„Dirac-Verteilung“ – Versionsunterschied

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Version vom 6. Juli 2023, 13:16 Uhr

Die Dirac-Verteilung oder Einpunktverteilung^[1]^[2]^[3], manchmal auch Punktverteilung^[4], ausgeartete Verteilung^[1], entartete Verteilung^[1], uneigentliche Verteilung^[1], deterministische Verteilung, Einheitsmasse^[5] oder degenerierte Verteilung genannt, ist eine spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Sie zählt zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Der Name Dirac-Verteilung folgt daher, dass sie aus dem Diracmaß abgeleitet wird. Sie ist meist nur von theoretischer Bedeutung und spielt eine wichtige Rolle in der Klassifikation der unendlich teilbaren Verteilungen.

Definition

Die Verteilungsfunktion von $\delta _{0}$

Eine reelle Zufallsvariable $X$ heißt Dirac-verteilt zum Punkt $b$ , in Symbolen $X\sim \delta _{b}$ , wenn sie die Verteilungsfunktion

F_{X}(t)={\begin{cases}0&{\text{ falls }}t<b\\1&{\text{ falls }}b\leq t\end{cases}}

besitzt. Die Verteilung von $X$ ist also genau das Diracmaß im Punkt $b$ , das heißt für alle messbaren Mengen $A\subset \mathbb {R}$ gilt

P(X\in A)={\begin{cases}1&{\text{ falls }}b\in A,\\0&{\text{ sonst.}}\end{cases}}

Die Zufallsvariable $X$ nimmt insbesondere fast sicher den Wert $b$ an, es gilt also $P(X=b)=1$ , worauf der Name deterministische Verteilung zurückzuführen ist.

Eigenschaften

Lagemaße

Erwartungswert, Modus und Median fallen alle zusammen und sind gleich dem Punkt $b$

Streumaße

Varianz, Standardabweichung und Variationskoeffizient fallen zusammen und sind alle gleich $0$

Symmetrie

Die Dirac-Verteilung ist symmetrisch um $b$ .

Höhere Momente

Die Momente sind gegeben durch

m_{k}=b^{k}

Entropie

Die Entropie der Dirac-Verteilung ist 0.

Kumulanten

Die kumulantenerzeugende Funktion ist

g_{X}(t)=bt

.

Damit ist $\kappa _{1}=b$ und alle weiteren Kumulanten sind gleich 0.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ist

\varphi _{X}(t)=e^{ibt}\,

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist

M_{X}(t)=e^{bt}\,

Reproduktivität, α-Stabilität und unendliche Teilbarkeit

Die Klasse der Dirac-Verteilungen ist reproduktiv, da die Summe Dirac-verteilter Zufallsvariablen wieder Dirac-verteilt ist, da für die Faltung

\delta _{x}*\delta _{y}=\delta _{x+y}

gilt. Des Weiteren sind Dirac-Verteilungen α-stabile Verteilungen mit $\alpha =1$ . Teilweise werden aber Dirac-Verteilungen explizit von der Definition der α-Stabilität ausgeschlossen. Außerdem sind Dirac-Verteilungen unendlich teilbar, da $\delta _{b/n}^{*n}=\delta _{b}$ gilt.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Die Dirac-Verteilung tritt meist als degenerierter Fall bei schlechter Parameterwahl von anderen Verteilungen auf. Beispielsweise sind die Bernoulli-Verteilung, die Zweipunktverteilung und die Binomialverteilung alles Dirac-Verteilungen, wenn man $p=0$ wählt. Des Weiteren ist auch die diskrete Gleichverteilung auf einem Punkt eine Dirac-Verteilung.

Literatur

Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.

Einzelnachweise

↑ ^a ^b ^c ^d P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Einpunktverteilung, S. 81.
↑ Horst Rinne: Taschenbuch der Statistik. 4. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-1827-4, 3.12.1 Einpunkt-Verteilung, S. 369.
↑ Hermann Witting, Ulrich Müller-Funk: Mathematische Statistik II. Asymptotische Statistik: Parametrische Modelle und nichtparametrische Funktionale. Teubner, Stuttgart 1995, ISBN 978-3-322-90153-8, S. 46.
↑ Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 4., überarbeitete und ergänzte Auflage. Springer, Berlin 2020, ISBN 978-3-662-62088-5, S. 369, doi:10.1007/978-3-662-62089-2.
↑ Georgii: Stochastik. 2009, S. 14.

