durch Alterung und Verschleiß bedingte Parameteränderungen instabil werden.
• Genaue und schnelle Messungen der Regelgröße können kostenintensiv sein.
• Heuristische Optimierungsverfahren wie "Versuch und Irrtum" reichen bei anspruchsvollen Regelungen nicht aus. Qualifizierte Fachleute sind erforderlich.

Normen der Regelungstechnik

Die DIN 19226 für die Definition regelungstechnischer Begriffe ist nicht mehr gültig.

Die Norm IEC 60050-351 Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch – Teil 351: Leittechnik legt Grundbegriffe der Leittechnik fest, unter anderen auch Prozess und Leiten. Sie ersetzt in Deutschland als DIN-Norm DIN IEC 60050-351 und die DIN V 19222:2001-09.

Nach DIN ICE 60050-351 lautet der Begriff für die Regelung wie folgt:

„Vorgang, bei dem fortlaufend eine variable Größe, die Regelgröße erfasst, mit einer anderen variablen Größe, der Führungsgröße, verglichen und im Sinne einer Angleichung an die Führungsgröße beeinflusst wird. Kennzeichen für das Regeln ist der geschlossene Wirkungsablauf, bei dem die Regelgröße im Wirkungsweg des Regelkreises fortlaufend sich selbst beeinflusst.“

Grundstruktur des Regelkreises

Blockschaltbild eines erweiterten Standardregelkreises.

Die Regelgröße y wird mit der Führungsgröße (Sollwert) w verglichen. Die Regelabweichung e = w – y_M wird dem Regler zugeführt, der daraus entsprechend der gewünschten Dynamik des Regelkreises eine Stellgröße u bildet. Das Stellglied ist meistens Bestandteil des Reglers, in Einzelfällen kann es ein separates Gerät bedeuten. Die Störgröße d wirkt meistens auf den Ausgang der Regelstrecke, sie kann aber auch auf verschiedene Teile der Regelstrecke Einfluss nehmen. Das Messglied in der Rückführung kann ein Zeitverhalten haben, das bei schnellen Regelstrecken zu berücksichtigen ist.

Für die gewollte Minimierung der Regelabweichung hängt die Polarität der Regelabweichung nicht nur von der Führungsgröße und den Störgrößen ab, sondern auch von der Wirkungsrichtung der Regelstrecke.

Eine positive Regelabweichung führt über die Verstärkung des Reglers nur dann zu einer positiven Zunahme der Regelgröße, wenn die Regelstrecke zur Reduzierung der Regelabweichung einen positiven Stellwert benötigt.

Handelt es sich bei einer Regelstrecke z.  B. um eine Heizung, so führt ein positiver Stellwert zu einer steigenden Temperatur.

Handelt es sich bei der Regelstrecke z.  B. um ein Kühlaggregat, so führt ein positiver Stellwert zu einer fallenden Temperatur. Ein solcher Fall ist in einem Blockschaltbild des Regelkreises durch eine Vorzeichenumkehr der Stellgröße zu kennzeichnen.

Aufgabe des Reglers

Die Aufgabe des Reglers besteht gewöhnlich darin, die Regelgröße der Führungsgröße möglichst gut anzunähern und den Einfluss von Störgrößen zu minimieren.

Eine der Regelstrecke nicht angepasste zu hohe Kreisverstärkung führt bei Regelstrecken mit Verzögerungsgliedern ab 3. Ordnung oder gar mit Totzeitverhalten zur oszillatorischen Instabilität. Bedingt durch das Zeitverhalten der Regelstrecke wird über den Soll-Istwert-Vergleich dem Regler eine verspätete Regeldifferenz zugeführt. Reduziert sich diese nacheilende Phasenverschiebung der Regelgröße des offenen Regelkreises um einen Wert kleiner als -180°, ergibt sich am Soll-Istwert-Vergleich anstelle einer Gegenkopplung eine Mitkopplung und der geschlossene Regelkreis wird bei einer Kreisverstärkung > 1 instabil.

Die Führungsgröße w(t) kann als fester Sollwert, als programmgesteuerte Sollwertvorgabe oder als kontinuierliches, zeitabhängiges Eingangssignal mit besonderen Folgeeigenschaften für die Regelgröße ausgelegt sein.

Typische Regelkreis-Entwurfsstrategie

Sie bezieht sich bei linearen Systemen durch differenziell wirkende Teilsysteme des Reglers auf die Reduzierung des Zeitverhaltens der Regelstrecke. Je geringer die Zeitverzögerungen der Regelstrecke sind, umso höher kann die Kreisverstärkung gewählt werden.

Eine hohe Kreisverstärkung macht den Regelkreis schnell, kann aber selten realisiert werden, weil die Stellgröße wegen Energiemangel oder natürlicher Anschläge nicht unbegrenzt wachsen kann. Eine geringere P-Verstärkung in Verbindung mit einer integral wirkenden Komponente des Reglers machen den Regelkreis für alle statischen Einflüsse zwar genauer, aber auch langsamer.

Das bei Regelstrecken höherer Ordnung unvermeidliche periodisch gedämpfte Einschwingverhalten der Regelgröße - als Funktion der steigenden Kreisverstärkung - wird durch den Begriff der Regelgüte definiert.

Hammersteinmodell und Darstellung des nichtlinearen Regelkreises mit einem nichtlinearen Regler.

Regelkreis-Entwurfsstrategie bei gemischten linearen und nichtlinearen Systemen

Die Entwurfsstrategie bei gemischten linearen und nichtlinearen Systemen bezieht sich auf Modelle wie z.  B. das Hammerstein-Modell, bei dem eine statische Nichtlinearität in Verbindung mit einem dynamischen linearen System zusammen wirkt. Das Verhalten unstetiger nichtlinearer statischer Regler in Verbindung mit linearen Regelstrecken kann mit dem Verfahren der harmonischen Balance behandelt werden.

Regler in Verbindung mit Regelkreisen mit nichtlinearen und linearen Komponenten lassen sich sinnvoll mit der numerischen Mathematik berechnen.

Zur Bestimmung des Systemverhaltens der Regelstrecke und des Reglers sind verschiedene Analysemethoden und mathematische Verfahren üblich. Die Grundlagen der mathematischen Behandlung der Regelungstechnik folgt in den nachstehenden Kapiteln.

Als einfaches, anschauliches Beispiel für einen Standardregelkreis soll hier die Regelung einer Raumtemperatur auf Grundlage einer Warmwasser-Zentralheizung und deren Gerätekomponenten dienen.

Beispiel der Heizungsregelung eines Gebäudes

Gasheizkessel, Ölheizkessel und Feststoffheizkessel gewinnen die Wärmeenergie aus der Verbrennung meist fossiler Brennstoffe und transportieren die Wärmeenergie über den Wärmeträger Wasser. Ein über eine Brennkammer erhitzter Heizkessel ist mit Hilfe einer Heizungspumpe einem Warm-Wasserkreislauf mit Heizkörpern angeschlossen.

Die Wärmeenergie des Heizkörpers erwärmt die umgebende Raumluft durch Konvektion und Strahlung. Die Wärmeenergie mit dem Temperaturgefälle zwischen Heizkörper und Raumtemperatur fließt je nach Größe der Außentemperatur über die Fenster, Türen, Raumwände und Außenisolierung an die Außenwitterung ab.

Kommerziell werden zahlreiche unterschiedliche Heizkörperformen mit unterschiedlichen Wärmeabgabeverhalten bezüglich Konvektion und Strahlung angeboten. Die bekannteste ältere Heizkörperart ist der Rippenheizkörper aus Gusseisen.

Dezentrale Raumtemperaturregelung

Die an das Gebäude abgegebene Wärmeenergie ist durch die Differenz der Vorlauf- und Rücklauftemperatur am Heizkessel gegeben. Alle Heizkörper der Räume eines Gebäudes erhalten die gleiche meist nach der Außentemperatur gesteuerte Vorlauftemperatur. Die Heizkörper sämtlicher Räume sind mit Thermostatventilen ausgestattet.

Ziel ist das selbsttätige Halten der Raumtemperatur als Regelgröße auf einem gewünschten Sollwert. Am Thermostatventil wird die gewünschte Solltemperatur des Raumes eingestellt. Das Ventil verändert den Warmwasserstrom durch den Heizkörper und damit die Raumtemperatur. Der Sensor des Thermostatventils misst die aktuelle Zimmertemperatur $\theta$ (Theta) und verändert die Ventilstellung.

In der vereinfachten grafischen Darstellung der Heizungsregelung eines Wohnhauses bedeutet die Funktion der Gegenkopplung, dass eine zu hohe Raumtemperatur über das Thermostat zum Schließen des Heizungsventils des Heizkörpers führt.

Das Thermostatventil ist eine Geräteeinheit und besteht aus dem Sensor, Regler und Aktor. Durch Drehen des Thermostates innerhalb des Bereiches einer Skala wird ein Temperatur-Sollwert vorgegeben. Die spezielle Flüssigkeit des Temperatursensors im Thermostatventil dehnt sich bei Erwärmung über die Temperatur der Raumluft aus und bildet den Istwert. Diese Dehnung wird direkt auf den Ventilhub als Stellgröße übertragen (Regler). Bei zu hoher Raumtemperatur verringert sich der Warmwasserstrom durch den Heizkörper und die Raumtemperatur sinkt.

Das Thermostatventil erlaubt keinen Eingriff auf den Regler und damit auf das zeitliche Regelverhalten. Durch die unmittelbare Nähe zwischen Messort und Heizkörper ergibt sich eine leicht zu regelnde Regelstrecke, so dass ein Thermostatventil problemlos bei verschiedenen Gebäuden für die Raumtemperaturregelung innerhalb eines Warmwasserkreislaufes eingesetzt werden kann.

Alternativ stehen auch geeichte Thermostate als eine kompakte Einheit in elektronischer Ausführung zur Verfügung, die auf das gleiche Ventil am Heizkörper wirken. Sie benötigen eine handelsübliche Batterie als Hilfsenergie.

Hauptregler für den Referenzwohnraum

Neben der dezentralen Temperatur-Regelung der Wohnräume mit Thermostatventilen ist bei modernen Heizungsanlagen ein Referenzwohnraum (auch Pilotraum, Führungsraum, größter Wohnraum) eingerichtet, bei dem ein zentraler hochwertiger Hauptregler über einen Raumtemperatur-Sollwertgeber und einen Referenzraum-Temperaturfühler die Vorlauftemperatur für den gesamten Warmwasserkreislauf des Gebäudes zentral vorgibt und die Referenzraum-Temperatur regelt.

Die Temperaturunterschiede zwischen den Heizkörpern und der kühleren Raumluft erzeugen Luftbewegungen (Konvektion) und zum geringeren Anteil Strahlungsenergie, die auf den Messfühler einwirken. Der Regler erhöht je nach Bedarf durch Einschalten des Brenners die Heizkörpertemeratur oder senkt sie gegebenenfalls durch Ausschalten des Brenners.

Für die Güte einer Regelung der Raumtemperatur sind auch die konstruktiven Raumbedingungen und Geräteanordnungen wie Heizkörper und Abstand des Messortes der Raumtemperatur maßgebend. Man kann nicht in einem langgestreckten Raum erwarten, dass durch einen Heizkörper mit dem im Abstand von 10 cm befindlichen Thermostat sich eine gleichmäßige Raumtemperatur über den ganzen Raum einstellt. Andererseits bedeutet ein großer Abstand zwischen Heizkörper und Messort der Raumtemperatur, dass sich eine größerer Signallaufzeit (Totzeitverhalten) bildet.

Üblich ist die Montage des Messfühlers im Referenzwohnraum an der gegenüberliegenden Wand der Heizkörperebene. Der Messfühler misst die Lufttemperatur, nicht die Innenwand-Temperatur. Die Heizkörper des Referenzwohnraumes erhalten keine Thermostatventile.

Darstellung der Signalbezeichnungen des Regelkreises

Anmerkung:

In der aktuellen deutschen Fachliteratur sind die regelungstechnischen Signalbezeichnungen nicht den bis 2009 gültigen DIN-Normen entnommen, sondern stammen vermutlich aus den Darstellungen von Signalflussplänen dynamischer Systeme des Zustandsraumes. Diese aus den USA von dem Mathematiker und Stanford-Universitätslehrer Rudolf E. Kalman stammende Theorie und den damit verbundenen Signalbezeichnungen sind seit den 1960er Jahren unverändert.

Einige Fachbücher der Regelungstechnik zeigen für die Darstellung von Signaleingängen und Signalausgängen von Übertragungssystemen auch die Bezeichnungen X_A (Ausgangsgröße) und X_E (Eingangsgröße).

Vereinfachte Darstellung der Heizenergieerzeugung, der Thermostatregelung der Raumtemperatur$\theta$ mittels eines Heizkörpers und Angriff von Störgrößen

Bezeichnung	Aktuelle Zeichen	Zeichen nach DIN	Bedeutung allgemein und im Beispiel (Raumtemperatur-Regelung mit Thermostatventil)
Regelstrecke	GS(s)		Prozess, dessen Ausgangsgröße geregelt wird, Heizkessel mit Warmwasserkreislauf zum Heizkörper, Raumlufterwärmung mittels Heizkörper.
Störgrößen	d	z	Fremdeinflüsse greifen die Regelstrecke an, z.  B Außentemperatur, Fensterstellung (geschlossen bis offen), Sonneneinstrahlung, Wind, Niederschläge.
Regelgröße	y	x	geregelte Prozess-Ausgangsgröße, z.  B: Raumtemperatur.
Messglied			Ausführungen: Thermoelement, Wärmewiderstand, Druckmessdose, Kraftmessdose, Thermostat: Dehnstoffelement im Thermostatventil.
Messgröße	yM	yM	Signal: elektr. Spannung oder Konstantstromquelle, Thermostat: Ausdehnung des Dehnstoffelementes.
Führungsgröße	w	w	Dynamisches Signal als Eingangsgröße des Regelkreises (Stationär auch = Sollwert), Thermostat: Einstellwert auf der Skala.
Sollwert			Bestimmter Wert der Führungsgröße, zum Beispiel 20 °C.
Istwert der Regelgröße	y	x	Allgemein ein stationärer Wert der Regelgröße, zum Beispiel 21 °C (= Regelabweichung 1 °C).
Regelabweichung	e = w − y	e = w − x	Eingangsgröße des Reglers.
Regler	GR(s)		Arten: stetige, unstetige, analoge, digitale und speziell ausgeführte (z.  B selbstanpassende) Regler, Thermostat: Dehnstoffelement.
Steuergröße	u	y	Ausgangsgröße einer Steuerung, Position des Übertragungsstiftes am Dehnstoffelement (Übertragung auf das Ventil).
Stellglied			Regler-Ausgangsgröße und Schnittstelle Regler / Regelstrecke, Thermostat: Ventil im Thermostatventil.
Stellgröße	uR	uR	Ausgangsgröße des Reglers oder einer Steuereinrichtung, Thermostat: Stellung des Ventils (geschlossen bis offen)

Definition Wärmeenergie

Umgangssprachlich wird die thermische Energie etwas ungenau als „Wärme“ oder „Wärmeenergie“ bezeichnet. Die thermische Energie E_th eines Stoffes ist definiert als

$E_{TH}=c*m*T$

wobei c die spezifische Wärmekapazität, m die Masse und T die absolute Temperatur ist. Diese Definition setzt voraus, dass der Stoff sich innerhalb seines Aggregatzustandes befindet. Für Wasser gilt der flüssige Zustand im Temperaturbereich von 0₍₊₎ °C bis 100_(-) °C bei Normaldruck in Meereshöhe.

Eine Wärmezufuhr steigert die mittlere kinetische Energie der Moleküle und damit die thermische Energie eines Stoffes, eine Wärmeabfuhr verringert sie.

Kommen zwei thermische Energie-Systeme mit unterschiedlichen Temperaturen zusammen, so gleichen sich ihre Temperaturen durch Wärmeaustausch an. Diese Angleichung erfolgt so lange, bis keine Temperaturdifferenz zwischen den Systemen mehr auftritt. Diesen Vorgang bezeichnet man als Wärmeübertragung

Ohne zusätzliche Hilfe (Energie) kann niemals thermische Energie vom System niedrigerer Temperatur in das System höherer Temperatur überführt werden.

Der Wärmefluss oder Wärmestrom ist eine physikalische Größe zur quantitativen Beschreibung von Wärmeübertragungsvorgängen.

Als Grenzfläche oder Phasengrenze wird in der Physik und Materialwissenschaft die Fläche zwischen zwei Phasen (hier Phase = räumlicher Bereich der Materie Zusammensetzung wie Dichte der homogenen Materie) bezeichnet. Als Grenzflächen werden die Flächen zwischen flüssigen und festen, flüssigen und flüssigen, festen und festen und festen zu gasförmigen Phasen bezeichnet.

Alternative stetige und unstetige Regelung

Zur Regelung der Referenzraumtemperatur bieten sich zwei Wege als stetige oder nichtstetige Regelung an:

Die Änderung der Außentemperatur ist in der Regel als statische Störgröße zu betrachten, weil das Zeitverhalten sehr langsam im Verhältnis zur Änderung der Vorlauftemperatur ist. Erst wenn die Änderung der Außentemperatur sich über die Außenisolierung und über die Masse der Gebäudewände am Messfühler des Referenzraumes bemerkbar macht, kann der Heizungsregler reagieren.

Die Regelung der Raumtemperatur des Referenzraumes kann konventionell meist über digitale Regler erfolgen, die an die Regelstrecke des Warmwasserkreislaufes angepasst werden müssen.

Häufig werden industriell gefertigte Heizungskessel mit digitalen Reglern mit Anwendung der Fuzzy-Logik ausgeführt. Die Grundidee der Fuzzy-Controllers bezieht sich auf die Einbindung des Expertenwissens mit linguistischen Begriffen, durch die der Fuzzy-Controller mehr oder weniger mit empirischer Methodik optimal an einen nichtlinearen Prozess mit mehreren Ein- und Ausgangsgrößen modelliert wird, ohne dass das mathematische Modell des Prozesses (Regelstrecke) vorliegt.

Vereinfacht ausgedrückt entspricht die Anwendung der Fuzzy-Logik der menschlichen Denkweise, Tendenzen des Verhaltens eines unbekannten Systems zu erkennen, vorauszusehen und dem ungewollten Verhalten entgegenzuwirken. Diese Handlungsweise wird in sogenannten „WENN-DANN-Steuerregeln“ einer Regelbasis festgelegt.

Verfahren der stetigen und unstetigen Regelung:

• Die Regelung der Raumtemperatur des Referenzraumes kann über einen stufenlosen Regler erfolgen, der auf ein stetig arbeitendes Mischventil (Dreiwegemischer) wirkt, das bei Wärmebedarf auf den Heizkessel zugreift. Diese Form der Regelung wird häufig in Mehrfamilien-Wohnhäusern eingesetzt.
• Die Regelung der Raumtemperatur des Referenzraumes kann über einen Zweipunktregler erfolgen.

Diese kostenminimale Variante eignet sich besonders für den intermittierenden Betrieb für das zyklische Ein-Ausschalten des Brenners.

Unstetige Regelung

Ein unstetiger Zweipunktregler ohne Hysterese hat Eigenschaften, die einer hohen Kreisverstärkung entsprechen. Ob sie voll genutzt werden kann, hängt von der Art der Regelstrecke ab. Dieser Regler eignet sich besonders für Regelstrecken, die in weiten Grenzen zur kontinuierlichen Leistungsanpassung im intermittierenden Betrieb (Ein- Ausschaltbetrieb) gesteuert werden müssen.

Das Verhältnis des maximalen zum augenblicklichen Wärmeenergiebedarf ist durch das Verhältnis der Einschalt- Ausschaltzeit gegeben:

${\text{Leistungsverhältnis}}=100\cdot {\frac {t_{EIN}}{t_{EIN}+t_{AUS}}}\quad [{\text{Prozent}}]$

Die Stellgröße des Zweipunktreglers bestimmt in Abhängigkeit der Regelabweichung das Verhältnis der Ein- zur Ausschaltzeit. Die Reglerhysterese und Totzeitverhalten der Regelstrecke setzen die Schaltfrequenz herunter. Spezielle Rückführungen des Zweipunktreglers und Aufschaltung eines D-Anteils der Regelabweichung erhöhen die Schaltfrequenz.

Siehe auch: Regler#Zweipunktregler

Berechnung der Wärmeenergieflüsse'

Das Verhalten der Wärmeenergieflüsse kann berechnet werden, indem durch ein Blockdiagramm mit einzelnen Funktionsblöcken das dynamische Zeitverhalten der Wärmeenergieflüsse an den sogenannten Grenzflächen (z.  B. Brenner / Heizkessel, Heizkörper / Luft oder Innenwände / Außenwände / Außenwitterung) dargestellt wird. Die Funktionsblöcke entsprechen geeigneten mathematischen Modellen als System-Beschreibungsfunktionen.

Tag- und Nachtabsenkung der Raumtemperatur

Für die zur Energie-Einsparung mit Hilfe der sogenannten Tag-Nacht-Absenkung der Raumtemperatur ist das Speicherverhalten der Gebäudewände und deren Isolierung von entscheidender Bedeutung. Bei konstanter niedriger Außentemperatur und längerfristiger Raumtemperaturabsenkung ist das Energie-Sparpotential groß. Bei kurzfristiger Raumtemperaturabsenkung müssen anschließend die Gebäudewände wieder aufgeheizt werden, ohne dass sich ein stationärer Temperaturzustand der Grenzflächen im Mauerwerk mit Isolierung gebildet hat, der das Energiesparen möglich macht.

