Gammaverteilung

Eine gesichtete Version dieser Seite, die am 9. Oktober 2016 freigegeben wurde, basiert auf dieser Version.

Die Gammaverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Sie ist einerseits eine direkte Verallgemeinerung der Exponentialverteilung und andererseits eine Verallgemeinerung der Erlang-Verteilung für nichtganzzahlige Parameter. Wie diese wird sie verwendet

in der Warteschlangentheorie, um die Bedienzeiten oder Reparaturzeiten zu beschreiben.
in der Versicherungsmathematik zur Modellierung kleinerer bis mittlerer Schäden.

Definition

Die Gammaverteilung $\gamma (p,\,b)$ ist durch die Wahrscheinlichkeitsdichte $f(x)={\begin{cases}{\frac {\displaystyle b^{p}}{\displaystyle \Gamma (p)}}x^{p-1}e^{-bx}&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}}$ definiert. Sie besitzt die reellen Parameter $b$ und $p$ . Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird $b>0$ und $p>0$ gefordert. Der Vorfaktor $b^{p}/\Gamma (p)$ dient der korrekten Normierung; der Ausdruck $\Gamma (p)$ steht für den Funktionswert der Gammafunktion, nach der die Verteilung auch benannt ist.
Die Gammaverteilung genügt damit der Verteilungsfunktion $F(x)={\begin{cases}P(p,bx)&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}$ , wobei $P(p,\,bx)$ die regularisierte Gammafunktion der oberen Grenze ist.

Alternative Parametrisierung

Alternativ zur obigen, im deutschsprachigen Raum üblichen Parametrisierung mit $p$ und $b$ findet man auch häufig

(\alpha =p,\beta =b)

oder

\left(k=p,\theta ={\frac {1}{b}}\right).

$\beta =b$ ist die Umkehrung eines Skalierparameters und $\theta =1/b$ ist der Skalierparameter selbst. Dichte und Momente ändern sich dementsprechend bei diesen Parametrisierungen (der Erwartungswert wäre hier beispielsweise $\alpha /\beta$ beziehungsweise $k\theta$ ). Da diese Parametrisierungen im angelsächsischen Raum vorherrschen, werden sie besonders häufig in der Fachliteratur verwendet. Um Missverständnissen vorzubeugen, wird empfohlen, die Momente explizit anzugeben, also beispielsweise von einer Gammaverteilung mit Erwartungswert $p/b$ und Varianz $p/b^{2}$ zu sprechen. Hieraus sind dann Parametrisierung und die entsprechenden Parameterwerte eindeutig rekonstruierbar.

Eigenschaften

Die Dichte $f$ besitzt für $p>1$ an der Stelle $x_{M}={\tfrac {p-1}{b}}$ ihr Maximum und für $p>2$ an den Stellen

x_{W}=x_{M}\pm {\frac {(p-1)^{\frac {1}{2}}}{b}}

Wendepunkte.

Erwartungswert

Der Erwartungswert der Gammaverteilung ist

\operatorname {E} (X)={p \over b}.

Varianz

Die Varianz der Gammaverteilung ist

\operatorname {Var} (X)={p \over b^{2}}.

Schiefe

Die Schiefe der Verteilung ist gegeben durch

\operatorname {v} (X)={\frac {2}{\sqrt {p}}}.

Reproduktivität

Die Gammaverteilung ist reproduktiv: Die Summe aus den stochastisch unabhängigen gammaverteilten Zufallsvariablen $X$ und $Y$ , die beide gammaverteilt sind mit den Parametern $b$ und $p_{x}$ bzw. $p_{y}$ , ist wiederum gammaverteilt mit den Parametern $b$ und $p_{x}+p_{y}$ .

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

\phi _{X}(s)=\left({\frac {b}{b-is}}\right)^{p}.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der Gammaverteilung ist

m_{X}(s)=\left({\frac {b}{b-s}}\right)^{p}.

Entropie

Die Entropie der Gammaverteilung beträgt

H(X)=\ln \left(\Gamma (p)\right)-\ln \left(b\right)+(1-p)\psi (p)+p

wobei ψ(p) die Digamma-Funktion bezeichnet.

Summe gammaverteilter Zufallsgrößen

Sind $X_{1}\sim \gamma (p_{1},b)$ und $X_{2}\sim \gamma (p_{2},b)$ unabhängige gammaverteilte Zufallsgrößen dann ist auch die Summe $X_{1}+X_{2}$ gammaverteilt, und zwar

X_{1}+X_{2}\sim \gamma (p_{1}+p_{2},b).

Allgemein gilt: Sind $X_{i}\sim \gamma (p_{i},b)\quad i=1,\ldots ,n$ stochastisch unabhängig dann ist

X_{1}+\dotsb +X_{n}\sim \gamma (p_{1}+\dotsb +p_{n},b).

Somit bildet die Gammaverteilung eine Faltungshalbgruppe in einem ihrer beiden Parameter.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Betaverteilung

Wenn $X\sim \gamma (p_{1},b)$ und $Y\sim \gamma (p_{2},b)$ unabhängige gammaverteilte Zufallsvariablen sind mit den Parametern $p_{1},b$ bzw. $p_{2},b$ , dann ist die Größe ${\tfrac {X}{X+Y}}$ betaverteilt mit Parametern $p_{1}$ und $p_{2}$ , kurz

\operatorname {Beta} (p_{1},p_{2})\sim {\frac {\gamma (p_{1},b)}{\gamma (p_{1},b)+\gamma (p_{2},b)}}.

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung

Die Chi-Quadrat-Verteilung mit $k$ Freiheitsgraden ist eine Gammaverteilung mit den Parametern $p=k/2$ und $b=1/2$ .

Beziehung zur Erlang-Verteilung

Die Erlang-Verteilung mit dem Parameter $\lambda$ und $n$ Freiheitsgraden entspricht einer Gammaverteilung mit den Parametern $p=n$ und $b=\lambda$ und liefert die Wahrscheinlichkeit der Zeit bis zum Eintreffen des $p$ -ten seltenen, Poisson-verteilten Ereignisses.

Beziehung zur Exponentialverteilung

Wählt man in der Gammaverteilung den Parameter $p=1$ , so erhält man die Exponentialverteilung mit Parameter $\lambda =b$ .
Die Faltung von n Exponentialverteilungen mit demselben $\lambda$ ergibt eine Gamma-Verteilung mit $p=n,b=\lambda$ .

Beziehung zur logarithmischen Gammaverteilung

Ist $X$ Gamma-verteilt, dann ist $Y=e^{X}$ Log-Gamma-verteilt.

Literatur

Lindgren, Bernard W.: Statistical Theory, New York etc., 1993
Fisz, Marek: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik, Berlin 1970
P. Heinz Müller (Hrsg.): Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik, Leipzig 1991

Weblinks

siehe auch Lévy-Prozess, mit Bild von einem Gamma-Prozess
Interaktives Applet der Universität Konstanz zum Darstellen der Gammaverteilung: http://www.uni-konstanz.de/FuF/wiwi/heiler/os/vt-gamma.html
Gerechnete Beweise: http://www.eisber.net/StatWiki/index.php/WS2_Zettel1#Gamma-Verteilung

Gammaverteilung

Inhaltsverzeichnis