[PHM-81-1] P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Einpunktverteilung, S. 81.

[2] Horst Rinne: Taschenbuch der Statistik. 4. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-1827-4, 3.12.1 Einpunkt-Verteilung, S. 369.

[3] Hermann Witting, Ulrich Müller-Funk: Mathematische Statistik II. Asymptotische Statistik: Parametrische Modelle und nichtparametrische Funktionale. Teubner, Stuttgart 1995, ISBN 978-3-322-90153-8, S. 46.

[4] Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 4., überarbeitete und ergänzte Auflage. Springer, Berlin 2020, ISBN 978-3-662-62088-5, S. 369, doi:10.1007/978-3-662-62089-2.

[5] Georgii: Stochastik. 2009, S. 14.

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	Die '''Dirac-Verteilung''', manchmal auch '''Punktverteilung''', '''deterministische Verteilung''', '''Einheitsmasse'''<ref> Georgii: ''Stochastik.'' 2009, S. 14. </ref> oder '''degenerierte Verteilung''' genannt, ist eine spezielle [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] in der Stochastik. Sie zählt zu den [[diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung\|diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen]]. ~~Ihr~~ Name folgt daher, dass sie aus dem [[Diracmaß]] abgeleitet wird. Sie ist meist nur von theoretischer Bedeutung und spielt eine wichtige Rolle in der Klassifikation der [[Unendliche Teilbarkeit\|unendlich teilbaren Verteilungen]].		Die '''Dirac-Verteilung''' oder '''Einpunktverteilung'''<ref name="PHM-81">{{Literatur \|Herausgeber=[[P. Heinz Müller\|P. H. Müller]] \|Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik \|Verlag=Akademie-Verlag \|Ort=Berlin \|Datum=1991 \|Auflage= 5 \|ISBN=978-3-05-500608-1 \|Fundstelle=''Einpunktverteilung'', S. 81}}</ref><ref>{{Literatur \|Autor=[[Horst Rinne]] \|Titel=Taschenbuch der Statistik \|Verlag=Harri Deutsch \|Ort=Frankfurt am Main \|Datum=2008 \|Auflage= 4 \|ISBN=978-3-8171-1827-4\|Fundstelle=''3.12.1 Einpunkt-Verteilung'', S. 369}}</ref><ref>{{Literatur \|Autor=[[Hermann Witting]], [[Ulrich Müller-Funk]] \|Titel=Mathematische Statistik II. Asymptotische Statistik: Parametrische Modelle und nichtparametrische Funktionale \|Verlag=Teubner \|Ort=Stuttgart \|Datum=1995 \|ISBN=978-3-322-90153-8 \|Fundstelle=S. 46}}</ref>, manchmal auch '''Punktverteilung'''<ref>{{Literatur \|Autor=[[Achim Klenke]] \|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie \|Verlag=Springer \|Ort=Berlin \|Datum=2020 \|ISBN=978-3-662-62088-5 \|Auflage=4., überarbeitete und ergänzte Auflage \|DOI=10.1007/978-3-662-62089-2 \|Fundstelle= S. 369}}</ref>, '''ausgeartete Verteilung'''<ref name="PHM-81"/>, '''entartete Verteilung'''<ref name="PHM-81"/>, '''uneigentliche Verteilung'''<ref name="PHM-81"/>, '''deterministische Verteilung''', '''Einheitsmasse'''<ref> Georgii: ''Stochastik.'' 2009, S. 14.</ref> oder '''degenerierte Verteilung''' genannt, ist eine spezielle [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] in der Stochastik. Sie zählt zu den [[diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung\|diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen]]. Der Name Dirac-Verteilung folgt daher, dass sie aus dem [[Diracmaß]] abgeleitet wird. Sie ist meist nur von theoretischer Bedeutung und spielt eine wichtige Rolle in der Klassifikation der [[Unendliche Teilbarkeit\|unendlich teilbaren Verteilungen]].

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