→ Artikel Gebäudeheizung, :→ Artikel Heizungsregler, :→ Artikel Heizkessel

Außengeführte Vorlauftemperaturbegrenzung

Der Wärmebedarf in Wohnräumen ist im sehr kalten Winter ein Mehrfaches höher als in der Übergangszeit Herbst und Frühjahr. Deshalb wird die Vorlauftemperatur des Heizkreises mittels einer Vorsteuerung über einen Regler in Abhängigkeit der Außentemperatur begrenzt, damit große Überschwingungen der Raumtemperatur (Regelgröße) aber auch Wärmeverluste vermieden werden.

Die Heizkörpertemperatur wird gewöhnlich nicht gemessen, sie wird aus dem Mittelwert der Vorlauftemperatur und der Rücklauftemperatur am Heizkessel erfasst. Wärmeverluste der isolierten Rohrleitungen werden vernachlässigt.

Die Kennlinie der Begrenzung der Vorlauftemperatur des Heizkreises als Funktion der Außentemperatur lässt sich bei kommerziellen Anlagen einstellen und ist abhängig von der Klimazone. Die begrenzte Vorlauftemperatur muss jeweils etwas höher liegen, als der Wert, der für den Wärmebedarf des eingestellten Referenzraum-Temperatursollwertes erforderlich ist. Die Begrenzungsregelung der Vorlauftemperatur als Funktion Außentemperatur kann durch einen einfachen Zweipunktregler erfolgen.

Störgrößen des Heizungsregelkreises

Störgrößen der Raumtemperaturregelung sind Änderungen der Wärmeenergieerzeugung durch intermittierenden Betrieb, bei dem z.  B. die Auswirkungen der Schwankungen des Gasdrucks (Gasheizkessel) oder Änderung des Brennheizwertes des Heizöles (Ölheizkessel) vernachlässigbar sind.
Kurzfristig angreifende Hauptstörgrößen auf die Raumtemperatur sind offenstehende Türen oder Fenster und die Sonneneinstrahlung im Fensterbereich.

Die Hauptstörgröße einer Gebäudeheizung ist der Einfluss der Außentemperatur. Die Änderung der Außentemperatur und der Einfluss von Wind und Niederschlägen sind wegen der Wärmespeicherfähigkeit der Gebäudemasse langfristig wirkende Störgrößen.

An Regelstrecken können Störgrößen an allen Teilregelstrecken angreifen. Kurzfristige Störgrößen zeichnen einen geringen Einfluss auf den Istwert der Regelgröße, wenn sie am Eingang der Regelstrecke auftreten. Den größten Einfluss haben Störgrößen an Regelstrecken, wenn sie am Ausgang der Regelstrecke auftreten.

Die Beurteilung eines linearen Regelkreises mit einem Führungsgrößensprung wird durch die Führungsgrößen-Übertragungsfunktion berechnet.

Siehe auch: Regelkreis#Führungsverhalten eines Regelkreises

Die Beurteilung des Störverhaltens eines linearen Regelkreises an einer linearen Regelstrecke wird häufig durch einen Störsprung mit der Störgrößen-Übertragungsfunktion berechnet.

Siehe auch: Regelkreis#Störverhalten eines Regelkreises

Stationäre oder sprungartige oder impulsartige Störgrößen im Regelkreis lassen sich in einem grafischen Signalflussplan durch eine Additionsstelle positiv oder negativ berücksichtigen.

Die dominanteste und in weiten Grenzen sich ändernde Störgröße der Regelstrecke einer Heizungsanlage ist der Wärmeenergie-Abfluss von der Raumtemperatur über die Gebäudewände zur Außenwitterung. Während der Einfluss einer Störgröße an einem beliebigen Regelkreis lediglich eine technische Information oder ein gefordertes bestimmtes Verhalten der Regelgröße anzeigt, bedeutet die Störgröße des Energieabflusses einer Gebäude-Temperaturregelung an die Außenwitterung ein Energie-Kostenfaktor erheblichen Ausmaßes.

Der Energieabfluss an die Außenwitterung ist unter normalen Betriebszuständen, d.  h. geschlossene Fenster und Türen, abhängig:

• von der Außenwitterung, wie Außentemperatur, Sonne, Wind und Regen,
• von der Güte der Gebäudeisolierung

Je besser die Außenisolierung, um so niedriger kann die Heizkörpertemperatur für eine gegebene Außentemperatur sein.

• von der Größe der Referenzraum-Temperatur

Jedes reduziertes Grad C einer individuellen "Wohlfühl-Raumtemperatur" reduziert die Heizkörpertemperatur prozentual beträchtlich.

• von der Größe der dominanten Zeitkonstanten der drei mathematischen Teilmodelle der Heizkörpertemperatur zur Raumtemperatur zur Außentemperatur.

Für eine konstante Außenwitterung und einen gegebenen Sollwert der Referenzraum-Temperatur stellt sich nach genügend langer Zeit ein Gleichgewichtszustand zwischen der erzeugten Wärmeenergie und der über das Gebäude abfließenden Wärmeenergie ein.

Simulation eines Heizungsregelkreises mit Teilmodellen

Signalfluss-Diagramm der Simulation der Referenzraum-Heizungsregelung eines Gebäudes

Aufgabenstellung:

Berechnung des zeitlichen Verhaltens der mittleren Heizkörpertemperatur und der Raumtemperatur eines Referenzwohnraumes für die Raumtemperatur-Sollwertvorgabe von 5 °C auf 20 °C bei einer stationären Außentemperatur von -10 °C. Wind und Niederschläge sollen sich für diesen Vorgang nicht ändern.

Der Signalflussplan der Simulation der Referenzraum-Heizungsregelung zeigt die Beziehungen der Teilmodelle.

Datenvorgabe für den Heizungsregelkreis

Für eine überschlägige Berechnung des Regelvorgangs der Raumtemperatur im Referenzraum müssen Vereinfachungen und Zahlenwerte-Annahmen aus Erfahrungen getroffen werden. Folgende Daten werden gegeben:

• maximale Vorlauftemperatur: 80 °C
• Sollwert Raumtemperatur: 20 °C
• stationäre Außentemperatur: -10°C
• Abfluss der Wärmeenergie [°C], wird empirisch gemessen:

Für eine mittlere stationäre Heizkörpertemperatur von 60 °C und einer stationären Außentemperatur von -10 °C stellt sich nach genügend langer Zeit eine Raumtemperatur von 20 °C ein.

Mit diesen Angaben entspricht eine Raumtemperatur-Änderung von 1 °C dem Verhältnis der Differenzwerte der Heizkörpertemperatur zur Raumtemperatur mit Bezug zur Außentemperatur:

Heizkörpertemperatur = [60-(-10)] / [20-(-10)] = 2,33 °C pro 1 °C Raumtemperaturänderung

• Begrenzte mittlere Heizkörpertemperatur bei -10 °C Außentemperatur: 70 °C
• Gewählter stationärer Anfangswert der Raumtemperatur im Frostschutzmodus als Sollwert: 5 °C
• Berechneter stationärer Anfangswert der mittleren Heizkörperkörpertemperatur im Frostschutzmodus:

Für eine geforderte stationäre Referenzraumtemperatur von z.  B. 5 °C, d.  h. Raumtemperaturabsenkung von 15 °C, ergibt sich eine geforderte Heizkörpertemperatur von:

Heizkörpertemperatur = 60 - 2,33 * 15 = 25 °C.

Definition der Teilmodelle anhand der geschätzten Datenvorgabe

Für den dynamischen Vorgang der Sollwert-Änderungen mit Bezug zur Heizkörpertemperatur, der Raumtemperatur und der Wärmeenergieabflüsse sind Anfangsbedingungen der Einzelsysteme zu berücksichtigen.

• Teilmodell 1: Wärmeenergieerzeugung vom Brenner zur Heizkörpertemperatur

Die im Brenner und Heizkessel erzeugte Wärmeenergie wird mit der Heizungspumpe als Vorlauftemperatur durch alle Rohrleitungen und Heizkörper gepumpt und erscheint wieder am Heizkessel als Rücklauftemperatur. Die mittlere Heizkörpertemperatur wird als Mittelwert der Vor- und Rücklauftemperatur angenommen.

Daten:

Tt = 4 [Minuten], T_E = 60 [Minuten] bei Anstieg, T_E = 100 [Minuten] bei Abfall der Heizenergie:

$G(s)=\left.{\frac {e^{-{4}\cdot s}}{(T_{E}\cdot s+1)}}\right|_{T_{E}=100\ beiAbfall}^{T_{E}=60\ beiAnstieg}$

• Teilmodel 2: Heizkörpertemperatur zur Raumtemperatur

Die von den Heizkörpern abgegebene Wärmeenergie erwärmt die Raumluft, welche zunächst an den Fenstern und dann nach oben zur Zimmerdecke steigt und abkühlt. Dies führt über Konvektion und Strahlung zu Luftverwirbelungen, die auch nach einer Totzeit und Einschwingzeit den Raumtemperaturfühler erreichen.

Die gemessene und geregelte Referenzraumtemperatur ist nicht identisch mit der Innenwand-Temperatur, des Fußbodens und Zimmerdecke des Referenzraumes, über die (stellvertretend für alle Räume) die Wärmeenergie zur Außenwitterung abfließt.

Daten:

Tt = 10 [Minuten], T_E = 200 [Minuten] bei Anstieg, T_E = 300 [Minuten] bei Abfall der Heizenergie:

$G(s)=\left.{\frac {e^{-{10}\cdot s}}{(T_{E}\cdot s+1)}}\right|_{T_{E}=300\ beiAbfall}^{T_{E}=150\ beiAnstieg}$

• Teilmodell 3: Raumtemperatur zur Gebäudewand innen nach außen zur Außenwitterung

Das mathematische Modell für die Wärmeenergie-Ableitung von der Raumluft über die Fenster und über die Gebäudewände zur Außenisolierung und zur Außenwitterung ist sehr kompliziert und wird deshalb vereinfacht.

Das Teilmodell 3 besteht aus einem statischen Teil, der die Beziehung Heizkörper-, Raum- und Außentemperatur über eine Geradengleichung wiedergibt, und einem dynamischen Teil, der die Speicherfähigkeit der Gebäudewände und Isolierung berücksichtigt.

Je nach Beschaffenheit der Masse der Raumwände (Wärmespeicherfähigkeit, Wärmeleitfähigkeit, Innen-Wärmeisolierung, Anteil Innen- und Außenwände) und des Wärmeisolierungsmaterials der Außenseite kann es sich um ein kompliziertes System höherer Ordnung mit großer dominanter Zeitkonstante handeln. Zur Vereinfachung dieses Teilmodels 3 wird als dynamisches Systemverhalten ein Verzögerungsglied 1. Ordnung (PT1-Glied) mit großer Ersatzzeitkonstante gewählt.

Für die Simulation des Energieabflusses besteht mit diesen Angaben eine statische Beziehung, die durch eine Geradengleichung festgelegt werden kann.

Vereinfachtes Modell des Zeitverhaltens:

$G(s)={\frac {1}{500\cdot s+1}}$

Geht man von einem linearen Zusammenhang der Heizkörpertemperatur zur gewählten Raumtemperatur bei konstanter Außentemperatur aus, so lässt sich für verschiedene Werte der Raumtemperatur die Größe der Heizkörpertemperatur aus Geradengleichungen errechnen.

Allgemeine Geradengleichung mit X als Eingangsgröße und Y als Ausgangsgröße:

$Y=Y1+{\frac {Y2-Y1}{X2-X1}}\cdot (X-X1)$

Statische Beziehung von Teilmodell 3

Über eine Geradengleichung wird bestimmt, welcher Wert von der gefilterten Heizkörpertemperatur (= Ausgang Modell 2) als Funktion der Außentemperatur subtrahiert werden muss, damit sich die Raumtemperatur als Regelgröße ergibt.

Für die Raumtemperatur 20 °C ist die zugehörige Heizkörpertemperatur mit 60 °C gegeben. Für einen anderen Wert der Raumtemperatur kann die zugehörige Heizkörpertemperatur aus der Proportion der Temperaturdifferenzen zu -10 °C berechnet werden:

${\frac {\theta _{\text{Heizkörpertemperatur 1}}}{\theta _{\text{Raumtemperatur 1}}}}={\frac {60-(-10)}{20-(-10)}}={\frac {\theta _{\text{Heizkörpertemperatur 2}}}{\theta _{\text{Raumtemperatur 2}}}}$

Für das statische Modell 3 wird die Differenz [Heizkörpertemperatur - Raumtemperatur] benötigt. Dieser Wert wird von dem Ausgangssignal des Modells 2 subtrahiert:

$[\theta _{\text{Heizkörpertemperatur - Raumtemperatur}}]=13,33\ +\ {\frac {40-13,33}{20}}\ \cdot \ [\theta _{\text{Raumtemperatur}}]$

Damit ergeben sich die statische Werte für die Sollwertsprünge der Raumtemperatur die zugehörigen Werte der Heizkörpertemperatur und alle Zwischenwerte:

• Sollwert Raumtemperatur 20°C:

[Heizkörpertemperatur] - [Heizköpertemperatur - Raumtemperatur] = [Raumtemperatur] = 60-40 = 20 °C

• Sollwert Raumtemperatur 5 °C:

[Heizkörpertemperatur] - [Heizköpertemperatur - Raumtemperatur] = [Raumtemperatur] = 25-20 = 5 °C

Grafische Darstellung der Temperaturwerte der Heizungsregelung

Darstellung des zeitlichen Verlaufes der Heizkörpertemperatur und der Raumtemperatur für einen Sollwertsprung ohne Wärmeenergiespeicherung der Raumwände

Aufgabenstellung

Anhand der Teilmodelle der Regelstrecke soll der grafische Verlauf der Heizkörpertemperatur und der Raumtemperatur vom Frostschutzmodus zum Betriebszustand berechnet und grafisch dargestellt werden.

• Für die Berechnung von Übertragungssystemen oder die Simulation von Regelkreisen bieten sich käufliche Rechenprogramme an. Mit den bekanntesten Programmen wie MATLAB und Simulink stehen umfangreiche Befehlssätze für die theoretische Modellierung von dynamischen Systemen und vielen speziellen regelungstechnischen Befehlen zur Verfügung.
• Alternativ können lineare Systeme numerisch mit Hilfe von Differenzengleichungen berechnet werden. Nichtlineare Systeme wie der Zweipunktregler lassen sich einfach mit Hilfe von WENN-DANN-SONST-Anweisungen berechnen. Eine Berechnungsfolge bezieht sich auf eine Kette von hintereinandergeschalteten Systemen, beginnend mit dem Eingangssignal und endend mit dem Ausgangssignal. Jede Folge k bezieht sich auf die diskrete Zeit k*Δt.

Zum besseren Verständnis werden zwei Diagramme mit dem statischen und dynamischen Verhalten von Teilmodell 3 dargestellt.

• Grafische Darstellung des zeitlichen Verhaltens der Temperaturwerte ohne Wärmespeicherung der Gebäudewände(Teilmodell 3 mit T = 0.
• Grafische Darstellung des zeitlichen Verhaltens der Temperaturwerte mit Wärmespeicherung der Gebäudewände (Teilmodell 3 mit T = 500 [Minuten]).

Kritische Beurteilung der Simulationsergebnisse

• Prinzipiell entsprechen die berechneten Zeitverläufe der Heizkörpertemperatur und der Raumtemperatur realistischen Heizungsregelungen.
• Zuverlässigkeit der mathematischen Modelle

Die Simulation eines dynamischen Prozesses ist so gut wie die Güte der mathematischen Modelle der Regelstrecke.

Modell 1 (Wärmeenergieerzeugung zum Heizkörper) kann weitgehend der Realität entsprechen.

Modell 2 (Erwärmung der Raumtemperatur) ist physikalisch dem Modell 1 nachgeschaltet, kann aber nicht die Rückwirkungsfreiheit auf Modell 1 durch die größeren Zeitkonstanten garantieren. Es wirkt mehr als Tiefpassfilter 1. Ordnung auf die sägezahnförmige Änderung der Heizkörpertemperatur.

Modell 3 (Abfluss der Wärmeenergie an die Außenwitterung) subtrahiert von der Ausgangsgröße des Modells 2 den Anteil der nach außen abfließenden Wärmeenergie. Obwohl es sich bei dem Modell 3 um ein System mit verteilten Energiespeichern handelt, wird es aus Gründen einfacher Berechenbarkeit als ein System mit einem konzentrierten Energiespeicher behandelt. Damit ergibt sich die Regelgröße Raumtemperatur als Funktion der Heizkörpertemperatur und der Außentemperatur.

• Die Zeitkonstanten aller Teilmodelle sind geschätzt.

Grafische Darstellungen der Temperaturwerte

Darstellung des Verlaufes der Heizkörpertemperatur und der Raumtemperatur für einen Sollwertsprung mit Berücksichtigung der Wärmeenergiespeicherung der Raumwände

Zum besseren Verständnis werden die Regelvorgänge in 2 Diagrammen, statisch ohne die gespeicherte Wärmeenergie der Wände und dynamisch mit gespeicherter Energie der Wände dargestellt. Es handelt sich um das dritte Teilmodell, dessen Zeitkonstante einmal auf einen Wert für T = 0 und T = 500 gesetzt wird.

Nachfolgend wird die Simulation des Modells des Regelkreises der Gebäudeheizung für einen Sprung des Sollwertes aus dem Frostschutzmodus 5 °C zum Betriebsmodus 20 °C dargestellt.

Kommentar zur Abbildung der Simulation mit dem dritten Teilmodell ohne Speicherfähigkeit der Raumwände

Die Berechnung des Abflusses der Wärmeenergie von den Anfangswerten zu den Endwerten erfolgt rein statisch ohne gespeicherte Wärmeenergie der Gebäudewände.

Der Sollwertsprung erfolgt nach 200 Minuten. Das vereinfachte statische Teilmodell 3 als PT1-Glied mit dem Verhalten der Zeitkonstante T = 0 zeigt die stationären Zustände der Heizkörpertemperatur und der Raumtemperatur an, die sich nach genügend langer Zeit einstellen. Der Übergang von den unteren Temperaturwerten zu den oberen Temperaturwerten ist zeitlich nicht real, weil zu jedem Wert der Heizkörpertemperatur und der Raumtemperatur nicht die gespeicherte Wärme der Gebäudewände berücksichtigt ist.

Kommentar zur Abbildung der Simulation mit dem dritten Teilmodell mit Speicherfähigkeit der Raumwände

Die Berechnung des Abflusses der Wärmeenergie von den Anfangswerten zu den Endwerten erfolgt mit Berücksichtigung der gespeicherten Wärmeenergie der Gebäudewände.

Der Sollwertsprung erfolgt nach 200 Minuten. Das vereinfachte statische Teilmodell 3 als PT1-Glied für die Wärmespeicherfähigkeit der Raumwände mit der Zeitkonstante T = 500 Minuten zeigt das Verhalten des Anstiegs der Heizkörpertemperatur und der Raumtemperatur an. Dabei wird deutlich, dass die Raumtemperatur den Sollwert 20 °C bereits erreicht hat, während die Heizkörpertemperatur wegen der gespeicherten Wärmeenergie der Wände nur mit 45 °C gefordert wird. Erst nach ca. 2000 Minuten stellt sich die Heizkörpertemperatur von 60 °C als statisch ein, konstante Witterungseinflüsse vorausgesetzt.

Mathematische Methoden zur Beschreibung und Berechnung eines Regelkreises

Dieses Kapitel zeigt die Anwendung der Methoden der Regelungstechnik und der Systemtheorie für die Berechnung von dynamische Systemen und Regelkreisen. Dabei werden die Begriffe von Verfahren der Systembeschreibungen, Übertragungsfunktionen, lineare und nichtlineare Regelstrecken, zeitinvariante und zeitvariante Systeme, Zweipunktregler, mathematische Systemmodelle und numerische Berechnungen tangiert und Hilfen auf ausführliche Artikel bzw. deren Kapitel gegeben.

Ein dynamisches System ist eine Funktionseinheit mit einem bestimmten Zeitverhalten und hat mindestens einen Signaleingang und einen Signalausgang. Modelle (Modellbildung) eines realen dynamischen Übertragungssystems werden mathematisch beschrieben durch:

• Differenzialgleichungen
• Übertragungsfunktion und Frequenzgang
• Zustandsraumdarstellung
• Numerische zeitdiskrete Beschreibung linearer Systeme (Differenzengleichungen) und nichtlinearer Systeme (Logische Befehle, Tabellenwerte)

Gewöhnliche Differenzialgleichungen

Eine Differentialgleichung (kurz DGL) ist eine Gleichung, die eine oder mehrere Ableitungen einer unbekannten Funktion enthält.

Kommen Ableitungen nur bezüglich einer Variablen vor, spricht man von „gewöhnlichen Differentialgleichungen“, wobei der Begriff „gewöhnlich“ sich darauf bezieht, dass die betrachtete Funktionen nur von einer Veränderlichen abhängt.

Mit den gewöhnlichen DGL-en lassen sich viele dynamische Systeme aus der Technik, Natur und Gesellschaft beschreiben. Viele auf den ersten Blick sehr verschiedene physikalische Probleme lassen sich mit der DGL jedoch formal identisch darstellen.

Eine lineare DGL enthält die gesuchte Funktion und deren Ableitungen nur in der ersten Potenz. Es dürfen keine Produkte der gesuchten Funktion und ihren Ableitungen auftreten. Die gesuchte Funktion darf auch nicht in Argumenten von Winkelfunktionen, Logarithmen usw. erscheinen.

Entstehung einer Differenzialgleichung

Eine DGL ist eine Bestimmungsgleichung für eine unbekannte Funktion. Die Lösung einer DGL ist keine Zahl, sondern eine Funktion!

Signalflussplan eines elektrischen Schwingkreises

Beispiel elektrischer Schwingkreis:

Spannungsbilanz: Nach dem 2. Kirchhoffschen Satz ist Summe aller Spannungen einer Masche gleich Null.

$U_{R}+U_{L}+y=u\,$

Der Spannungsabfall am Widerstand R ergibt sich zu U_R = i * R. Nach dem Induktionsgesetz ist die Spannung an der Induktivität U_L = L * di / dt. Der Ladestrom am Kondensator ist proportional der Spannungsänderung am Kondensator i(t) = C * dy / dt.

Die Anwendung des Maschensatzes führt zunächst zu einer Differenzialgleichung 1. Ordnung:

$R\cdot i(t)+L\cdot {\frac {di(t)}{dt}}+u_{C}(t)=u_{E}(t)$

Setzt man in die DGL für i(t):

$i(t)=C\cdot {\frac {dU_{C}(t)}{dt}}$

ein, dann ergibt sich die Schwingungsgleichung:

$L\cdot C\cdot {\ddot {u}}_{C}(t)+R\cdot C\cdot {\dot {u}}_{C}(t)+u_{C}(t)=u_{E}(t)$

Es können Zeitkonstanten wie T₁ = R * C und T₂² = L * C eingeführt werden. Ersetzt man auch die in der Systembeschreibung übliche Darstellung der Eingangsgröße u(t) und Ausgangsgröße y(t), dann lautet die bekannte DGL für einen Reihenschwingkreis:

$T_{2}^{2}\cdot {\ddot {y}}(t)+T_{1}\cdot {\dot {y}}(t)+y(t)=u(t)$

Grundlagen der Übertragungsfunktion als Systembeschreibung

Blockdiagramm eines Übertragungssystems als Ein- und Mehrgrößensystem.

Die am häufigsten dargestellte Systembeschreibung linearer zeitinvarianter Systeme ist die Übertragungsfunktion G(s) mit der komplexen Frequenz s.

Eine Übertragungsfunktion beschreibt die Abhängigkeit des Ausgangssignals eines linearen, zeitinvarianten Systems (LZI-System) von dessen Eingangssignal im Bildbereich (Frequenzbereich, s-Bereich). Sie wird definiert als Quotient der Laplace-transformierten Ausgangsgröße $Y(s)$ zur transformierten Eingangsgröße $U(s)$:

$G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}$

Dynamische zeitinvariante Systeme mit konzentrierten Energiespeichern (z.  B. Feder-Masse-Dämpfer-Systeme oder elektrische L-, C- und R-Glieder) werden durch gewöhnliche Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschrieben. Wenn sich das System im Ruhezustand befindet, haben die Energiespeicher den Wert null. Unter dieser Bedingung, dass die Anfangsbedingungen der systembeschreibenden Differenzialgleichung zu dem betrachteten Zeitpunkt $t=0$ gleich null sind, ist die Übertragungsfunktion des Systems gleich der Laplace-transformierten Differenzialgleichung des Systems.

In der linearen Regelungstechnik ist es eine willkommene Tatsache, dass praktisch alle vorkommenden regulären (phasenminimalen) Übertragungsfunktionen bzw. Frequenzgänge von Regelkreisgliedern auf folgende drei Grundformen (Linearfaktoren) geschrieben bzw. zurückgeführt werden können. Sie haben eine völlig unterschiedliche Bedeutung, je nachdem ob sie im Zähler (differenzierendes Verhalten) oder im Nenner (verzögernd, Integrierend) einer Übertragungsfunktion stehen:

Typ Linearfaktor	Bedeutung im Zähler	Bedeutung im Nenner
$G1(s)=T\cdot s$	Differenzierer, D-Glied	Integrator, I-Glied
$G2(s)=T\cdot s+1$	PD-Glied	Verzögerung, PT1-Glied
$G3(s)=T^{2}\cdot s^{2}+2\cdot D\cdot T\cdot s+1$	PD2-Glied: für 0 < D < 1 mit konjugiert komplexen Nullstellen	Schwingungsglied PT2-Glied: für 0 < D < 1 mit konjugiert komplexen Polen

Dabei ist T die Zeitkonstante, s die komplexe Frequenz bzw. der Laplace-Operator, D der Dämpfungsgrad. Die Zeitkonstanten im Frequenzbereich entsprechen einer dimensionslosen Zahl. Die unter Typ Linearfaktor bezeichneten Grundformen der Übertragungssysteme können im Nenner und Zähler einer Übertragungsfunktion G(s) stehen.

Allgemein wird ein dynamisches lineares Übertragungssystem durch eine gewöhnliche Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten beschrieben. Zur Vereinfachung und zum leichteren Verständnis wird die Differenzialgleichung einer Laplace-Transformation unterzogen. Dabei wird entsprechend dem Differentiationssatz eine Ableitung 1. Ordnung der Differenzialgleichung durch den Laplace-Operator s als komplexe Frequenz ersetzt. Entsprechend höhere Ableitungen n-ter Ordnung werden durch sⁿ ersetzt.

Das Ergebnis wird nach Ordnung der Terme des sich ergebenen Polynoms als Verhältnis der Ausgangsgröße zur Eingangsgröße als Übertragungsfunktion definiert. Über die Nullstellen-Bestimmung kann die Übertragungsfunktion als Polynom in Linearfaktoren zerlegt und direkt in der Zeitkonstanten-Darstellung geschrieben werden.

Tabelle sämtlicher vorkommenden Arten der regulären Übertragungsfunktionen in Zeitkonstanten-Darstellung:

Übertragungsfunktion → G(s)	${\frac {Y}{U}}(s)=K$	${\frac {Y}{U}}(s)={\frac {1}{T\cdot s}}$	${\frac {Y}{U}}(s)=T\cdot s$	$=K_{PD1}(Ts+1)$	$={\frac {K_{PT1}}{T\cdot s+1}}$	$={\frac {K_{PT2}}{T^{2}s^{2}+2DTs+1}}$	$=K_{T_{t}}\cdot e^{-T_{t}\cdot s}$
Übergangsfunktion → (Sprungantwort)
Benennung →	P-Glied	I-Glied	D-Glied	PD1-Glied	PT1-Glied	PT2-Glied	Totzeitglied

Anmerkungen zur Übertragungsfunktion:

• Der große Vorteil der Beschreibung linearer dynamischer Systeme als Übertragungsfunktionen mit den Linearfaktoren besteht darin, dass nur 6 leicht einzuprägende Grundformen des Systemverhaltens existieren, die sich zu größeren Systemformen zusammensetzen können. Die transzendente Form des Totzeitgliedes gehört nicht dazu, es sei denn, es wird als gebrochen-rationale Funktion dem Totzeitglied angenähert.

Auch im Zusammenhang mit anderen Systembeschreibungen wie die Differenzialgleichung, Differenzengleichung, Zustandsraumdarstellung und gemischten linearen und nichtlinearen Modellen ist die Benennung von Übertragungssystemen als Übertragungsfunktion von Vorteil, weil der Bekanntheitsgrad der Systemfunktion so hoch ist.

• Die Übertragungsfunktionen können beliebig als einzelne Übertragungssysteme in der Reihen- und Parallelschaltung eines Blockdiagramms zusammengefasst und algebraisch behandelt werden.

• Die dargestellten Übertragungsfunktionen mit D-Anteilen werden als "ideal" bezeichnet. Diese Systeme lassen sich "real" nicht ohne Kombination mit einem Verzögerungsglied (PT1-Glied) herstellen. Dabei muss die Zeitkonstante des Verzögerungsgliedes wesentlich kleiner sein, als die des D-Anteils.

Beispiel reales PD1-Glied mit T_V » T:

$G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}=K_{PD1}\cdot {\frac {T_{V}\cdot s+1}{T\cdot s+1}}$

Die numerische Berechnung von idealen D-Anteilen funktioniert mit Hilfe der Differenzengleichungen problemlos. Es können bei der Differentiation keine unendlich großen Flanken entstehen, weil über die Zeit Δt gerechnet wird.

Fazit: Bei der numerische Berechnung kompensiert ein ideales PD1-Glied ein PT1-Glied bei gleichen Zeitkonstanten vollständig zum Faktor 1.

• Die differenzierende Form der Übertragungsfunktion 2. Ordnung (PD2-Glied) mit konjugiert komplexen Nullstellen erlaubt bei gleichen Zeitkonstanten und gleichem Dämpfungsgrad die Kompensation des Verzögerungsgliedes 2. Ordnung mit konjugiert komplexen Polen.

Anwendung: Vorfilter im Regelkreiseingang reduziert gedämpfte Schwingungen der Regelgröße und erlaubt damit eine höhere Kreisverstärkung.

Siehe auch: Regler#PD2-Glied mit konjugiert komplexen Nullstellen

• Die Übertragungsfunktionen $G(s)$ werden immer als gebrochen-rationale Funktionen geschrieben.

• Der Übertragungsfunktion eines Systems $G(s)$ kann die transzendente Funktion des Totzeitgliedes $G_{Tt}(s)=e^{-s\,T_{t}}$ multiplikativ angehängt werden zu $G(s)=G_{1}(s)\,G_{Tt}(s)$. Diese Form der Übertragungsfunktion als Gesamtsystem ist nur für Frequenzgang-Analysen geeignet. Beliebige algebraische Operationen mit einem Totzeitglied sind nicht erlaubt.

• Nichtreguläre Übertragungsfunktionen G(s) enthalten ein Minuszeichen in der Gleichung (= positive Nullstelle). Sie können durch eine positive Rückkopplung (= Mitkopplung) entstehen und verhalten sich monoton instabil. Durch eine beliebige Eingangserregung strebt die Ausgangsgröße eines instabilen PT1-Gliedes in Abhängigkeit der Zeitkonstante T bis zu seiner natürlichen Begrenzung einen unendlich großen Wert an.

Beispiel der Schreibweise eines Verzögerungsgliedes 1. Ordnung mit dem Vertärkungsfaktor K:

$G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}=K\cdot {\frac {1}{T\cdot s+1}}$

Diese Art Gleichungen der Übertragungsfunktionen lassen sich algebraisch behandeln, gelten für lineare Systeme und beziehen sich auf zeitinvariantes Verhalten. Übertragungsfunktionen können mit beliebigen Linearfaktoren zu Regelstrecken und Regelkreisen algebraisch zusammengesetzt werden, solange kein Totzeitsystem enthalten ist. Ist ein Eingangssignal U(s) als Testsignal gegeben, kann mittels Transformationstabellen das Zeitverhalten des Ausgangssignals y(t) errechnet werden.

Übertragungsfunktionen als Blockstruktur im Signalflussplan

Übertragungssysteme können aus Teilsystemen als Blöcke zusammengefasst werden. Es gilt das Superpositionsprinzip. Die Systeme in Produktdarstellung können in der Reihenfolge beliebig verschoben werden. Die Systemausgänge dürfen nicht durch nachfolgende Systemeingänge belastet werden (Rückwirkungsfreiheit).

• Parallelschaltung:

Gleichung der Übertragungsfunktion der Parallelschaltung:

$G\left(s\right)=G_{1}\left(s\right)+G_{2}\left(s\right)$

• Reihenschaltung:

Gleichung der Übertragungsfunktion der Reihenschaltung:

$G\left(s\right)=G_{1}\left(s\right)\cdot G_{2}\left(s\right)$

• Gegenkopplung oder Rückkopplung:

Gleichung der Übertragungsfunktion der Gegenkopplung:

$G\left(s\right)={\frac {G_{1}\left(s\right)}{1+G_{1}\left(s\right)\cdot G_{2}\left(s\right)}}$

• Bei einem Regelkreis, der in dem Gegenkopplungszweig kein statisches oder dynamisches Teilsystem enthält, wird das System G₂(s) = 1.

Damit lautet die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises:

$G(s)={\frac {G_{1}(s)}{1+G_{1}(s)}}$

• Eine Mitkopplung ist eine positive additiv wirkende Rückführung des Signalausgangs auf den System-Eingang. Sie führt je nach Größe der Verstärkung von G₁(s) zur monotonen Instabilität oder zu einem Hysterese-Effekt.

Gleichung der Übertragungsfunktion der Mitkopplung:

$G(s)={\frac {G_{1}(s)}{1-G_{1}(s)}}$

• Mit G₁(s) als offener Regelkreis werden beliebige algebraische Zusammenführungen der Teilsysteme des Reglers und der Regelstrecke verstanden.

Lineare Regelstrecken

Lineare Systeme sind dadurch gekennzeichnet, dass der sogenannte Überlagerungssatz und der Verstärkungssatz gelten. Der Überlagerungssatz bedeutet, dass wenn das System mit den Zeitfunktionen f1(t) und f2(t) gleichzeitig erregt wird, auch die Systemantwort aus einer Überlagerung der Systemantwort von f1(t) und der Systemantwort von f2(t) gebildet wird.

Das Verstärkungsprinzip bedeutet, dass bei doppelter Amplitude der Eingangsfunktion die Systemantwort ebenso doppelt so groß ist.

Natürliche lineare Regelstrecken enthalten oft verzögernde, integrierende und mit Totzeit behaftete Teilsysteme.

Ein elektrischer Widerstands-Kondensator Tiefpass 1. Ordnung im rückwirkungsfreien Zustand mit der Zeitkonstante T = R*C wird durch folgende Übertragungsfunktion beschrieben:

Verzögerungsgliedes 1. Ordnung (PT1-Glied):

$G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}=K\cdot {\frac {1}{T\cdot s+1}}$

Die Sprungantworten Xaσ(t) mit 4 PT1-Gliedern mit je gleichen Zeitkonstanten mit je T = 1[s]

Für die Berechnung des Zeitverhaltens von Übertragungssytemen G(s) mit der Übertragungsfunktion müssen die Eingangssignale (Testsignale) im s-Bereich definiert werden.

Siehe auch: Regelstrecke#Testsignale

Für die Berechnung der Sprungantwort eines Systems im Zeitbereich lautet der normierte Sprung 1(t) als Laplace-transformiertes Test-Eingangssignal U(s) = 1 / s.

Die Gleichung zur Berechnung des Zeitverhaltens des PT1-Gliedes kann direkt aus den Laplace-Transformations-Tabellen abgelesen werden:

Gesuchte Funktion im s-Bereich:

$Y(s)=U(s)\cdot K\cdot {\frac {1}{T\cdot s+1}}=K\cdot {\frac {1}{s\cdot (T\cdot s+1)}}$

Zugehörige Funktion im Zeitbereich:

$y(t)=K\cdot (1-e^{-t/T})$

Der Faktor K unterliegt nicht der Transformation und ist deshalb im s-Bereich wie auch im Zeitbereich gültig.

Wird die korrespondierende Zeitfunktion einer Übertragungsfunktion in Zeitkonstanten- oder Nullstellen-Darstellung in den Transformationstafeln ohne das Laplace-transformierte Eingangssignal gesucht, ist das Ergebnis immer die Impulsantwort des Systems.

Lineare Regelstreckenarten

Die Zeitkonstante T besagt für ein Verzögerungsglied 1. Ordnung, dass ein Ausgangssignal nach einem Sprung eines Eingangssignals ca. 63 % des Wertes des Eingangssignals erreicht hat und sich der Signalverlauf asymptotisch - nach ca. 3 bis 4 Zeitkonstanten - an den Maximalwert des Eingangssignal annähert.

• Ein Verzögerungsglied 1. Ordnung (PT1-Glied) verhält sich zeitinvariant, wenn für ein ansteigendes (Sprung) oder abfallendes (Rücksprung) Eingangssignal u(t) das Zeitverhalten (Zeitkonstante) sich nicht ändert. Dies erklärt sich aus der zugehörigen gewöhnlichen Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten.

• Ein Verzögerungsglied 2. Ordnung mit konjugiert komplexen Polen, z.  B. ein gedämpftes Feder-Masse-System, wird als Schwingungsglied bezeichnet. Die Sprungantwort nähert sich je nach Dämpfungsgrad D mit ausklingender Schwingung dem maximalen Wert der Eingangsgröße an.

• Eine Regelstrecke mit mehreren PT1-Gliedern bezeichnet man als Regelstrecke mit Ausgleich, auch als globales (proportionales) P-Verhalten.

• Eine Regelstrecke mit mehreren PT1-Gliedern und einem I-Glied bezeichnet man als Regelstrecke mit globalem I-Verhalten.

• Eine totzeitbehaftete Regelstrecke mit Verzögerungsgliedern kann nicht beliebig algebraisch berechnet werden. Es sei denn, die Totzeit wird annäherungsweise als gebrochen-rationale Funktion mit Verzögerungsgliedern definiert.

Vorteil der Systembeschreibung mit Übertragungsfunktionen (ohne Totzeitverhalten)

• Einfache algebraischen Berechnung beliebiger Systemverknüpfungen aller Einzelsysteme möglich
• Regelkreisglieder des Reglers und der Regelstrecke der offenen Kreises können zu einem Regelkreis geschlossen werden. Die sich daraus ergebenden Polynome können in Pole und Nullstellen zerlegt werden und wieder als faktorielle Grundglieder (Linearfaktoren) meist in Zeitkonstanten-Darstellung geschrieben werden.
• Sämtliche Systemeigenschaften lassen sich aus der Pol-Nullstellendarstellung ablesen.
• Mit den grafischen Methoden "Ortskurve des Frequenzgangs" und dem "Stabilitätskriterium von Nyquist" lässt die Stabilität des geschlossenen Regelkreises anhand der Einzelsysteme G(s) des offenen (aufgeschnittenen) Regelkreises bestimmen.
• Für ein bekanntes Laplace-transformiertes Test-Eingangssignal wie die Sprung- oder Stoßfunktion kann über die Anwendung von Laplace-Transformationstabellen das Zeitverhalten eines Einzelsystems oder eines Regelkreises berechnet und grafisch dargestellt werden.
• Reglerentwurf

Regelstrecken können vereinfacht werden, wenn durch PD1-Glieder des Reglers Verzögerungsglieder (PT1-Glieder) kompensiert werden.

Übertragungsfunktion und Frequenzgang

Die Übertragungsfunktion ist eine nicht messbare Funktion des Verhältnisses der Laplace-transformierten Ausgangsgröße zur Eingangsgröße. Sie kann jederzeit in den Frequenzgang bei identischen Koeffizienten (Zeitkonstanten) überführt werden.
Der Frequenzgang ist ein Spezialfall der Übertragungsfunktion.

$F(j\omega )={\frac {Y(j\omega )}{U(j\omega )}}$

Im Gegensatz zur Übertragungsfunktion kann der Frequenzgang eines linearen Übertragungssystems gemessen werden, indem ein sinusförmiges Eingangssignal konstanter Amplitude mit variabler Frequenz das unbekannte System erregt und die Ausgangsgröße aufgezeichnet wird. Die Entstehungsgeschichten des Frequenzgangs und der Übertragungsfunktion sind unterschiedlich, die Schreibweisen können identisch bleiben.

Mit den grafischen Methoden "Ortskurve des Frequenzgangs" und dem "Stabilitätskriterium von Nyquist" kann auch das Totzeitverhalten eines Teilsystems behandelt werden, weil diese Verfahren sich auf den offenen Regelkreis beziehen.

Sprungantwort von einem Sprung und einem Rücksprung eines Systems mit Totzeit T_t = 2[s] und 4 in Reihe geschalteten zeitinvarianten Verzögerungsgliedern mit je T = 1[s].

Zeitinvariante und zeitvariante Regelstreckenkomponenten

Beispiel Gebäudeheizung: In einem geheizten Gebäude fließt der erzeugte Wärmestrom vom Heizkörper über die Raumluft zu den Gebäudewänden über die Isolierungen an die Außenwitterung. Die verschiedenen Wärmeströme zwischen den Massen und zugehörigen Isolierungen haben je ein bestimmtes Zeitverhalten, das für eine Analyse der gesamten Regelstrecke zu definieren ist.

Zeitinvarianz

Bei den bisher dargestellten dynamischen Systemen handelt es sich um zeitinvariante Systeme mit konzentrierten Energiespeichern.

Ein dynamisches Übertragungssystem ist zeitinvariant, wenn es sich über die Zeit nicht ändert. D.  h. die Systemantwort y(t+t₀) auf ein identisches Eingangssignal u(t+t₀) ist von t₀ unabhängig. Die Koeffizienten der mathematischen Systembeschreibung sind konstant (zeitlich unveränderlich, invariant).

Ein zeitinvariantes Verzögerungsglied (PT1-Glied) verhält sich für einen Signaleingangssprung wie auch für den Signalrücksprung identisch, d.  h. es strebt immer asymptotisch beim Ansprung den Maximalwert oder beim Rücksprung den Anfangswert mit gleicher Zeitkonstante an.

Zeitvarianz

Messtechnische Erfassung des Wärmeflusses als Sprungantwort einer Sandsteinplatte an zwei Messorten

Für die Beschreibung eines dynamischen Systems z.  B. bei einem Wärmestrom in einem homogenen Materialstoff (Wasser, Luft, Stein) handelt es sich um ein System mit räumlich verteilten Energiespeichern.

Ein zeitvariantes System verhält sich zu verschiedenen Zeitpunkten unterschiedlich. Bei technischen Systemen liegt der Grund dafür meist in zeitabhängigen Parameterwerten, zum Beispiel durch Änderung der Koeffizienten der Energiespeicher [zeitabhängige Koeffizienten der Ableitungen y(t)].

Bei vielen Prozessen sind die Auswirkungen der Zeitvarianz so klein oder langsam, dass diese Systeme näherungsweise als zeitinvariant behandelt werden können.

Die den Übertragungsfunktionen zugehörigen gewöhnlichen Differenzialgleichungen haben konstante Koeffizienten. Konstante Koeffizienten bedeuten, dass sich das Zeitverhalten des Systems nicht ändert. Wird z.  B. das Zeitverhalten einer beschleunigten Masse beschrieben und es handelt sich um eine beschleunigte Rakete, die ihre Masse ändert, so handelt es sich um einen zeitvarianten Vorgang.

Mathematisches zeitvariantes Modell des Wärmeflusses in einem homogenen Medium z.  B. Luft

Das Übertragungsverhalten eines Signalsprungs in einem räumlichen homogenen Medium (Materialstoff) zeigt sich in seinem zeitlichen Verhalten zwischen zwei Messpunkten angenähert als Verzögerungsglied 1. Ordnung mit einer Totzeit und unterschiedlichen Zeitkonstanten.

Das mathematische Modell für den Wärmefluss in einem homogenen Medium lässt sich nach der Aufzeichnung der Sprungantwort durch ein einfaches Modell mit einem PT1-Glied und einem Totzeitglied annähern. Die Parameter der Ersatztotzeit T_tE und der Ersatzzeitkonstanten T_E können anhand eines aufzuzeichnenden Messprotokolls experimentell bestimmt werden.

$G(s)=\left.{\frac {e^{-{T_{tE}}\cdot s}}{(T_{E}\cdot s+1)}}\right|_{T_{E}=T_{2}\ beiAbfall}^{T_{E}=T_{1}\ beiAnstieg}$

Für eine Gebäudeheizung wird berücksichtigt, dass die Aufheizung des Kessels schnell und die Abkühlung wegen der Wärmeisolierungen langsam erfolgt. Das Gleiche gilt für den Energieabfluss vom Heizkörper an die Raumluft und über die Wände an die Außenwitterung. Solche Systeme verhalten sich zeitvariant, d.  h. für einen Signalsprung hat das System eine andere Zeitkonstante als für einen Signal-Rücksprung. Je besser die Isolierung eines aufgeheizten Mediums ist, um so unterschiedlicher sind die Zeitkonstanten für die Aufheizung (klein) und der Wärmeabfluss (groß).

Falls die Darstellung der Totzeit mit dem Rechenprogramm Probleme bereitet, kann die dargestellte Modellgleichung auch praktisch identisch durch eine sehr gute Annäherung mit Ersatztotzeiten durch z.  B. n = 3 PT1-Glieder wie folgt dargestellt werden:

$G(s)=\left.{\frac {1}{(T_{E}\cdot s+1)({\frac {T_{t}}{n}}\cdot s+1)^{n}}}\right|_{T_{E}=T_{2}\ beiAbfall}^{T_{E}=T_{1}\ beiAnstieg}$

Nichtlineares Übertragungssystem

Die lineare Systemeigenschaft ist häufig nicht gegeben, da viele zusammenwirkende Systeme z. B. in der Regelungstechnik bei Ventil-Kennlinien, Stellgrößenbegrenzungen oder Schaltvorgängen keine Linearität aufweisen.

Beispiele nichtlinearer Übertragungssysteme

Ein nichtlineares System kann entweder in Form nichtlinearer statischer Kennlinien oder in Form nichtlinearer Operationen wie Multiplikation oder Division von Variablen in algebraischen Gleichungen und Differentialgleichungen auftreten.

Ein nichtlineares dynamisches System 2. Ordnung entsteht beispielsweise durch ein Feder-Masse-Dämpfer-System, wenn das Federsystem oder der Dämpfer ein nichtlineares Verhalten hat. Anhand der Vielzahl der Formen nichtlinearer Systeme ist es schwierig, diese in bestimmte Klassen einzuordnen. Nichtlineare Systeme kann man als einzigartig einstufen.

Bei nichtlinearen Übertragungssystemen wirkt mindestens eine nichtlineare Funktion in Verbindung mit linearen Systemen. Diese nichtlinearen Funktionen werden nach stetigen und unstetigen Nichtlinearitäten unterschieden. Stetige Nichtlinearitäten weisen keine Sprünge der Übertragungskennlinie auf wie z.  B. bei quadratischem Verhalten. Unstetige Übertragungskennlinien wie bei Begrenzungen, Hysterese, Ansprechempfindlichkeit, Zwei- und Mehrpunkt-Charakter haben keinen kontinuierlichen Verlauf.

Das Prinzip der Superposition gilt nicht bei nichtlinearen Übertragungssystemen.

Folgende Beziehungen ergeben sich bei nichtlinearen Systemen:

• Wird ein nichtlineares Übertragungssystem in einem festen Arbeitspunkt betrieben, dann kann das nichtlineare Verhalten des Systems durch ein lineares Modell für die nähere Umgebung des Arbeitspunktes ersetzt werden.
• Jeder nichtlineare Zusammenhang kann im Kleinsignalverhalten näherungsweise linear beschrieben werden. Die Näherung wird umso besser, je kleiner der Differenzenquotient y(t) zu u(t) am Arbeitspunkt ist.
• Ist eine nichtlineare Funktion als grafische Kennlinie gegeben, dann kann durch Anlegen einer Tangente im gewünschten Arbeitspunkt die Steigung der Tangente für die linearisierte Beziehung bestimmt werden
• Ein nichtlineares dynamisches System mit kontinuierlich fallender oder steigender Kennlinie kann auch durch Einbindung in einen eigenen Regelkreis linearisiert und damit auch in seinem dynamischen Verhalten verbessert werden.
• Nichtlineare Differenzialgleichungen lassen sich meist nur numerisch lösen. Wenn ein Übertragungssystem in Teilsysteme zerlegt werden kann und das nichtlineare Verhalten einzelner Systeme als analytische Gleichung oder Wertetabelle vorliegt, kann relativ einfach das Verhalten eines nichtlinearen dynamischen Systems berechnet werden.
• Das Zusammenwirken von unstetigen, nichtlinearen, statischen Systemen mit linearen Systemen zu Regelkreisen kann mit dem grafischen Verfahren der Harmonischen Balance optimiert werden. Die Anwendung der Harmonischen Balance zur Analyse von nichtlinearen Regelkreisen mit dem anschaulichen Zwei-Ortskurven-Verfahren zeigt, wann Dauerschwingungen auftreten und wie sich Dauerschwingungen vermeiden lassen.
• Flachheitsbasierte Systeme

Flachheit in der Systemtheorie ist eine Systemeigenschaft, die den Begriff der Steuerbarkeit linearer Systeme auf nichtlineare Systeme ausweitet. Ein System, das die Flachheitseigenschaft besitzt, heißt flaches System.

Die Flachheitseigenschaft ist für die Analyse und Synthese nichtlinearer dynamischer Systeme nützlich. Sie ist besonders vorteilhaft für die Trajektorienplanung und asymptotische Folgeregelung nichtlinearer Systeme.

Grundlagen der numerischen Berechnung von dynamischen Übertragungssystemen

Relativ einfache Übertragungssystem-Strukturen mit nichtlinearen Elementen sind durch konventionelle Rechenmethoden im kontinuierlichen Zeitbereich nicht mehr geschlossen lösbar. Mit handelsüblichen Personal-Computern kann das Verhalten beliebig vermaschter Systemstrukturen mittels numerischer Berechnung relativ einfach ausgeführt werden.

Für die Durchführung der Berechnung von Übertragungssystemen oder der Simulation von Regelkreisen bieten sich käufliche Rechenprogramme an. Mit den bekannten Programmen wie MATLAB und Simulink stehen umfangreiche Befehlssätze für die theoretische Modellierung von dynamischen Systemen und vielen speziellen regelungstechnischen Befehlen zur Verfügung.

Alternativ können mit selbst erstellten beliebigen Rechenprogrammen bei Anwendung von Differenzengleichungen in Verbindung mit logischen Operatoren sehr effiziente Regelkreis-Simulationen durchgeführt werden. Dabei sind relativ geringe mathematische Kenntnisse erforderlich.

Treten Begrenzungseffekte im Regler oder Totzeitsysteme in der Regelstrecke auf, oder der Regler hat nichtlineare Eigenschaften wie der Zweipunktregler, kann das zeitliche Verhalten des Regelkreises nur numerisch mit der diskreten Zeit Δt berechnet werden. Auch die Berechnung von dynamischen Systemen mit dem Verfahren der Zustandsraumdarstellung ist mit einem Totzeitsystem nicht ohne numerische Berechnung möglich.

Die numerische Berechnung erlaubt tabellarisch und grafisch eine völlige Durchsicht des inneren Bewegungsablaufs dynamischer Übertragungssysteme. In Verbindung mit logischen Programmbefehlen und Wertetabellen lassen sich nichtlineare, begrenzende und totzeitbehaftete Systeme simulieren.

Methode der numerischen Berechnung

Werden die Differenziale der Ausgangsgröße y(t) einer Differenzialgleichung durch kleine Zeit-Differenzen (Differenzenquotienten Δy / Δt) als diskretisierte Zeit ersetzt, entsteht eine numerisch lösbare Differenzengleichung in Annäherung an die Differenzialgleichung. Zweckmäßig ist die Umwandlung linearer Grundsysteme (Teilsysteme wie I-, PT1-, D-, PD-Glieder) in Differenzengleichungen. Diese können je nach Lage im Signalflussplan mit nichtlinearen Systemen oder Systemen mit Totzeit und deren numerischen Berechnungsmethoden rekursiv behandelt werden.

Differenzengleichungen oder eine Kette von Differenzengleichungen, die mehrere hintereinander geschaltete Teilsysteme beschreiben, lassen die Ausgangsgröße algebraisch für einen kleinen Zeitschritt errechnen. Die numerische Gesamtlösung des Systems erfolgt – bei einfachen Differenzengleichungen – rekursiv (sich selbst aufrufend) über viele Berechnungsfolgen in je kleinen konstanten Zeit-Stufen. Die Form der Gesamt-Lösung ist damit tabellarisch. Alle Zeilen enthalten die gleichen Differenzengleichungen, alle Spalten berechnen die Folgen k (0, 1, 2, 3, ...k_MAX). Der gesamte betrachtete Zeitraum der numerischen Lösung beträgt k_MAX * Δt. Die Ausgangsgröße y(k, Δt) folgt in Amplituden-Stufen im zeitlichen Abstand Δt einer jeden Berechnungsfolge.

Die tabellarische Form der numerischen Lösung erlaubt auch die Berechnung nichtlinearer statischer Systeme, indem die nichtlineare Beziehung als Wertetabelle der Tabellenspalte der Berechnungsfolge k zugeordnet wird. Ebenso ist die Berechnung der Totzeit eines Systems durch Verschiebung der Zeilen mit geeigneten Programmbefehlen möglich.

→ Siehe Hauptkapitel Systemtheorie (Ingenieurwissenschaften)#Numerische Berechnung dynamischer Systeme

Die numerische Berechnung bezieht sich auf folgende Anwendungen:

Rechteck-Approximation eines PT1-Gliedes durch Berechnung mit einer Differenzengleichung.

• Lineare Systeme

Mit Hilfe der Systembeschreibungen als Übertragungsfunktionen G(s) ist die Anzahl der wenigen verschiedenen Grundsysteme (Linearfaktoren im Zähler und Nenner der Übertragungsfunktion) festgelegt. Dafür existieren aus den zugehörigen systembeschreibenden Differenzialgleichungen die daraus abgeleiteten Differenzengleichungen.

Die einfachsten Differenzengleichungen entstehen nach dem "Euler'schen Streckenzugverfahren" (auch Rechteckverfahren). Andere Methoden bedienen sich zur besseren Approximation z.  B. an Stelle des Rechteck-Verfahrens (Explizites Eulerverfahren) des Trapezflächenverfahrens (Heun-Verfahren), des Mehrschrittverfahrens (Runge-Kutta-Verfahren) und anderer Verfahren.

Grund der aufwendigeren Approximationsverfahren ist die erzielbare höhere Genauigkeit und damit Reduzierung der Rekursionsfolgen, was bei langsamen Rechnern bei Echtzeitberechnungen erforderlich sein kann.

Mit Differenzengleichungen von dynamischen Systemen kann auch der Anfangswert der Ausgangsgröße y(t) bzw. y(k*Δt) berechnet werden, indem alle Verzögerungen den gleichen Anfangswert bekommen. Für die Berechnung der Anfangswerte von Ableitungen von y(t) ist die Differenzengleichung eines Verzögerungsgliedes nicht brauchbar.

• Nichtlineare Systeme

Bei nichtlinearen Systemen wie dem unstetigen statischen Mehrpunktregler besteht die numerische Beschreibung aus einfachen nichtlinearen Gleichungen. Die logische Beschreibung kann mit der WENN-, DANN-; SONST-Anweisung der Tabellenkalkulation erfolgen.

Nichtlineare unstetige statische Kennlinien, die nicht über analytische Gleichungen beschrieben werden können, lassen sich als Tabellenspalten innerhalb der Gesamttabelle einfügen.

• Anfangswerte der inneren Energiespeicher einer systembeschreibenden Differenzialgleichung

Ein Zustandsraummodell symbolisiert die überführte Differenzialgleichung n-ter Ordnung in n-gekoppelte Zustands-Differentialgleichungen erster Ordnung.

Die Zustandsvariablen beschreiben physikalisch den Energiegehalt der in einem dynamischen System enthaltenen Speicherelemente.

Die numerische Berechnung bezieht sich dabei auf den Signalflussplan der Regelungsnormalform des Zustandsraumes. Die systembeschreibende Differenzialgleichung wird in expliziter (geordneter, nach der höchsten Ableitung y(t)) Darstellung in ein Signalflussdiagramm gebracht, wobei die Anzahl der Ableitungen von y(t) die Anzahl der Integratoren bestimmen. Die Regelungsnormalform ähnelt signaltechnisch der elektrischen Schaltung eines Analogrechners zur Lösung einer Differenzialgleichung mit Anfangswerten.

Die Integratoren der Regelungsnormalform werden auf die gewünschten Anfangswerte gesetzt. Die System-Ausgangsgröße y(t) entspricht immer der Addition der homogenen und partikulären Lösung der DGL.

Simulation dynamischer Systeme Mit der Simulation eines mathematischen Modells eines Übertragungssystems bzw. eines Regelkreises ergibt sich die Möglichkeit, mit geeigneten Testsignalen eine Systemanalyse oder eine Systemoptimierung durchzuführen.

Der Vorteil der Simulation an einem Modell liegt auf der Hand. Es werden keine technischen Anlagen gefährdet, bzw. benötigt, der Zeitfaktor spielt keine Rolle, es können sehr schnelle oder sehr langsame Prozesse optimiert werden. Voraussetzung ist die mathematische Beschreibung eines gut angenäherten Modells der meist technischen Regelstrecke.

Zur numerischen Berechnung des Zeitverhaltens regelungstechnischer Anlagen mit Totzeit existieren bezüglich der Analyse und Optimierung von Systemen bei Anwendung kommerzieller Programme oder einfacher Programme mit Differenzengleichungen keine anderen Alternativ-Verfahren.

Lösung einer Differenzialgleichung mit Anfangsbedingungen eines dynamischen Systems

Häufig interessiert bei einer Regelung zur Erkennung der Regeleigenschaften das Verhalten der Regelgröße durch eine sprunghafte Änderung des Sollwertes. Ebenso interessiert das Verhalten der Regelgröße bei einer sprunghaften oder stetigen Änderung einer Störgröße. Übliche Systemtests von beliebigen physikalischen Regelgrößen von Regelkreisen beziehen sich auf ein Eingangssignal z.  B. bei einer Sollwertänderung für einen bestimmten Zeitpunkt auf ein sprungartiges, normiertes Eingangssignal von Null nach 1 = 100 %. Analysiert wird das Verhalten der Sprungantwort, ob es sich in den gewünschten Grenzen bewegt.

Beispielsweise kann eine funktionierende Zentralheizung bei Abwesenheit der Hausbewohner im Winter niemals abgeschaltet werden, anderenfalls würden bei negativen Außentemperaturen [°C] die Wohnräume und die darin befindlichen Güter wie Pflanzen und die Anlagen der Brauchwasserversorgung einfrieren. In diesem Fall startet die Heizungsanlage mit der Heizkörper- und Referenzraumtemperatur von Anfangswerten des Frostschutzbetriebs in den normalen Heizungsbetrieb, wenn dieser gewünscht wird.

Anfangsbedingungen können sich auf Werte von Signalen beziehen, mit denen ein dynamischen Prozess gestartet wird.

Sind als Anfangsbedingungen die Werte der inneren Systemspeicher eines dynamischen Systems gemeint, dann handelt es sich um ein sogenanntes Anfangswertproblem.

Der Zustand eines dynamischen Systems (z.  B. die Regelstrecke) ist durch den Energiegehalt der im System enthaltenen Energiespeicher bestimmt. Diese Anzahl zeigt sich bei der Übertragungsfunktion erkenntlich durch den größten Exponenten der Laplace-Operatoren s, bzw. bei der zugehörigen Differenzialgleichung durch die höchste Ordnung der Ableitungen der Ausgangsgröße y(t) und der Eingangsgröße u(t).

Zu einem beliebigen Zeitpunkt t = t₀, der als Anfangszustand der Ausgangsgröße y(t) bezeichnet wird, folgt die Ausgangsgröße y(t) in Abhängigkeit des Anfangszustandes und des Eingangssignals u(t) für t>t₀ für beliebig lange Zeiten. Dazu wird die Vorgeschichte des Systems für t < 0 nicht benötigt.

Bestimmung der Anfangswerte einer systembeschreibenden Differenzialgleichung

Die Systembeschreibung des Zeitverhaltens einer noch nicht ausgeführten linearen Regelstrecke kann durch Aufstellen der Differenzialgleichung erfolgen. Ist eine realisierte unbekannte Regelstrecke gegeben, können durch geeignete Testsignale und Analyse der Sprung- oder Impulsantwort oder auch durch die Aufnahme des Frequenz- und Phasengangs Funktionsblöcke als Übertragungsfunktionen bestimmt werden. Die inverse Laplace-Transformation erlaubt die Bestimmung der Differenzialgleichung aus der Übertragungsfunktion.

Die gewöhnliche Differenzialgleichung (Abkürzung DGL) beschreibt ein lineares Übertragungssystem mit n Energiespeichern durch n Ableitungen der Systemausgangsgröße y(t) und m Ableitungen der Eingangsgröße u(t) des Systems.

Die Lösung einer DGL erfolgt durch Integration. Die Lösung einer inhomogenen DGL besteht aus der allgemeinen Lösung der homogenen DGL und einer speziellen Lösung (partikuläre Lösung) der inhomogenen DGL. Die Gesamtlösung der DGL ist die Summe der homogenen und partikulären Lösungen und zeigt den zeitlichen Verlauf der Systemausgangsgröße y(t) als Folge eines gegebenen Eingangssignals u(t).

Die homogene Lösung der DGL beschreibt das Systemverhalten mit Anfangswerten der Systemspeicher zum Zeitpunkt t = 0 und dem Eingangssignal u(t) = 0. Die homogene Lösung der DGL ist 0, wenn alle Anfangsbedingungen von y(t) und deren Ableitungen als y₍₀₎ = 0 sind.

Die partikuläre Lösung der DGL beschreibt das Übertragungsverhalten von y(t) für u(t) ≠ 0 als erzwungene Bewegung.

Das konventionelle Lösen der Differenzialgleichung mit einem Lösungsansatz (homogene Lösung) und nach dem Faltungsintegral (partikuläre Lösung) und Bestimmung der Integrationskonstanten (wegen der unbestimmten Integration) ist sehr aufwändig und für den praktischen Gebrauch in der Regelungstechnik ungeeignet. Das dafür infrage kommende mathematischen Werkzeug ist die numerische Berechnung mit der diskreten Zeit Δt.

Bei der numerischen Berechnung eines Übertragungssystems mit Anfangswerten oder ohne Anfangswerte ergibt sich das Anfangswertproblem der Bestimmung der Integrationskonstanten C nicht. Die numerische Integration bezieht sich dabei auf ein bestimmtes Integral. Die Integrationsgrenzen beginnen mit den jeweiligen Anfangswerten der Berechnungsfolge k = (0, 1, 2, 3,...k_MAX) mit k = 0 und enden mit der gewünschten Betrachtungsdauer der rekursiven Berechnungsfolgen k_MAX * Δt.

Fallunterscheidung der Anfangswerte für ein Übertragungssystem mit 2 PT1-Gliedern in Reihenschaltung

Eingangssprung bei t = 0. u(t) = 1.

Anmerkung zum Verständnis: Anfangswerte für gewöhnliche Differenzialgleichungen können mit der Zustandsraumdarstellung relativ einfach erklärt werden. Aus der Zustandsraumdarstellung werden die Zustandsgrößen der Differenzialgleichung für die Ausgangsgröße y(t) mit x1 und jede weitere Ableitung von y'(t)....yⁿ(t) mit x₂....x_n bezeichnet. In der Regelungsnormalform sind die Zustandsgrößen x die Ausgangsgrößen von Integratoren, die mit Anfangswerten voreingestellt werden können.

• Fall 1: Die Anfangsbedingungen sind Null.

Der zeitliche Verlauf der Sprungantwort eines normierten Sprung-Eingangssignals u(t) = 1 ähnelt der bekannten angenäherten S-Form mit Wendepunkt und startet von y(t) = 0 und erreicht nach einigen dominanten Zeitkonstanten asymptotisch das Maximum y(t) = 1.

Die Sprungantwort entspricht einer partikulären Lösung, die auch mit beliebigen Verfahren wie numerisch mit Differenzengleichungen, mit Transformationstabellen oder mit der Partialbruchzerlegung berechnet werden kann.

• Fall 2: Es wird eine Anfangsbedingung für x1 [y(t) = Anfangswert y₀] gegeben. x2 [y'(t) = y'₀ = 0], y₀ < 1

Die Ausgangsgröße der PT1-Glieder starten von dem gewünschten Anfangswert und nähert sich exponentiell der maximalen Ausgangsgröße an. Dies entspricht einer Zustandsvariablen x2 (y'₀ = 0) und x1 (y₀ = Anfangswert).

Solange nur ein Anfangswert der Ausgangsgröße y(t) gegeben ist, ist die numerische Berechnung einfach, weil für z.  B. bei Verzögerungsgliedern die zugehörigen Differenzengleichungen benutzt werden können. Für alle Differenzengleichungen gilt im 1. Berechnungszyklus (Berechnungsfolge k = 0) der Bezug zur Folge k-1 nicht der Wert Null, sondern der gewünschte Anfangswert.

• Fall 3: Es werden 2 der möglichen Anfangswerte für x2 [y'(t) = Anfangswert y'₀] und x1 [y(t) = Anfangswert y₀] gegeben. y₀ < 1, Y'₀ < 1.

Die Ausgangsgröße y(t) der PT1-Glieder startet von einem Anfangswert y₀, bei dem der zeitliche Verlauf der Übergangsfunktion zwischen Null und dem Anfangswert abgeschnitten wurde. Das Ergebnis ähnelt dem zeitlichen Verlauf einer Verzögerung 1. Ordnung.

Sollen allgemein mehrere oder alle Ableitungen einer Differenzialgleichung für y(t) Anfangswerte erhalten, empfiehlt sich die Anwendung Zustandsraumdarstellung.

Die numerische Berechnung bezieht sich dabei auf den Signalflussplan der Regelungsnormalform des Zustandsraumes. Die Regelungsnormalform ähnelt signaltechnisch der elektrischen Schaltung eines Analogrechners zur Lösung einer Differenzialgleichung mit Anfangswerten.

Die Integratoren der Regelungsnormalform werden auf die gewünschten Anfangswerte gesetzt. Die System-Ausgangsgröße y(t) entspricht immer der Addition der homogenen und partikulären Lösung der DGL.

Zur numerischen Berechnung kommt die Differenzengleichung der Integration zur Anwendung.

Berechnungsbeispiel einer gewöhnliche Differenzialgleichung 2. Ordnung mit Anfangsbedingungen

Signalflussplan zur Lösung einer DGL mit Anfangswerten in der expliziten Darstellung

• Die systembeschreibenden gewöhnlichen Differenzialgleichungen mit und ohne Anfangsbedingungen können mit Hilfe der grafischen Darstellung der Regelungsnormalform der Zustandsraumdarstellung gelöst werden. Die Regelungsnormalform entspricht auch im Prinzip dem Signalflussplan des Analogrechners zur Lösung von gewöhnlichen Differenzialgleichungen.

Integratoren für die Berechnung der Zustandsvariablen x_i werden auf die gewünschten Anfangswerte gesetzt. X1(t) = y(t) ist die Lösung der Differenzialgleichung.

• Die systembeschreibenden gewöhnlichen Differenzialgleichungen können besonders einfach mit Differenzengleichungen numerisch gelöst werden. Anfangswerte sind auf die Ausgangsgröße y(t) mit y₀ beschränkt.

Beispiel der Berechnung der Sprungantwort von 2 PT1-Gliedern in Reihenschaltung

Gegeben: Übertragungsfunktion:

$G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {1}{(2\cdot s+1)\cdot (s+1)}}={\frac {1}{2\cdot s^{2}+3\cdot s+1}}$

Allgemeine Form der systembeschreibenden DGL 2. Ordnung:

$a_{2}\cdot {\ddot {y}}(t)+a_{1}\cdot {\dot {y}}(t)+a_{0}\cdot y(t)=b_{0}\cdot u(t)\,$

Zugehörige systembeschreibende Differenzialgleichung in expliziter (geordneter, nach der höchsten Ableitung y(t)) Darstellung:

${\ddot {y}}(t)=0,5\cdot u(t)-1,5\cdot {\dot {y}}(t)-0,5\cdot y(t)\,$

Fall 1: Berechnung mit Differenzengleichungen ohne Anfangswerte

• Anfangswerte der Energiespeicher (Integratoren): y'₀ = 0; y₀ = 0. Verstärkungsfaktor K_PT1 = 1.
• Eingangsgröße u(k) ist eine normierte Sprungfunktion 1 für t > 0.
• Zugehörige Differenzengleichung für ein PT1-Glied zur Berechnung der Anfangswerte nach Fall 1 lautet:

$y_{(k)}=y_{(k-1)}+[K_{PT1}\cdot u_{(k)}-y_{(k-1)}]\cdot {\frac {\Delta t}{T+\Delta t}}$

• Die numerische Berechnung der zwei in Reihe geschalteten PT1-Glieder erfolgt tabellarisch durch Aufstellen einer Berechnungszeile aller Gleichungen.
• y_(k) ist der aktuelle Wert der numerischen Gleichung.
• y_(k-1) ist der um eine Folge zurückliegende Wert von y_(k).
• Diese Berechnungszeile wird je nach gewünschter Genauigkeit rekursiv 100- bis 1000-mal berechnet. y(k*Δt) ist ein Wert der Ausgangsgröße y einer beliebigen Folge eines bestimmten Zeitpunktes.
• Eingangsgröße ist ein Sprungsignal, u(t) = 1. Die Ausgangsgröße y(t) berechnet sich hintereinander durch Anwendung der zwei Differenzengleichungen mit den angegebenen Zeitkonstanten.
• Die diskretisierte Zeit Δt muss wesentlich kleiner sein als die Zeitkonstanten. Die Berechnung erfolgt tabellarisch rekursiv für k Folgen.

Darstellung der Sprungantwort eines dynamischen Übertragungssystems mit Anfangswerten der inneren Systemspeicher

Fall 2: Berechnung mit Differenzengleichungen, ein Anfangswert für y(t)

• Anfangswerte der Energiespeicher (Integratoren): y'₀ = 0; y₀ = 0,3. Verstärkungsfaktor K_PT1 = 1.
• Eingangsgröße u(k) ist eine normierte Sprungfunktion 1 für t > 0.
• Für den Anfangswert in y₀(t) wird in beiden Differenzengleichungen für die erste Berechnungsfolge k = 0 der Ausdruck y_(k-1) für beide PT1-Glieder der gegebene Anfangswert y₀ = 0,3 gesetzt.
• Die numerische Berechnung erfolgt in gleicher Weise wie bei dem Beispiel: Fall 1.

Fall 3: Numerische Berechnung mit der Regelungsnormalform der Zustandsraumdarstellung (Signalflussplan des Analogrechners)

Gängige Berechnungsmethode zur Lösung von Differenzialgleichungen mit mehreren Anfangswerten.

• Anfangswerte der Energiespeicher (Integratoren): y'₀ = 0,3; y₀ = 0,3. Verstärkungsfaktor K_PT1 = 1.
• Eingangsgröße u(k) ist eine normierte Sprungfunktion 1 für t > 0.
• Die explizite Darstellung der Differenzialgleichung wird in einen grafischen Signalflussplan umgeformt, der auch einer Analogrechenschaltung zur Lösung von Differenzialgleichungen entspricht. Die numerische Berechnung bezieht sich auf eine algebraische Umsetzung sämtlicher Komponenten des Signalflussplanes.
• Die Regelungsnormalform enthält als zeitabhängige Systeme der zwei PT1-Glieder nur zwei I-Glieder. Die Ausgänge der Integratoren werden mit den Differenzengleichungen berechnet. Für den Ausdruck X1 (y_(k-1)) und X2 (y'_(k-1)) werden einmalig in der ersten Berechnungsfolge die beiden Anfangswerte gesetzt.

• Zugehörige Differenzengleichung für ein I-Glied:

$y_{(k)}=y_{(k-1)}+u_{(k)}\cdot {\frac {\Delta t}{T}}$

• Die numerische Berechnung der Regelungsnormalform für ein Differenzialgleichungssystem mit zwei in Reihe geschalteten PT1-Gliedern mit Anfangswerten erfolgt durch Aufstellen einer Berechnungszeile aller Gleichungen. Diese Berechnungszeile wird je nach gewünschter Genauigkeit rekursiv 100- bis 1000-mal berechnet. y(k*Δt) ist ein Wert der Ausgangsgröße y einer beliebigen Folge eines bestimmten Zeitpunktes.

Regelkreisentwurf

Der Entwurf einer Reglung - die Verbindung eines geeigneten Reglers mit der Regelstrecke zu einem geschlossenen Kreis - ist die eigentliche Aufgabe der Regelungstechnik.

Häufige Anwendungen der Regelung physikalischer Größen

Nachfolgende Auflistung nennt unabhängig von konkreten Anwendungen einige physikalische bzw. chemische Größen, die typischerweise als Regelgrößen auftreten.

• Temperaturregelung
• Druck- und Kraftregelung
• Durchfluss- und Mengenregelung
• Füllstandsregelung
• Lage-, Positions-, und Entfernungsregelung
• Geschwindigkeits- und Beschleunigungsregelung
• Drehzahl- und Drehmomentregelung
• Regelung chemischer Größen, wie Konzentrationen, in der Verfahrenstechnik

Grundlagen des Regelkreises

In einem normalen Regelkreis beliebiger physikalischer Größen bestimmt die Größe des Sollwertes und das Zeitverhalten der Regelstrecke in Verbindung mit dem Zeitverhalten des angepassten Reglers den zeitlichen Verlauf der Regelgröße. Je nach Angriff einer statischen oder flüchtigen Störgröße zeigt die Regelgröße zu diesem Zeitpunkt eine vorübergehende Regelgrößenänderung.

Eine statische Störgröße kann eine bleibende Regelabweichung hervorrufen, wenn die Kreisverstärkung z.  B. bei Verwendung eines stetigen proportionalen Reglers (P-Regler) nicht hoch genug ist. Die P-Verstärkung eines Reglers kann in einem Regelkreis nicht beliebig hoch gewählt werden, anderenfalls führt infolge der phasenverschiebenden Eigenschaften aller zeitabhängigen Komponenten des Regelkreises - bedingt durch die negative Rückführung - zur Instabilität (oszillatorische Instabilität).

Es ist Aufgabe des Reglers, das Zeitverhalten der Regelgröße bezüglich des statischen und dynamischen Verhaltens gemäß vorgegebener Anforderungen festzulegen. Zur Erfüllung widersprechender Anforderungen wie gutes Führungs- und Störverhalten sind gegebenenfalls aufwändigere Regelkreisstrukturen erforderlich.

Ein stabiler Regelkreis kann bei Parameteränderungen des Reglers oder der Regelstrecke instabil werden, selbst wenn die einzelnen Bestandteile des Regelkreises für sich genommen stabil sind. Andererseits kann sich ein Regelkreis auch stabil verhalten, wenn einzelne Bestandteile instabil sind.

Anmerkung:

• Für einen Regelkreis mit einer Regelstrecke 2. Ordnung, d.  h. die Regelstrecke besteht aus 2 Verzögerungsgliedern (PT1-Gliedern), kann die P-Verstärkung des Reglers theoretisch unendlich hoch gewählt werden, ohne dass Dauerschwingungen auftreten. Bei drei Verzögerungsgliedern mit dem ungünstigsten Fall von drei gleichen Zeitkonstanten ist der Grenzfall der Instabilität bei einer P-Verstärkung des Reglers von K = 8 gegeben. Erklären lässt sich dieses Verhalten mit dem Stabilitätskriterium von Nyquist.
• Eine positive Rückführung eines Regelkreises führt immer zur Instabilität (Monotone Instabilität)!
• Eine lineare monoton instabile Regelstrecke kann mit einem geeigneten Regler zu einem stabilen Regelkreis führen.

Kenngrößen der Übergangsfunktion des Regelkreises

Ein Regelkreis mit linearen Komponenten der Regelstrecke höherer Ordnung, eventuell mit kleiner Totzeit und geringer Begrenzung der Stellgröße des Reglers hat die im Grafikbild dargestellte typische Übergangsfunktion (Sprungantwort). Die nachfolgenden tabellarisch aufgestellten Kenngrößen, die durch Führungsgrößensprünge oder Störgrößensprünge entstehen, hängen von den Regel- und Streckenparametern ab. Mit systematischer Änderung der Regelparameter lassen sich die gewünschten Eigenschaften der Kenngrößen (auch Güteforderungen, Dynamikforderungen) erreichen.

Die nachfolgenden Begriffe der Kenngrößen der Übergangsfunktion sind in der Fachliteratur meistens einheitlich geführt. Die zugehörigen Abkürzungen sind es nicht.

Tabellarische Aufstellung der Kenngrößen der Übergangsfunktion eines Regelkreises:

Kenngrößen der Übergangsfunktion eines gedämpft schwingenden Systems höherer Ordnung

Bezeichnung	DIN IEC 60050	DIN 19226	Begriffsdefinition
Verzugszeit	Te	Tu	Zeit vom Eingangssprung nach Abschnitt der Wendetangente der Abszisse
Anstiegszeit (Ausgleichszeit)	Tb	Tg	Tangente Abschnitt Abszisse nach Abschnitt Sollwert
Anregelzeit (Einschwingzeit)			Zeit vom Eingangssprung bis y(t) das Toleranzband schneidet. Kenngröße der Reaktionsgeschwindigkeit einer Regelung.
Ausregelzeit (Ausschwingzeit)			Zeit vom Eingangssprung bis die Schwingamplituden y(t) innerhalb des Toleranzbandes liegen. Kenngröße des Abklingens der Schwingamplituden.
Überschwingweite			Größte Amplitude über dem Beharrungswert der Regelgröße. Beharrungswert = Istwert für t → ∞. (Führungsgrößensprung = 1).
Maximum der Regelgröße			Überschwingweite + Beharrungswert

Ließen sich diese Größen der Anregelzeit, der Ausregelzeit und der Überschwingweite gemeinsam minimieren, dann wäre der Regelkreis optimal dimensioniert. Leider zeigen die genannten Größen bei Änderung der Reglerparameter ein teilweise entgegengesetztes Verhalten. Erhöht man beispielsweise die Kreisverstärkung, verkürzt sich die Anregelzeit, die Ausregelzeit und die Überschwingweite vergrößern sich.

Der Regelkreis wird mit Hinblick auf das Führungs-, Stör- und Robustheitsverhalten optimiert. Welche Art der oben genannten Gütekriterien berücksichtigt werden soll, muss in einem Projekt-Lastenheft festgelegt werden.

Gütekriterien (Regelgüte, Integralkriterien, Güte des Regelverhaltens)

Man versteht darunter ein Maß für die zeitliche Abweichung der Sprungantwort der Regelabweichung y(t) zur Sprungfunktion der Führungsgröße w(t) über den vollen Einschwingvorgang durch Integration.

Bei diesen Integralkriterien wird die Regelabweichung w(t) – y(t) für die Dauer des Einschwingvorgangs auf verschiedene Arten integriert. Unterschieden wird die:

• lineare Regelfläche
• quadratische Regelfläche
• Betragsregelfläche: (Integration des Betrages der Regelabweichung)
• ITAE-Kriterium: Durch Multiplikation mit der Zeit werden die kleinen Schwingamplituden stärker berücksichtigt.

Anforderungen an einen Regelkreis

• Der Regelkreis muss stabil sein.

Die Stabilität des Regelkreises mit linearen zeitinvarianten Übertragungssystemen hängt von der Ordnung und den Parametern der Strecke, von der Struktur des Reglers und von den Parametern - insbesondere von der P-Verstärkung - des Reglers ab.

Wird eine Steuerstrecke aus linearen zeitinvarianten Systemen in Verbindung mit einem Regler zu einem Regelkreis gestaltet, dann werden in Bezug zum Verhalten der Steuerstrecke 2 Vorteile gewonnen:

• Die Regelgröße y(t) stellt sich auf das Niveau des Sollwertes w(t) ein, Störgrößen werden minimiert,
• Die dominante Zeitkonstante der Regelgröße verringert sich ungefähr um den Faktor der Kreisverstärkung.

Bei Vorhandensein differenzierender PD-Glieder im Regler wird die Verstärkung um einen dynamischen Anteil noch zusätzlich erhöht. Dabei kann die Stellgröße u(t) sehr große Werte annehmen. Dies ergibt sich aus der Berechnung der Schließbedingung (Signalflussalgebra) des Regelkreises.

Sprungantwort eines Regelkreises mit verschiedenen Begrenzungen des Stellgliedes bei hoher Kreisverstärkung K

Eine zu einer Regelstrecke umfunktionierte Steuerstrecke lässt sich ohne Energiezufuhr nicht schneller machen. Dieses Beispiel zeigt den Effekt der gerätetechnischen Signalbegrenzung der Stellgröße y(t), die häufig als Schnittstelle von Steuersignalen und Steuerenergie fungiert (z.  B. Stellantriebe, Ventile, usw.). Es ist Ermessenssache, ob die Leistungsschnittstelle zum Regler oder zur Regelstrecke gehört.

Die Übertragungsfunktion $G(s)={\tfrac {Y(s)}{W(s)}}$ dieses Beispiels eines einfachen Regelkreises enthält keinen Hinweis auf eine Signalbegrenzung und ist deshalb falsch, wenn eine Signalbegrenzung vorliegt. Übertragungsfunktionen gelten nur für lineare zeitinvariante Systeme.

Man kann durchaus Signalbegrenzungen ignorieren und kommt zu einem stabilen Regelkreis. Jedoch entspricht das Übergangsverhalten der Regelgröße y(t) bei Signalbegrenzungen nicht der Übertragungsfunktion des Regelkreises.

Ein wichtiges Verfahren der Bestimmung der Stabilität ist die Analyse des Nennerpolynoms der Übertragungsfunktion des Regelkreises, ob die Pole (Nullstellen des Nenners, die die Gleichung zu Null machen) in der linken s-Halbebene liegen. Siehe Kapitel „Stabilität des Regelkreises“!

• Der Regelkreis soll ein gutes Führungsverhalten und Störverhalten aufweisen.

Werden keine besonderen regelungstechnischen Maßnahmen getroffen, sind dies widersprechende Anforderungen.

• Der Regelkreis soll sich robust verhalten.

Unter „robust“ versteht man den Einfluss der schleichenden Änderungen der Parameter von Regler und Regelstrecke auf die Dynamik des Regelkreises. Diese durch innere und äußere Umwelteinflüsse wie z.  B. Alterung, Reibung, Korrosion entstehenden Parameteränderungen müssen innerhalb eines zugelassenen Toleranzbereiches liegen. Das Verhalten der Robustheit wird auch mit Einfluss der „inneren Störgrößen“ eines Regelkreises bezeichnet.

Diese dargestellten Anforderungen sind nur durch einen Kompromiss der Reglerparameter zu erfüllen. Bei hohen Anforderungen z.  B. an das Führungsverhalten und / oder Störverhalten sind aufwändigere Reglerstrukturen erforderlich.

Blockdiagramm eines PID-Reglers in der Reihen- und Parallelstruktur

Regelung mit stetigen Reglern

Zur Vermeidung der statischen Regelabweichung kann der proportional wirkende Regler mit folgenden Komponenten ausgerüstet werden:

• Ein integral wirkender Anteil der Regelabweichung als Eingangsgröße des Reglers (I-Anteil) hat theoretisch eine unendlich hohe Verstärkung und phasenverschiebende Eigenschaften. Damit erhöht sich weiter der phasenverschiebende Anteil im Regelkreis, was zur weiteren Reduzierung der P-Verstärkung führt, anderenfalls entsteht oszillatorische Instabilität. Eine geringe proportional wirkende Verstärkung macht den Regelkreis gegen Sollwertänderungen oder Störgrößeneinwirkungen träge.
• Durch Hinzufügen von differenziellen Anteilen der Regelabweichung zum Regler können Verzögerungen der Regelstrecke kompensiert werden. Damit reduziert sich die die Phasenverschiebung im Regelkreis und die P-Verstärkung kann wieder erhöht werden.
• PID-Regler vereinen additiv die Komponenten des P-, I- und D-Anteils.

Mit der Systembeschreibung der Übertragungsfunktion G(s) mit der komplexen Frequenz s können beliebig viele Teilsysteme beschrieben und algebraisch berechnet werden. Die ursprünglich additiv in Parallelschaltung definierten Einzelanteile des PID-Reglers können als Reihenschaltung umgerechnet werden. Damit besteht der PID-Regler aus der Reihenschaltung von einem I-Glied und zwei PD1-Gliedern. PD1-Glieder können in einem Regelkreis Verzögerungsglieder (PT1-Glieder) der Regelstrecke mit identischen Zeitkonstanten kompensieren. Dies ist bereits eine Strategie des Reglerentwurfs bei linearen Systemen.

Siehe auch: Regler#PID-Regler

Reglerentwurf für lineare zeitinvariante Systeme

Sprungantwort eines Regelkreises mit instabiler Regelstrecke mit 2 I-Gliedern. Die Sprungantwort wird mit steigender P-Verstärkung schneller und schwingungsfreier.

Die wichtigste Aufgabe des Reglers aus der Sicht des Führungsverhaltens ist die Regelgröße optimal – d.  h. schnell und möglichst schwingungsfrei – auf das Niveau des Sollwertes zu bringen.

Liegt die Beschreibung der Regelstrecke als lineares zeitinvariantes Übertragungssystem Gs(s) in Produktdarstellung vor, kann relativ einfach ein geeigneter Regler G_R(s) bestimmt werden. Zur Vereinfachung des offenen Regelkreises

G_O(s) = G_S(s) · G_R(s) werden PT1-Glieder der Strecke gegen PD1-Glieder des Reglers gekürzt (Pol-Nullstellenkompensation).

Mit Hilfe der Gleichung für das Schließen des Regelkreises G(s) = G_O(s) / (1+G_O(s)) ergibt sich die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises in Polynomdarstellung.

Dank der bekannten Ergebnisse der Systemanalyse von Übertragungssystemen lassen sich relativ einfach die Polynome der Übertragungsfunktionen von Regelstrecken oder Regelkreisen auf 3 faktorielle Grundformen mittels der Nullstellenverfahren (Bestimmung der Nullstellen von Polynomen) darstellen.

Eine dieser drei Grundformen ist das PT2-Schwingungsglied, das immer bei regulären Systemen ab zwei PT1-Gliedern mit zunehmender Kreisverstärkung des geschlossenen Regelkreises entsteht. Aus dem gewünschten Dämpfungsgrad D des Schwingungsgliedes kann die Kreisverstärkung K errechnet werden. Der Wert des Dämpfungsgrades D entscheidet, ob die Sprungantwort der Regelgröße aperiodisch (D > 1), gedämpft schwingend (D < 1) oder zunehmend periodisch schwingend (D < 0) verläuft.

Bei Regelstrecken mit nichtregulären Systemen (monoton instabiles PT1-Glied G₀(s) = 1 / (T*s - 1)) oder instabile Regelstrecken mit zwei I-Gliedern (G₀(s) = 1 / s²) wird der geschlossene Regelkreis mit einem geeigneten Regler mit steigender Kreisverstärkung stabil.

Siehe nebenstehende Grafik mit 2 Sprungantworten eines Regelkreises mit instabiler Regelstrecke und zwei unterschiedlichen Verstärkungswerten K = 1 und K = 100 des PD-Reglers.

Sprungantworten eines Regelkreises mit:
1) Parametrierter PID-Regler an Modellregelstrecke.
2) Gleicher PID-Regler an Original-Regelstrecke.
3) Mittels heuristischer Methoden parametrierter PID-Regler an Original-Regelstrecke

Prinzipielle Methode der Reglerparametrierung für eine stetige lineare Regelstrecke (LZI)

• Die Übertragungsfunktion einer Regelstrecke kann als Polynom im Nenner und Zähler vorliegen. Sie kann in die Produktdarstellung überführt werden durch Berechnung der Pole und Nullstellen.
• Dominante PT1-Glieder der Regelstrecke können durch PD-Glieder des Reglers – soweit vorhanden – kompensiert werden, d.  h. gleiche Zahlenwerte mit gleichem Vorzeichen der Pole und Nullstellen haben damit keine Wirkung mehr. Für die Stabilität des Regelkreises ist jeweils 1 Pol mehr erforderlich als Nullstellen innerhalb der Übertragungsfunktion vorhanden sind.
• Die Dynamik des Reglers muss auf das Verhalten der Regelgröße angepasst werden. Ist eine Regelabweichung zugunsten schnellerer Dynamik erlaubt, kann auf ein I-Glied des Reglers verzichtet werden.
• Damit der Regelkreis geschlossen werden kann, muss die Kreisverstärkung K bestimmt werden.

Bei fehlendem I-Glied im offenen Regelkreis ist zu prüfen, ob infolge der höheren Kreisverstärkung die Stellgröße y(t), die sehr hohe Werte annehmen kann, technisch realisiert werden kann. Wenn nicht, gilt die Übertragungsfunktion des offenen und des geschlossenen Regelkreises nicht für das Großsignalverhalten. Für diesen Fall ist das Übergangsverhalten der Regelgröße nach einer Eingangssignal-Änderung verzerrt und verlangsamt.

• Mit der Schließbedingung des Regelkreises G(s) = G_O(s) / (1+G_O(s)) kann ein geschätzter Wert für K eingesetzt werden. Damit entsteht ein Nennerpolynom höheren Grades, entsprechend der Anzahl der Pole des offenen Regelkreises. Der Unterschied zum offenen Regelkreis besteht darin, dass das Nennerpolynom des geschlossenen Regelkreises ab einer bestimmten Kreisverstärkung PT2-Schwingungsglieder der Normalform

$G(s)={\frac {1}{T^{2}\cdot s^{2}+2\cdot D\cdot T\cdot s+1}}$

enthält. Durch Einsetzen von verschiedenen Werten der Kreisverstärkung K kann der gewünschte Dämpfungsgrad D bestimmt werden.

Weitere evtl. vorhandene, von dem Polpaar des Schwingungsgliedes entfernte Pole im s-Diagramm haben wenig Einfluss auf den Signalverlauf der Regelgröße f(t). Evtl. vorhandene Nullstellen haben nur Einfluss auf die Amplitude des Schwingungsgliedes.

→ Siehe Kapitel Regelkreis#Reglerentwurf für lineare zeitinvariante Systeme

Darstellung der zulässigen Lage der konjugiert komplexen Pole eines geschlossenen Regelkreises für gegebene Dämpfungsgrade

Entwurf eines Reglers durch Polzuweisung in der s-Ebene

Das nachfolgend beschriebene Entwurfsverfahren besteht darin, dass Pole und Nullstellen einer Übertragungsfunktion eines geschlossenen Regelkreises in bestimmte Bereiche des Pol-Nullstellen-Diagramms (siehe auch Polvorgabe im Zustandsraum) zugewiesen werden, um bestimmte Güteanforderungen festzulegen. Dabei wird vorausgesetzt, dass ein dominantes Schwingungsglied (PT2-Glied) vorliegt, evtl. vorhandene zusätzliche Pole weit genug vom dominanten Polpaar entfernt in der linken s-Halbebene liegen und deshalb wenig Einfluss haben.

Aufgabe eines Reglers ist nun, die zugewiesene Lage der Pole zu erfüllen.

→ Siehe Kapitel Regelkreis#Entwurf eines Reglers durch Polzuweisung in der s-Ebene

Reglerentwurf mit der inversen Laplace-Transformation

Ist die Übertragungsfunktion eines Übertragungssystems gegeben, kann mittels der inversen Laplace-Transformation mit einem definierten Eingangs-Testsignal der Verlauf der Ausgangsgröße bzw. die Regelgröße errechnet werden. Dabei bedient man sich einer Transformationstafel, welche für eine gegebene Übertragungsfunktion

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$

die zugehörige Spalte f(t) für die Gleichung im Zeitbereich wiedergibt.

Ist bei der Übertragungsfunktion G(s) das transformierte Eingangssignal Xe(s) nicht berücksichtigt,

Xa(s) = G(s) * Xe(s) bzw. Y(s) = G(s) * W(s),

ergibt sich für die Rücktransformation f(t) immer die Impulsantwort des Übertragungssystems. Dies erklärt sich dadurch, dass der transformierte Delta-Impuls Xe(s) = 1 ist.

Üblich ist der Einsatz von transformierten Testsignalen (Regelstrecke#Testsignale) der

• Sprungfunktion $X_{e}\sigma (s)={\frac {1}{s}}$; mit dem Einheitssprung 1 und der

• Anstiegsfunktion: $X_{ea}(s)={\frac {c}{s^{2}}};$ $\qquad$ $\qquad$ Gradient: $c={\frac {\Delta \,x_{ea}(t)}{\Delta \,t}}$

Fazit: Die Anwendung gilt nur für lineare zeitinvariante Systeme und fordert bei gedämpft schwingenden Systemen viel Rechenarbeit.

Digitale Regelung

Handelt es sich bei dieser Regelstrecke um ein lineares System, so ergibt sich je nach verwendetem Regler-Algorithmus eine lineare oder eine nichtlineare Regelung. Bei Anwendung eines linearen Reglers, z.  B. eines PID-Reglers, können mittels Differenzengleichungen die drei Teilsysteme in Reihenschaltung, zwei PD1-Glieder und ein I-Glied, mittels eines digitalen Rechners berechnet werden.

Bei Echtzeitberechnungen, beispielsweise mit einem programmierbaren Mikrocontroller, der auf eine Hardware-Regelstrecke wirkt, wird die Diskretisierungszeit ∆t durch die "Abtastzeit" ersetzt, mit der das meist analoge Ausgangssignal der Regelstrecke über Analog-Digitalwandler erfasst wird. Der Abtastung des Ausgangssignals ist üblicherweise ein Halteglied nachgeschaltet, so dass ein gestufter Verlauf des Ausgangssignal entsteht. Die Regelstrecke hat meist einen analogen Eingang, der von dem digitalen Regler als Stellgröße mit einem Digital-Analog-Wandler bedient werden muss. Je nach Aufgabenstellung der Art des Signals der Führungsgröße können digitale Bedienelemente (Sollwertgeber) oder Analog-Digital-Wandler erforderlich werden.

Diese Art Regelungen mit Abtastung der Ein- und Ausgangssignale des Regelkreises werden gelegentlich auch mit Abtastregelungen bezeichnet.

Bei schnellen Regelstrecken spielen die Systemgeschwindigkeiten des Rechners, der A/D-Wandler, die Sample-And-Hold-Schaltung, wie auch die verwendeten Differenzengleichungen beziehungsweise deren Approximations-Algorithmen eine große Rolle.

Blockschaltbild des Zustandsraummodells eines Zustandsregelkreises

Grundlagen Zustandsregelung

Der Zustandsregler ist kein eigenständiger Regler, sondern er entspricht der mit Faktoren bewerteten Rückführung der Zustandsgrößen eines mathematischen Modells der Regelstrecke im Zustandsraum.

Das Grundprinzip des Zustandsreglers (auch statische Zustandsrückführung genannt) ist die Rückführung der bewerteten inneren Systemgrößen $x_{1},x_{2}\cdots x_{n}\,$ eines Übertragungssystems zu einem Regelkreis. Die einzelnen Zustandsgrößen werden mit Faktoren $k_{1},k_{2}\cdots k_{n}\,$ bewertet und wirken subtraktiv auf die Führungsgröße w(t).

Damit durchlaufen Anteile der Zustandsgrößen ein zweites Mal die Integrationskette der Rechenschaltung laut Signalflussplan der Regelungsnormalform. Das Ergebnis ist ein Zustandsregler mit PD-Verhalten im Zustandsregelkreis.

Im Gegensatz zu einem Standardregelkreis wird die Ausgangsgröße y(t) des Zustandsregelkreises nicht auf den Eingang der Regelstrecke zurückgeführt. Der Grund liegt darin, dass die Ausgangsgröße y(t) eine Funktion der Zustandsgrößen ist. Dennoch kann ein nicht akzeptabler proportionaler Fehler zwischen den Werten der Führungsgröße w(t) und der Regelgröße y(t) entstehen, der durch ein Vorfilter V beseitigt werden muss.

Die Regler-Zustandsrückführung (zur Unterscheidung der Rückführung der Zustandsgrößen) bezieht sich auf den Zustandsvektor ${\underline {x}}(t)$ , der mittels Vektorverstärkung ${\underline {k}}^{T}$ laut dem Signalflussplan des Modells der Zustandsregelkreises auf die Eingangsgröße $V\cdot w(t)\,$ zurückgeführt wird:

Der lineare Zustandsregler bewertet die einzelnen Zustandsvariablen der Regelstrecke mit Faktoren und summiert die so entstandenen Zustandsprodukte zu einem Soll-Ist-Wert-Vergleich.

Eine Alternative zur Vermeidung einer Regelabweichung bietet ein überlagerter Regelkreis des Zustandsregelkreises mit einem PI-Regler mit Rückführung der Regelgröße y(t), der das Vorfilter V überflüssig macht.

Siehe auch: Regelstrecke#Regelstrecke im Zustandsraum

Regelung mit nichtlinearen Reglern

Bei linearen Systemen ohne Energiespeicher ist die Ausgangsgröße proportional der Eingangsgröße. Bei linearen zeitinvarianten (LZI-System) Systemen mit Energiespeichern ist die Ausgangsgröße im eingeschwungenen Zustand der Eingangsgröße proportional. Bei Systemen mit integralem Verhalten (I-Glied) ist die Ausgangsgröße proportional des zeitlichen Integrals der Eingangsgröße. Bei Systemen mit differenzierendem Verhalten (D-Glied) ist die Ausgangsgröße proportional des Differentialquotienten der Eingangsgröße.

Mathematische Operationen von Signalen bezogen auf die Ausgangsgröße wie:

• Additionen, Subtraktionen, Differentiationen, Integrationen oder Multiplikationen mit einem konstanten Faktor von Eingangssignalen ergeben lineares Verhalten.
• Multiplikation und Division von Eingangsgrößen ergeben nichtlineares Verhalten.

Bei nichtlinearen Übertragungssystemen wirkt mindestens eine nichtlineare Funktion in Verbindung mit linearen Systemen. Nichtlinearen Funktionen werden nach stetigen und unstetigen Nichtlinearitäten unterschieden. Stetige Nichtlinearitäten weisen keine Sprünge der Übertragungskennlinie auf wie z.  B. bei quadratischem Verhalten. Unstetige Übertragungskennlinien wie bei Begrenzungen, Hysterese, Ansprechempfindlichkeit, Zwei- und Mehrpunkt-Charakter haben keinen kontinuierlichen Verlauf.

Zu den nichtlinearen Reglern gehören auch die unstetigen Regler wie Zweipunkt-, Mehrpunkt- und Fuzzy-Regler, die in einem eigenen Kapitel beschrieben sind.

Die Berechnung von nichtlinearen Systemen geschieht meist im Zeitbereich. Die Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen ist schwierig und aufwendig. Dies bezieht sich besonders auf die Gruppe der Systeme mit unstetigem nichtlinearem Übertragungsverhalten bzw. nichtstetigen Reglern. Einfacher ist die Berechnung eines Regelkreises mit schaltenden Reglern mit rechnergestützten zeitdiskreten Verfahren.

Fuzzy-Regler

→ Hauptartikel: Fuzzy-Regler

Fuzzy-Regler arbeiten mit sogenannten „linguistischen Variablen“, welche sich auf „unscharfe Mengenangaben“ beziehen, wie zum Beispiel hoch, mittel und niedrig. Die „Regelbasis“ verknüpft die fuzzifizierten Ein- und Ausgangssignale mit logischen Regeln wie WENN-Teil und DANN-Teil. Mit der Defuzzifizierung wird die unscharfe Menge wieder in scharfe Stellbefehle gewandelt (z:  B. Ventilkombinationen für „Kraft Aufbau“ oder „Kraft Abbau“ oder „Kraft halten“).

Ein grafisches Fuzzy-Modell zeigt eine Fuzzy-Variable als skalierte Grundmenge (z.  B. Temperaturbereich), deren meist dreieckförmige Teilmengen (Fuzzy-Sets) auf der Abszisse eines Koordinatensystems meist überlappend aufgeteilt sind. Die Ordinate zeigt den Zugehörigkeitsgrad für jeden scharfen Wert der Eingangsgröße an. Der maximale Wert des Zugehörigkeitsgrades für jeden Fuzzy-Set beträgt μ = 1 ≡ 100 %.

Unstetige Regler

Bei unstetigen Reglern (auch nichtstetige Regler) ist die Ausgangsgröße u(t) gestuft. Bei einem einfachen Zweipunktregler kann die Ausgangsgröße des Reglers – die Stellgröße u(t) – nur 2 diskrete Zustände annehmen: Ist die Regelabweichung e(t) = w(t) – y(t) positiv, schaltet der Zweipunktregler ein, ist sie Null oder negativ schaltet der Regler aus. Hat der Regler eine symmetrische Hysterese, muss die Regelabweichung stets einen kleinen Betrag negativ werden, damit der Regler ausschaltet und einen gleichen kleinen Betrag positiv werden, damit der Regler einschaltet.

Unstetige Regler mit den Ausgangssignalzuständen „Ein“ oder „Aus“ können auch ein proportionales Verhalten haben, wenn die Ausgangsgröße eines klassischen Standardreglers mit einem Pulsbreiten-Modulators versehen wird. Die Regelstrecke wirkt dabei zur Glättung der gepulsten Signale als Tiefpass. Zweck dieses Verfahrens ist die möglichst verlustfreie Steuerung großer Energieflüsse.

Bei der Verwendung elektrischer und elektronischer Schaltelemente wie Relais, Schaltschütze, Transistoren und Thyristoren ist eine möglichst niedrige Schaltfrequenz anzustreben, um Bauelemente-Verschleiß und Alterung gering zu halten. Auch elektronische Bauelemente unterliegen einer Alterung, wenn sie bei erhöhter innerer Temperatur betrieben werden. Andererseits bedeutet eine niedrige Schaltfrequenz eine Erhöhung der Welligkeit des Signals der Regelgröße.

Wegen der durch steile Impulsflanken verursachten elektromagnetischen Störungen der Schaltvorgänge sind geeignete Entstörmaßnahmen vorzusehen. (Siehe Elektromagnetische Verträglichkeit)

Wie auch bei linearen Übertragungssystemen interessiert die Stabilität eines Regelkreises mit nichtstetigen Reglern.

Die effektivste Berechnungsmethode für den Entwurf, die Analyse und der Optimierung eines nichtstetigen Reglers im Regelkreis-Modell ist numerisch durch kommerzielle Rechenprogramme wie mit MATLAB oder Simulink zu erreichen.

Liegen solche Rechenprogramme nicht vor, so können mit der Kombination logischer Gleichungen und Differenzengleichungen beliebige Systeme und Regelkreise mit stetigen, unstetigen, nichtlinearen und linearen Elementen relativ einfach mit beliebigen Rechenprogrammen – vorzugsweise Tabellenkalkulation – numerisch für eine diskrete Zeit Δt berechnet werden. Das Verhalten der relevanten Regelkreissignale für ein Test-Eingangssignal kann direkt tabellarisch und grafisch dargestellt werden.

Siehe auch: Regelkreis#Angewandte numerische Berechnung dynamischer Übertragungssysteme und Regelkreis#Regelkreis mit unstetigen Reglern

Zweipunktregler mit Hysterese

Zweipunktregler

Siehe auch: Regler#Zweipunktregler

Zweipunktregler können nicht nur einfachste Regelaufgaben zufriedenstellend lösen. Sie vergleichen die Regelgröße mit einem meist hysteresebehafteten Schaltkriterium und kennen nur zwei Zustände: „Ein“ oder „Aus“. Diese so definierten Zweipunktregler haben theoretisch kein Zeitverhalten.

Darunter fallen die elektromechanischen Regler oder Schaltkomponenten wie z.  B. Bimetall-Schalter, Kontaktthermometer, Lichtschranken. Häufig sind diese einfachen Regler nur für einen festen Sollwert geeignet.

Das Hystereseverhalten des realen elektromechanischen Zweipunktreglers entsteht meist durch Reibungseffekte, mechanisches Spiel, zeitabhängige elastische Materialverformungen und Mitkopplung des Systemausgangs auf den Eingang.

Elektronische Zweipunktregler erlauben eine sehr gute Anpassung an die Regelstrecke. Dafür werden 2 wichtige Eigenschaften des Reglers erforderlich. Die sich automatisch einstellende Schaltfrequenz des Regelkreises muss durch einzustellende Parameter erhöht oder reduziert werden, um eine gewünschte optimale Schaltfrequenz zu erzielen.

Dazu wird der ideale elektronische Zweipunktregler durch folgende Schaltungsmaßnahmen erweitert:

• definierte (harte) Hysterese durch Mitkopplung des Reglerausgangs zum Eingang (additiver Einfluss),
• Zeitverhalten durch verzögernde oder verzögernd nachgebende Rückführung auf das Eingangssignal (subtraktiver Einfluss).

Damit kann hinsichtlich der unterschiedlichen Arten der Regelstrecken ein gewünschtes Verhalten der Regelgröße und der Schaltfrequenz erreicht werden.

Für spezielle Anwendungen der Regler und Stellglieder kann die Signalverarbeitung auch auf der Basis von pneumatischen oder hydraulischen Medien erfolgen. Die Gründe dafür sind: explosive Materialien in der Umgebung, hohe elektromagnetische Störstrahlung, keine elektrische Energie vorhanden, pneumatische oder hydraulische Energieeinrichtungen sind bereits vorhanden.

Richtig angepasste Zweipunktregler an eine Regelstrecke können für die Regelgröße y(t) bessere dynamische Eigenschaften als die Anwendung eines stetigen Standardreglers bieten

Diagramm des Eingang-Ausgang-Verhaltens eines Dreipunktreglers mit Hysterese und Totzone

Dreipunktregler

Dreipunktregler mit 3 Schaltzuständen haben einen Eingang und 2 Ausgänge und schalten jeden der beiden Ausgänge in den Zustand „Ein“ oder „Aus“ oder „beide Aus“ in Abhängigkeit eines bestimmten positiven oder negativen Wertes des Eingangssignals e(t). Sie erlauben 2 unterschiedliche Energiearten zu schalten und haben eine meist symmetrische „Totzone“ mit einem oberen und unteren Grenzwert der Regelabweichung e(t), in der um den Nullpunkt der Regelabweichung keine Schaltaktivitäten stattfinden.

Anwendungen findet man häufig bei motorischen Stellantrieben für Vor- und Rücklauf und in allen Arten integral wirkenden Regelstrecken.

Bei proportionalen Regelstrecken mit unterschiedlichen dominanten Zeitkonstanten (Beispiel: schnelle Aufheizung und langsame Abkühlung) kann die Reaktionsgeschwindigkeit der Regelgröße für Führungsgrößenänderungen verbessert werden, wenn anstelle des Zweipunktreglers an einer Heizungsregelstrecke ein Kühlaggregat über einen Dreipunktregler eingeschaltet wird.

Andere Anwendungen des Dreipunktreglers mit unsymmetrischer Totzone sind bekannt zur Reduzierung der Schwankungsbreite der Regelgröße durch Regelung einer Grundlast mit aufgesetzter Teillast. Beispiel: Glühofen mit 2 Heizeinrichtungen.

Ebenso wie bei dem Zweipunktregler kann der Dreipunktregler neben der Hysterese ein gewünschtes Zeitverhalten durch eine subtraktive Rückführung auf den Eingang des Reglers mit Verzögerungsgliedern bekommen.

Wie bei den Zweipunktreglern reduziert sich die Schaltfrequenz mit steigender Hysterese.

Die Größe der Totzone des Dreipunktreglers kann empirisch oder durch numerische Simulation bestimmt und optimiert werden. Sie ist von der Totzeit und von der Anzahl und Größe der Zeitkonstanten bzw. Integrationskonstanten der Regelstrecke abhängig. Eine weitere Vergrößerung einer als optimal bestimmten Totzone ruft bei P- und I-Regelstrecken größere Regelabweichungen gegenüber dem Sollwert hervor.

Dezentrale Regelung am Beispiel eines Zweigrößensystems.

Erweiterte Regelkreisstrukturen

Dezentrale Regelung

Die dezentrale Regelung ist ein spezieller Ansatz zur Regelung von Mehrgrößensystemen mit gleicher Anzahl $m$ von Ein- und Ausgängen. Jeder Regelgröße wird ein Eingang zugeordnet, der möglichst großen Einfluss auf die Regelgröße hat. Für jedes Paar von Ein- und Ausgängen wird ein Eingrößenregler entworfen und realisiert, insgesamt also $m$ Eingrößen-Regelkreise.

Kaskadenregelung

Typische Kaskadenregelung

→ Hauptartikel: Kaskadenregelung

Die Idee der Kaskadenregelung besteht in der Ineinanderschachtelung von Regelkreisen. Es werden zunächst Hilfsregelgrößen mit schnellen inneren Regelkreisen geregelt, deren Sollwerte aus den Stellwerten der äußeren, langsameren Kreise bestehen.

Smith-Prädiktor

Smith-Prädiktor

Ein Prädiktor nutzt direkt (nicht indirekt wie beim Beobachter) das Wissen des Regelstreckenmodells zur Vorhersage zukünftiger Regelgrößenverläufe. Dies bietet insbesondere Vorteile bei stark totzeitbehafteten Systemen, da konventionelle Regler dann zumeist nur sehr vorsichtig eingestellt werden können. Beispiele für starke Totzeiten finden sich zum Beispiel in der Verfahrenstechnik beim Stofftransport über lange Leitungen. Um eine wesentlich aggressivere Regelung dieser Systeme zu ermöglichen, wurde in den 1950er Jahren der Smith-Prädiktor entwickelt.

Split-Range-Regelung

Die Split-Range-Regelung betrifft die Realisierung einer Stellgröße durch mehrere Aktoren mit beschränktem Wirkbereich. Beispielsweise werden zur Temperaturregelung in einem Batch-Reaktor sowohl eine elektrische Heizung als auch eine von einem Kühlmedium durchflossene Kühlschlange eingesetzt. Ein positives Stellsignal ist durch die Ansteuerung der Heizkerzen zu realisieren. Ein negatives Stellsignal hingegen bedeutet die Anforderung von Kühlung, sodass die Heizung auszuschalten und stattdessen ein Ventil zu öffnen ist, um das Kühlmedium freizugeben.

Störgrößenaufschaltung

Blockschaltbild einer Heizungsregelung mit Störgrößenaufschaltung

Normalerweise sind Störungen ihrer Natur gemäß unbekannt. Liegt jedoch eine Messung oder Schätzung der Störung vor, so kann diese durch Aufschaltung im Regelkreis verwendet werden, um die Störunterdrückung zu verbessern.

Ein Beispiel für messbare Störungen ist die Außentemperatur in Raumtemperatur-Regelungen. Sie wird in Heizungen zur Anpassung der Vorlauftemperatur eingesetzt.

Regelkreise mit Vorsteuerung und Vorfilter

Blockschaltbild: Standard-Regelkreis mit Vorsteuerung oder Vorfilter.

Einschleifige Standardregelkreise erlauben eine Optimierung des Verhaltens der Regelgröße entweder für das Führungs- oder Störverhalten. Diese Eigenschaft bezeichnet man mit einem „Freiheitsgrad“.

Durch Änderung der Regelkreisstruktur kann man beim Systementwurf z.  B. durch eine Vorsteuerung oder einen Vorfilter eine Unabhängigkeit des Führungs- und Störverhaltens erreichen. Diese Eigenschaft bezeichnet man als einen Regelkreis mit zwei Freiheitsgraden.

Ein Regelkreis mit einer Vorsteuerung erlaubt die Verbesserung des Führungsverhaltens mit folgenden Eigenschaften:

• Die Vorsteuerung beeinflusst nicht das Störverhalten.
• Sie hat keinen Einfluss auf die Kreisverstärkung und gefährdet damit nicht die Stabilität des Regelkreises.
• Die Vorsteuerung als Pole-Nullstellenkompensation der Regelstrecke hat in der Praxis nur Modellcharakter. Die Realisierung ist schwierig, weil die erforderlichen Differenzierglieder bei der Analog-Hardware-Lösung parasitäre Verzögerungen benötigt, bei der digitalen Software-Lösung sich sehr hohe Stellamplituden bilden. Beide Verfahren reduzieren den gewünschten Effekt. Abhilfe: Umrechnung in einen Vorfilter oder Aufteilen der Regelstrecke in mehrere Regelkreise (z.  B. Kaskadenregelung).

Stabilität

Bedeutung der Pole und der konjugiert komplexen Polpaare in der linken und rechten s-Halbebene

Es existieren verschiedene Definitionen und Begriffe der Stabilität. Ein Übertragungssystem kann monoton oder oszillatorisch instabil sein. Ein falsch dimensionierter Regler kann in einem Regelkreis zur oszillatorischen Instabilität führen.

Interne Stabilität

Wenn die Übertragungsfunktion eines Übertragungssystems oder eines Regelkreises vorliegt:

Die Pole einer Übertragungsfunktion bestimmen die Stabilität und die Geschwindigkeit der Systembewegung. Die Nullstellen einer Übertragungsfunktion haben nur Einfluss auf die Amplituden des Systems.

Ein Übertragungssystem ist intern stabil, wenn alle (Teil-)Übertragungsfunktionen nur Pole in der linken s-Halbebene haben.

Externe Stabilität (BIBO-Stabilität)

Beispiel für die Darstellung der externen Stabilität (BIBO-Stabilität) bei verschiedenen Systemen

→ Hauptartikel: BIBO-Stabilität

Wenn die Hardware eines Übertragungssystems bzw. eines Regelkreises oder eines genauen Modells mit dem Eingangs- und Ausgangssignal vorliegt:

Ein Übertragungssystem gilt als extern stabil, wenn jedes beliebige beschränkte Eingangssignal an dem System auch ein beschränktes Ausgangssignal hervorruft.

Stabilität in Abhängigkeit von den Kenngrößen der Regeleinrichtung

Dazu gibt es eine Vielzahl von mathematischen und grafischen Verfahren.

Stabilität im Regelkreis: Ein Regelkreis ist stabil, wenn nach einer endlichen Erregung durch Führungs- oder Störsignale seine Regelgröße endlich bleibt. Verschwindet diese Erregung, dann klingt die Regelgröße gegen Null ab. Asymptotische Stabilität: Ein lineares dynamisches System G(s) ist stabil, wenn seine Gewichtsfunktion xaδ(t) (Impulsantwort) asymptotisch gegen Null abklingt. Grenzstabilität: Überschreitet die Gewichtsfunktion xaδ(t) mit wachsender Zeit t einen endlichen Wert nicht, ist das System grenzstabil. (typisch bei einem I-Glied) Instabilität Der Betrag der Gewichtsfunktion xaδ(t) steigt mit wachsender Zeit t gegen unendlich. Sonderfall: Kürzung instabiler Pole oder Nullstellen: Enthält die Regelstrecke instabile Pole, die durch identische Nullstellen des Reglers gekürzt werden, dann ist der geschlossene Regelkreis instabil! Die Kürzung instabiler Nullstellen der Regelstrecke gegen instabile Pole des Reglers führt ebenfalls zur Instabilität.

Übersichtsdarstellung bekannter grafischer Stabilitätsverfahren

Die Übertragungsfunktion G(s) eines Übertragungssystems setzt lineare Teilsysteme voraus. Aus der Übertragungsfunktion eines geschlossenen Regelkreises kann das Signalverhalten der Regelgröße für ein Test-Eingangssignal aus den Laplace-Transformationstafeln errechnet werden. In den meisten Anwendungen hat die Regelgröße als Sprungantwort ein aperiodisches Verhalten, was aufwendige trigonometrische Berechnungen erforderlich macht.

Bei einem geschlossenen Regelkreis ist die Eingangsgröße u(t) = w-y des Reglers und die Ausgangsgröße y(t) als Regelgröße unabhängig von der Systemordnung und Totzeitverhalten stets um einen nacheilenden Phasenverlauf von -180° verschoben, einen konstanten Sollwert und einen aperiodischen oder periodischen Signalverlauf der Regelgröße vorausgesetzt. Das liegt daran, dass von einem konstanten Sollwert die aperiodisch oder periodisch schwingende Regelgröße subtrahiert wird. Aus dieser Erkenntnis kann kein Stabilitätskriterium abgeleitet werden.

Wird der Regelkreis z.  B. in der Rückführung aufgetrennt, lässt sich der Phasenverlauf zwischen einer variabel oszillierenden Eingangsgröße:

$w(t)={\hat {y}}\cdot sin(\omega \cdot t)$

und der oszillierenden Ausgangsgröße y(t) messen. Der zeitliche Verlauf der Ausgangsgröße y(t) ist um die Phasenverschiebung φ von der Eingangsgröße w(t) verschoben.

$y(t)={\hat {w}}\cdot [sin(\omega \cdot t)+\varphi ]$

Eine Phasenverschiebung von φ < -180 Grad und eine Verstärkung > 1 führt von der Gegenkopplung zur Mitkopplung und damit zur oszillierenden Instabilität, wenn der Regelkreis geschlossen wird.

Aus diesem Verhalten hat der amerikanische Physiker Harry Nyquist Stabilitätskriterien abgeleitet, die sich auf den offen Regelkreis beziehen und für die Schließbedingung des Regelkreises anzuwenden sind.

Die grafischen Stabilitätsverfahren dienen dem Verständnis von Teilgebieten der Systemtheorie, sind aber keine Alternativen zur numerischen Berechnung eines Regelkreises, bei dem tabellarisch das innere Teil-Systemverhalten für jede Berechnungsfolge y(k*Δt) dargestellt und grafisch der zeitliche Signalverlauf verschiedener Ausgangsgrößen für eine beliebige Eingangsgröße gezeigt wird.

Ortskurve des Frequenzgangs

Stabilitätsbedingung mit der Ortskurve des Frequenzgangs

Die Frequenzganggleichung des offenen Kreises wird nach Realteil und Imaginärteil aufgelöst und in ein Koordinatensystem eingetragen. Die senkrechte Achse zeigt die Daten der Imaginärteile, die waagerechten Achse die Realteile. Nach Nyquist lautet die Stabilitätsbedingung:

Wird beim Durchlaufen der Ortskurve des offenen Regelkreises Fo(jω) in Richtung steigender Werte von ω der kritische Punkt (-1; j0) auf der linken (negativen) Seite der Achse der Realteile nicht umschlungen bzw. berührt, ist der geschlossene Regelkreis stabil. Aus praktischen Erwägungen sollte der kritische Punkt (-1; j0) auf (-0,5; j0) verlegt werden, um eine gewisse Stabilitätsreserve zu erzielen.

Stabilitätsbedingung im Bode-Diagramm mit dem vereinfachten Stabilitätskriterium von Nyquist

Bodediagramm eines PT₂-Schwingungsgliedes
(K = 2, T = 1; Varianten: D = 0.2; D = 1; D = 5)

Im Gegensatz zur Ortskurve des Frequenzgangs werden beim Bode-Diagramm Betrag und Phasenwinkel in zwei getrennten Diagrammen aufgetragen, als Amplitudengang und Phasengang. Das Bode-Diagramm hat einen logarithmischen Maßstab. Beim Amplitudengang ist der Betrag F(jω) auf der Ordinate, die Kreisfrequenz ω auf der Abszisse aufgetragen. Beim Phasengang ist der Phasenwinkel (linear) auf der Ordinate, die Kreisfrequenz ω auf der Abszisse (logarithmisch) aufgetragen.

Die Vorteile dieses Verfahrens sind das unmittelbare Einzeichnen der Asymptoten als Geraden des Amplitudengangs, die bequeme Multiplikation durch logarithmische Addition, das direkte Ablesen der Zeitkonstanten und das schnelle Erkennen der Stabilität des geschlossenen Regelkreises. Bei regulären Systemen ist der Phasengang aus dem Amplitudengang berechenbar und braucht nicht unbedingt gezeichnet zu werden.

Das Stabilitätskriterium ist aus dem Stabilitätskriterium von Nyquist abgeleitet:

Ein geschlossener Regelkreis ist stabil, wenn die nacheilende Phasenverschiebung φ vom Ausgangs- zum Eingangssignal des offenen Kreises bei der Kreisverstärkung K = 1 und φ > −180° beträgt. Die Dämpfung des geschlossenen Kreises wird umso günstiger, je größer der Phasenabstand zu der −180°-Linie beträgt. Diesen Abstand, der oberhalb der –180°-Linie liegt, nennt man Phasenrand oder auch Phasenreserve und sollte bei etwa 50° ±10° liegen.

Das Nyquist-Stabilitätskriterium ist eines der wenigen Stabilitätskriterien, das auch für Systeme mit einer Totzeit benutzt werden kann.

Stabilität mit der Wurzelortskurve

Bei der Betrachtung des offenen zum geschlossenen Regelkreises werden die Nullstellen des Nenners der rational gebrochenen Funktion anstatt mit Polen mit Wurzeln bezeichnet.

Die Wurzelortskurve (siehe auch Wurzelortskurvenverfahren) ist eine grafische Darstellung der Lage der Pol- und Nullstellen der komplexen Führungs-Übertragungsfunktion Fo(s) eines offenen Regelkreises. In Abhängigkeit von einem Parameter, meist von der Kreisverstärkung des offenen Regelkreises, lässt sich durch die Wurzelortskurve auf die Lage der Pole des geschlossenen Regelkreises schließen. Das dynamische Verhalten des geschlossen Regelkreises ist von der Polverteilung abhängig, die wieder von der Wahl der Parameter des Reglers bestimmt wird.

Die graphische Darstellung erfolgt in der s-Ebene (s = Ϭ + j·ω), der Realteil Ϭ wird auf der Abszisse, der imaginäre Teil j*ω auf der Ordinate aufgetragen. Für die relativ aufwändige Konstruktion der Wurzelortskurve gibt es mehrere Regeln. Wenn alle Pole und Nullstellen in der linken Halbebene liegen (-)Ϭ, ist der geschlossene Regelkreis stabil. Befinden sich ein Pol oder mehrere Pole in der rechten Halbebene (+) Ϭ, ist das System instabil. Das Wurzelortsverfahren lässt sich nicht auf Systeme mit Totzeiten anwenden.

Bewertung bekannter Stabilitätsverfahren für den Reglerentwurf

Für eine realistische Regelstrecke bestehend aus linearen zeitinvarianten Systemen in Verbindung mit Systemen, die sich nicht mit linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen (Gewöhnliche Differentialgleichung) beschreiben lassen, ergeben sich für die Parametrierung der Regler folgende Einschränkungen für die angegebenen Stabilitätsverfahren.

Bezeichnungen der Übertragungssysteme:

• LZI = lineare zeitinvariante Systeme (Lineares zeitinvariantes System)
• LZV = lineare zeitvariante Systeme
• Tt = Totzeitglied (Totzeit (Regelungstechnik))
• Begrenzung eines Signals
• Nichtlineare Kennlinie (Nichtlineares System)
• MIMO = Mehrgrößensysteme, (MIMO: Multiple Input Multiple Output)

Stabilitätsverfahren für den Reglerentwurf	Zeit- invarianz	Zeit- varianz	Tot- zeit	Begren- zung	Nicht- linear	MIMO	Bemerkungen
Stabilität nach Einstellanweisungen (Ziegler-Nichols und andere)	ja	-	-	-	-	-	Für Grobeinstellung bedingt geeignet
Bode-Diagramm + Nyquist	ja	-	ja	-	-	-	Phasenrandempfehlung: ca. 50°
Ortskurve des Frequenzgangs	ja	-	ja	-	-	-	Kritischer Punkt: (-1; j0) Abstand
Hurwitz-Kriterium	ja	-	-	-	-	-	Alle Koeffizienten a müssen vorhanden sein und ein gleiches Vorzeichen haben. Die „Hurwitz“-Determinanten Di müssen alle > 0 sein.
Verallgemeinertes Nyquist-Kriterium	ja	-	ja	-	-	-	Aus Übertragungsfunktion Go(s) wird bestimmt: np = Anzahl der Pole mit positivem Realteil, ni = Anzahl der Pole auf der imaginären Achse. Winkeländerung Δφstab = π (np + ni/2) = stabil.
Wurzelortsverfahren	ja	-	-	-	-	-	Wurzelortskurve in linker s-Halbebene
Inverse Laplace-Transformation	ja	-	-	-	-	-	Geschlossener Verlauf Xa(t), aufwändige Berechnung bei Schwingverhalten
Zustandsraum Zustandsstabilität	ja	ja	1)	ja	ja	ja	Gute mathematische Kenntnisse erforderlich
Numerische zeitdiskrete Verfahren käufliche Programme oder Differenzengleichungen	ja	ja	ja	ja	ja	ja	Geschlossener Verlauf der Ausgangsgröße y(k·Δt) k = Berechnungsfolge; Δt = diskretisierte Zeit Systemparameter sind beliebig zu ändern

1) Gilt nur für zeitdiskrete Verfahren im Zustandsraum-Modell!

Mathematische Modelle der Regelstrecken

Modelle beschreiben im Allgemeinen das zeitliche Verhalten dynamischer Systeme. Neben physikalischen materiellen Modellen (Beispiel: experimentelle Informationsgewinnung des Strömungsverhaltens eines Fahrzeugs im Windkanal, Modellschiffe im hydraulischen Kanal), die aufwendig und kostspielig sind, eignen sich besonders mathematische Systembeschreibungen für die Anwendung der Prozess-Simulation am Digitalrechner.

Die Vorteile der Prozess-Simulation sind bekannt, in weiten Grenzen sind Parameteränderungen möglich, zerstörungsfreie Untersuchungen möglich, relativ geringe Personalkosten,

Zur Modellgewinnung unterscheiden sich die Verfahren der theoretischen, analytischen und experimentellen Modelle.

Je nach Vollständigkeit der Kenntnisse der Modelle werden auch folgende Modellbegriffe verwendet:

• Black-Box-Modelle sind unbekannte Systeme, deren Art der Eingangs- und Ausgangsgrößen bekannt sind.
• Grey-Box-Modelle beschreiben meist Systeme deren Strukturen bekannt sind.

Einfaches Beispiel: Regelstrecke mit Totzeit, globales I-Verhalten und Anschlagbegrenzung der Stellgröße.

• White-Box-Modelle beschreiben meist Systeme, deren mathematisches Verhalten bekannt ist, deren Parameter noch bestimmt werden müssen.

Für die Analyse, Synthese und Regelung von realen Übertragungssystemen (Regelstrecken), die meist als ein Hardwaresystem vorliegen, ist ein mathematisches Modell des Systems erforderlich.

Modelle in Form von Differenzialgleichungen beschreiben das zeitliche Verhalten des Systems exakt. Sind diese Differenzialgleichungen oder zugehörigen Übertragungsfunktionen nicht gegeben, kann das zeitliche Verhalten eines Hardwaresystems durch experimentelle Identifizierungsmaßnahmen (Experimentelle Systemidentifikation) mit Hilfe von Testsignalen ermittelt werden.

Bei der prinzipiellen Vorgehensweise wird der Identifikationsalgorithmus für die Modellparameter solange verändert, bis für ein gegebenes Eingangssignal u(t) die Differenz der Ausgangsgrößen y(t) - y_Modell(t) innerhalb eines beliebigen Zeitablaufs des gemessenen Originalausgangs mit dem Modellausgang annäherungsweise verschwindet.

Dynamische Systeme mit konzentrierten Parametern als Eingrößen- und Mehrgrößensysteme können sich linear, nichtlinear, zeitinvariant, zeitvariant und global-proportional, -integral und -differenzial verhalten. Systeme mit konzentrierten Parametern (Feder-Masse-System) haben im Gegensatz zu Systemen mit verteilten Parametern (Wärmefluss im homogenen Medium) keine räumliche Ausdehnung.

Die Aufgabe eines mathematischen Modells eines realen dynamischen Prozesses oder eines noch zu projektierenden technischen Prozesses dient dem Erkennen und der Vorhersage des Systemverhaltens.

Das mathematische Modell eines Regelkreises beschreibt alle äußeren Einflussgrößen wie Störgrößen und Eingangssignale auf den geschlossenen Wirkungsablauf des Regelkreises. Das Verhalten der Ausgangsgrößen wie die Regelgrößen sowie auch interessante Zwischengrößen (Stellgrößen) als Funktion der Eingangssignale und der Parameter von Regler und Regelstrecke sind von besonderem Interesse.

Je nach Lastenheft der regelungstechnischen Aufgabenstellung ist für die Bestimmung eines geeigneten Reglers das mathematische Modell der Regelstrecke erforderlich.

In den meisten Anwendungsfällen haben Übertragungssysteme (Regelstrecken) auch nichtlineare Komponenten und sind totzeitbehaftet. Für solche Systeme wird experimentell durch geeignete Testsignale die Systemantwort aufgezeichnet und ein mathematisches Modell gesucht, das den gemessenen Verlauf der Ausgangsgröße y(t) reproduziert (= Experimentelle Prozessanalyse). Ein derartig definiertes Modell ist durch Anwendung numerischer Verfahren einfach berechenbar. Sind nichtlineare Teilsysteme im Gesamtsystem enthalten, müssen diese getrennt erfasst und durch Wertetabellen definiert werden.

• Global-proportionale zeitinvariante Regelstrecken höherer Ordnung mit Totzeit lassen sich relativ genau durch zwei PT1-Glieder und einem Tt-Glied beschreiben.

$G_{S}(s)={\frac {e^{-T_{t}\cdot s}}{(T\cdot s+1)^{2}}}$

Falls die Darstellung der transzendenten Funktion des Totzeitgliedes mit dem Rechenprogramm Probleme bereitet, kann die dargestellte Modellgleichung auch praktisch identisch durch eine sehr gute Annäherung mit Ersatztotzeiten durch z.  B. n = 3 PT1-Glieder wie folgt dargestellt werden:

$G_{S}(s)={\frac {1}{(T\cdot s+1)^{2}\cdot ({\frac {T_{t}}{n}}\cdot s+1)^{n}}}$

• Global-integrale zeitinvariante Regelstrecken lassen sich ebenso durch zwei PT1-Glieder, einem I-Glied und einem Tt-Glied beschreiben.

$G_{S}(s)={\frac {e^{-T_{t}\cdot s}}{s\cdot (T\cdot s+1)^{2}}}$

Zum Modellverständnis eines dynamischen Systems müssen die wichtigsten Begriffe der inneren Systemspeicher verstanden werden.

Siehe auch: Systemtheorie (Ingenieurwissenschaften) und Regelstrecke#Experimentelle Identifikation einer Regelstrecke mit Hilfe einer Modellregelstrecke

Experimentelle Identifikation einer Regelstrecke mit Hilfe einer Modellregelstrecke

Eine reale Regelstrecke lässt sich durch die Sprungantwort der Regelstrecke, durch die Impulsantwort der Regelstrecke oder auch durch Einspeisung einer variablen Frequenz identifizieren.

Sprungantwort einer Regelstrecke 4. Ordnung mit dominanter Zeitkonstante und deren Modellregelstrecke 2. Ordnung mit Totzeitglied

Wichtigste Merkmale für die Anwendung einer Modellregelstrecke mit Hilfe der Sprung- oder Impulsantwort sind:

• Die Parameter einer Regelstrecke können mittels einer einfachen Modellregelstrecke ermittelt werden, indem die Kennlinie des Modells durch schrittweises Ändern der Zeitkonstanten des Modells auf die Kennlinie der unbekannten Regelstrecke angepasst wird.
• Das Modell muss ähnliche Streckeneigenschaften aufweisen, wie die unbekannte Regelstrecke.

Bei Strecken ohne Ausgleich benötigt das Modell einen I-Anteil, bei Strecken mit Totzeit ist für das Modell ebenfalls ein Totzeitglied erforderlich.

• Die Anpassung eines Modells an die unbekannte Regelstrecke mit Hilfe der Sprungantwort ist relativ einfach und kann evtl. auch grafisch durchgeführt werden.
• Das Anpassung eines Modells an die unbekannte Regelstrecke mit Hilfe der Impulsantwort ist etwas aufwendiger, bietet aber bei Deckungsgleichheit der Kennlinien eine völlige Übereinstimmung zwischen Original und Modell in einem Regelkreis im Vergleich mit den jeweiligen Sprungantworten. Mit diesem Modell lässt sich auch die Ordnung des Originals feststellen.
• Es sollte einfach zu realisieren sein.

Identifikation einer Regelstrecke mit Ausgleich und Totzeit durch die Sprungantwort

Die Sprungantwort hat den Vorteil der einfacheren Durchführung und des höheren Bekanntheitsgrades des zu erwartenden Ergebnisses. Die zeitunabhängige Streckenverstärkung Ks kann bei Regelstrecken mit Ausgleich im statischen Zustand direkt abgelesen werden.

Identifikation einer Regelstrecke höherer Ordnung durch das Zeit-Prozentkennwert-Verfahren nach Gunther Schwarze

Folgende Anforderungen werden an die Modellregelstrecke für eine Regelstrecke mit Ausgleich gestellt:

• Die Sprungantwort der Modellregelstrecke soll weitgehend deckungsgleich mit der Originalregelstrecke sein.
• Die Modellregelstrecke soll eine bestimmte Form der Übertragungsfunktion aufweisen, die sich mit einem guten linearen Standardregler – bspw. einem PID-Regler – leicht für eine Parametrierung des Reglers eignet.
• Das Verfahren soll für Regelstrecken ab 2. Ordnung mit und ohne Totzeit anwendbar sein.

Zeit-Prozentkennwert-Verfahren (Schwarze)

Mit der Methode des „Zeit-Prozent-Verfahrens“ wird zum Beispiel eine Modellstrecke ermittelt, die mit gleichen Zeitkonstanten je nach Streckenkonstanten beliebiger Ordnung tatsächlich eine gute Annäherung an die reale Sprungantwort bietet. (Zeitschrift Automatisierungstechnik 1993 von Latzel)

Für eine gegebene Sprungantwort einer nicht schwingenden Regelstrecke werden von den Amplitudenwerten Xa von 10 %, 50 % und 90 % der Maximalamplitude im Beharrungszustand die zugehörigen Zeitwerte T10, T50 und T90 erfasst und daraus eine Modell-Übertragungsfunktion aus n gleichen Verzögerungsgliedern gebildet.

Siehe auch: Regelstrecke#Nichtschwingende Systeme höherer Ordnung

Heuristische Einstellregeln für einfache Regelungen

Steckenparameter einer Sprungantwort durch die Tangente am Wendepunkt

Die von Ziegler-Nichols bereits in den 1940er Jahren experimentell durchgeführten Einstellregeln beziehen sich auf die Sprungantwort einer Regelstrecke und definieren sie durch Anlegen einer Tangente am Wendepunkt als Strecke mit einem PT1-Glied und einem Totzeitglied. 1952 wurden von Chien, Hrones und Reswick die Einstellregeln (Faustformelverfahren (Automatisierungstechnik)) erweitert für aperiodisches Verhalten der Sprungantworten der Regelgröße und für gedämpft schwingendes Verhalten mit 20 % Überschwingungen. Zusätzlich erfolgt für beide Gruppen noch die Aufteilung in Führungsverhalten und Störverhalten. Diese Einstellregeln werden gelegentlich auch mit Faustformeln bezeichnet.

Es wird eine Regelstrecke 4. Ordnung mit folgender Übertragungsfunktion betrachtet:

$G_{S}(s)={\frac {1}{(2,4\cdot s+1)(1,2\cdot s+1)(0,6\cdot s+1)(0,1\cdot s+1)}}$

Mit dem Anlegen der Tangente an die Übergangsfunktion der angegebenen Übertragungsfunktion ergeben sich die Kennwerte:

• Ersatztotzeit: T_U = 0,94 s
• Ersatzzeitkonstante: Tg = 5,4 s

Für diese Kennwerte werden anhand von Tabellen die Parameter der linearen Standardregler bestimmt. Aus diesen Kennwerten lässt sich keine Ersatzübertragungsfunktion bestimmen.

Siehe auch: Faustformelverfahren (Automatisierungstechnik)

Durch die numerische Berechnung lässt sich experimentell zu der Übergangsfunktion der oben dargestellten (in praxi unbekannten) Übertragungsfunktion ein Ersatzstreckenmodell bestehend aus einem PT1-Glied und einem Eratztotzeitglied der einfachsten Form finden:

$G_{S}(s)={\frac {e^{-1,2\cdot s}}{3,2\cdot s+1}}$

oder ein sehr genaues Modell durch zwei gleiche PT1-Glieder mit Ersatztotzeit der Form:

$G_{S}(s)={\frac {e^{-0,5\cdot s}}{(1,9\cdot s+1)^{2}}}$

Lastenheft für ein Regelsystem

Für eine anspruchsvolle Regelung – jenseits des Probierverfahrens – ist für die Bestimmung des Reglers neben der Kenntnis des mathematischen Modells der Regelstrecke ein Lastenheft für das Verhalten des Regelkreises erforderlich.

Folgende Kenntnisse der Eigenschaften der Regelstrecke bzw. eines Modells sind erforderlich:

• Liegen Signalbegrenzungen im Übertragungssystem vor, z.  B. wenn man die erforderliche gerätetechnische Stellgrößeneinrichtung des Reglers in die Regelstrecke einbezieht
• Ist eine Totzeit im System vorhanden
• Hat die Regelstrecke grenzwertstabile Komponenten (I-Glieder)
• Enthält das Übertragungssystem gedämpft schwingende Komponenten, d.  h. konjugiert komplexe Pole?
• Sind neben den LZI-Systemen nichtlineare Anteile (nichtlineare Kennlinie) im Übertragungssystem enthalten
• Enthält das Übertragungssystem instabile Komponenten, d.  h. die Regelstrecke ist instabil?
• Hat die Regelstrecke mehrere Eingangs- und Ausgangsgrößen, d.  h. Einschleifensystem (SISO)- oder Mehrgrößensystem (MIMO).

Folgende Beschreibung der Signale und des Verhaltens der Regelgröße im Regelkreis sind notwendig:

• Groß- und Kleinsignalverhalten des Einschwingens der Regelgröße auf den Sollwert.

Hinweis: Das Großsignalverhalten wird durch Signalbegrenzungen innerhalb des offenen Regelkreises gestört!

• Art des Einschwingverhaltens der Regelgröße,
• Gütekriterien: asymptotisch, überschwingend, Dämpfung, Überschwingweite, Anregel- und Ausregelzeit, stationäre Regelabweichung, Langzeittoleranz
• Einfluss, Art und Angriffspunkt der Störgröße z.  B. auf den Eingang oder Ausgang der Regelstrecke
• Folgeverhalten der Regelgröße nach einer definierten Führungsgröße
• Optimierung des Führungs- oder des Störverhaltens
• Genügt ein angenähertes Modell der Regelstrecke
• Sind für eine besondere Regelstrecke Spezialregler erforderlich, z.  B. Kompensation der Störgröße, Kompensation der Totzeit, Vorsteuerungen zur Vermeidung von Folgefehlern, Regler für Mehrgrößensysteme,
• Welcher Einfluss der inneren Störgrößen der Hardware (alterungsbedingter Einfluss der Bauteile, Drift, Hysterese, Reibungseffekte usw.) ist in der gesamten Regeleinrichtung zugelassen.

Regler im Produktionseinsatz

Kompaktregler

Zur Realisierung eines Regelkreises muss der entworfene Regler physikalisch realisiert werden. Hierzu können Analogrechner, digitale Kompaktregler oder Soft-Regler in einer geeigneten Speicherprogrammierbaren Steuerung eingesetzt werden. Siehe auch Artikel Regler, sowie.

Je nach Aufbau und Einsatzzweck lassen sich unterscheiden:

Industrieregler

Maschinennahe Einzelregler für Kleinanlagen mit eigenem Mikroprozessor

Prozessregelgeräte

Erweiterbare Industrieregler mit Schnittstelle zu übergelagertem (Leit-)System

Universalregler

Prozessregler in Form von Erweiterungskarten oder Software-Regelbausteinen für programmierbare Steuerungen

Branchenregler

Spezielle Prozessregler, die für bestimmte Anwendungsgebiete optimiert sind

Rapid Prototyping in Forschung und Entwicklung

In der Forschung und Entwicklung entsteht regelmäßig das Problem, neue Regelungskonzepte zu testen. Die wichtigsten Software-Werkzeuge für rechnergestützte Analyse, Entwurf und Rapid Control Prototyping von Regelungen sind nachfolgend aufgeführt.

MATLAB und Simulink, The MathWorks

Durch zahlreiche Toolboxes ein sehr umfangreiches Softwarepaket für numerische Mathematik, für Simulation, Systemidentifikation, Reglerentwurf und Rapid Control Prototyping geeignet (kommerziell)

Scilab, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (INRIA)

Ebenfalls sehr umfangreiches Softwarepaket für numerische Mathematik mit ähnlichem Konzept und ähnlicher Syntax wie MATLAB, für Simulation, Systemidentifikation und Rapid Control Prototyping geeignet (frei)

CAMeL-View TestRig

Entwicklungsumgebung zur Modellbildung von physikalischen Systemen mit dem Schwerpunkt Reglerentwurf und Rapid Control Prototyping sowie zur Anbindung an Versuchsstände (kommerziell)

Maple

Computeralgebra-System, beherrscht numerische und symbolische Mathematik, besonders für manche Entwurfsverfahren der nichtlinearen Regelung geeignet (kommerziell)

Mathematica, Wolfram Research, Inc.

Umfangreiches Softwarepaket für numerische und symbolische Mathematik (kommerziell)

dSPACE

Integrierte Hard- und Software-Lösungen für die Anbindung von MATLAB an Versuchsstände (kommerziell)

LabVIEW, National Instruments (NI)

Integrierte Hard- und Software-Lösungen für die Rechnersteuerung von Versuchsständen (kommerziell)

ExpertControl

Software-Lösungen für vollautomatische Systemidentifikation und vollautomatische, modellbasierte Reglerauslegung für klassische Reglerstrukturen (PID-Regler) sowie Reglerstrukturen für Systeme höherer Ordnung (kommerziell)

TPT

Systematisches Testwerkzeug für Regelungssysteme, das neben der Simulation auch eine Ergebnisauswertung und Analysemöglichkeit bietet.

Alle aufgeführten Werkzeuge zeigen ein hohes Maß an Flexibilität bezüglich der Anwendung und der verwendbaren Reglerstrukturen.

Technische Anwendungen

Transrapid

Verbrennungsmotor

Talsperre

Bahntechnik

In der Antriebsregelung treten vielfältige Regelungsprobleme auf, es sind beispielsweise Drehmoment und Geschwindigkeit zu regeln. An der U-Bahn Sendai wurde die Fuzzy-Regelung erfolgreich eingesetzt.

Luftfahrt

Regelungsprobleme treten in zahlreichen Komponenten von Flugzeugen auf, etwa in den Turbinen, aber auch bezogen auf die Flugdynamik. Beispiele für flugdynamische Regelungsprobleme sind die Kontrolle der Roll-, Gier-, und Nickwinkel, sowie der Autopilot. Siehe auch Flugsteuerung.

Energietechnik

Stellungsregelung eines Stellventils mit Stellantrieb innerhalb einer Reglerkaskade. In Elektroenergienetzen sind Spannung und Frequenz netzweit zu halten. In jedem Kraftwerk werden Spannung und Frequenz lokal geregelt, so dass die Aufgabe mit dezentralen Reglern durch Variation der Regelleistung gelöst wird (siehe auch Kraftwerksmanagement). Global werden lediglich die Leistungssollwerte der einzelnen Kraftwerke vorgegeben. Die Drehzahlregelung einer Dampfmaschine mit Fliehkraftregelung ist ein klassischer Anwendungsfall.

Kraftfahrzeugtechnik

Tempomat und Antiblockiersystem (ABS), aber auch elektronisches Stabilitätsprogramm sind bekannte Regelungen im Fahrzeugbereich, die auch als Fahrerassistenzsysteme bezeichnet werden. Auch Verbrennungsmotoren beinhalten vielfältige Regelkreise, beispielsweise für Leerlaufdrehzahl, Luftverhältnis (siehe auch Lambdasonde), Klopfregelung (siehe auch Klopfen (Verbrennungsmotor)). Moderne automatische Schaltgetriebe benötigen ebenfalls Regelkreise für die Synchronisation beim Schalten.

Pipeline

In Pipelines kommen vor allem vermaschte Regelungen vor, für Durchfluss, Druckregelung (Vordruck, Nachdruck) und Stellungsregelung einschließlich Grenzwertregelung.

Robotik

In der Fertigungsautomatisierung sind die Achsen der Fertigungsroboter zu positionieren. Hier spielen eine schnelle Beruhigungszeit und geringstes Überschwingen eine besonders große Rolle.

Verfahrenstechnik

In verfahrenstechnischen Prozessen treten Regelungsprobleme für jegliche chemische und physikalische Größen auf, die im betrachteten Prozess eine Rolle spielen. Beispiele sind die Regelung von Füllstand, Temperatur, pH-Wert und Sauerstoffgehalt eines Rührkessel-Reaktors oder das Konstanthalten von Stoff- bzw. Ionenkonzentrationen mit einem Chemostat.

Wasserwirtschaft

Zur Vermeidung von Überschwemmungen und Sicherung der Wasserversorgung sind unterlagerte Regelungen von Ketten von Talsperren bedeutsam. Der Füllstand eines einzelnen Stausees wird von einem übergeordneten Management vorgegeben und lokal geregelt.

Berufsverbände mit Bezug zur Regelungstechnik

Deutschland:

• Gesellschaft Mess- und Automatisierungstechnik (GMA) des VDI/VDE

International:

• International Federation of Automatic Control (IFAC)
• Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE)

Siehe auch

Wikibooks: Einführung in die Systemtheorie – Lern- und Lehrmaterialien

• Control in the Field
• Faustformelverfahren (Automatisierungstechnik)
• Modellprädiktive Regelung
• Fehlertolerantes Regelsystem
• Adaptive Regelung
• Optimale Regelung

Literatur

• Otto Föllinger: Regelungstechnik. Hüthig Verlag, ISBN 3-7785-2336-8. 
• Martin Horn, Nicolaos Dourdoumas: Regelungstechnik. Pearson Studium, 2006, ISBN 3-8273-7260-7. 
• Rolf Isermann: Identifikation dynamischer Systeme. Band 1 und 2. Springer Verlag, 1992, ISBN 3-540-55468-8. 
• Lennart Ljung: System Identification - Theory for the User. Prentice Hall, ISBN 0-13-656695-2. 
• Jan Lunze: Regelungstechnik 1. 6. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-70790-5.  Regelungstechnik 2. 4. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32335-8. 
• Holger Lutz, Wolfgang Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik mit MATLAB und Simulink. 9. Auflage. Verlag Harri Deutsch, 2012, ISBN 978-3-8171-1895-3. 
• Heinz Mann, Horst Schiffelgen, Rainer Froriep,: Einführung in die Regelungstechnik. Carl Hanser Verlag, München 2009, ISBN 978-3-446-41765-6. 
• Winfried Oppelt: Kleines Handbuch technischer Regelvorgänge. 5. Auflage. Verlag Chemie, Weinheim 1972, ISBN 3-527-25347-5. 
• Kurt Reinschke: Lineare Steuerungs- und Regelungstheorie. Springer Verlag, Dresden 2005, ISBN 3-540-21886-6. 
• Gerd Schulz: Regelungstechnik. Oldenbourg Verlag, 2002, ISBN 3-486-25858-3. 
• Karl-Dieter Tieste: Keine Panik vor Regelungstechnik. Vieweg Verlag, 2011, ISBN 978-3-8348-0850-9. 
• Heinz Unbehauen: Regelungstechnik. Band 1. Vieweg, Braunschweig 2005, ISBN 3-528-93332-1.  Regelungstechnik. Band 2. Vieweg, Braunschweig 2000, ISBN 3-528-73348-9. 
• Josef Uphaus: Regelungstechnik. Bildungsverlag Eins, 2005, ISBN 3-427-44510-0. 
• samson.de (Hrsg.): Begriffe und Symbole der Regelungstechnik. ((pdf)). 
• Jürgen Adamy: Nichtlineare Regelungen. Springer Verlag, Berlin 2009, ISBN 978-3-642-00793-4. 

Zeitschriften und Journale:

• VDI/VDE-GMA, NAMUR (Interessengemeinschaft Prozessleittechnik der chemischen und pharmazeutischen Industrie) (Hrsg.): at – Automatisierungstechnik. 1953ff (at-technik.de – monatlich).  atp – Automatisierungstechnische Praxis. ISSN 0178-2320.  atpi – Automation Technology in Practice. Oldenbourg Wissenschaftsverlag (weblink). 
• MSR-Magazin. Zeitschrift für Messen, Steuern, Regeln. Verlag für Technik & Wirtschaft VTW (industrie-service.de, VTW). 
• International Journal of Control. Taylor & Francis (tandf.co.uk). 
• IFAC (Hrsg.): Automatica. Elsevier (elsevier.com). 
• European Journal of Control. hermes Science (elet. polimi.it, editions-hermes.fr). 
• Institution of Engineering and Technology [IET] (Hrsg.): IEE Proceedings - Control Theory & Applications. (ietdl.org, IET: theiet.org). 
• Norwegian Society of Automatic Control (Hrsg.): Modeling, Identification and Control. (itk.ntnu.no, nfaplassen.no). 
• Wroclaw University of Technology (Hrsg.): Systems Science. (Wroclaw UT). 
• IEEE Control Systems Society (CSS) (Hrsg.): IEEE Control Systems Magazine. (web).  IEEE Transactions on Automatic Control. (web).  IEEE Transactions on Control Systems Technology. (web, ieeecss.org). 
• ASME American Society Of Mechanical Engineers (Hrsg.): Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. (scitation.aip.org, asme.org). 

Weblinks

Commons: Regelungs- und Steuerungstechnik (Control engineering) – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Deutschland

• Regelungstechnische Institute in Deutschland
• RoboterNetz Regelungstechnik