Benutzer:Schojoha/Spielwiese/Topologie

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Separabler Raum (weitgehende Überarbeitung inkl. vieler Referenzen)

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Der mathematische Begriff separabel bezeichnet in der Topologie und verwandten Gebieten eine häufig benutzte Abzählbarkeitseigenschaft von topologischen Räumen. Der Begriff ist dabei von besonderer Bedeutung in der Funktionalanalysis. Hier kann man beispielsweise zeigen, dass es in einem separablen Hilbertraum stets abzählbare Orthonormalbasen gibt.

Ein topologischer Raum heißt separabel, wenn es eine höchstens abzählbare Teilmenge gibt, die in diesem Raum dicht liegt.

Kriterien für separable Räume

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  • Besitzt ein topologischer Raum eine (höchstens) abzählbare Basis, so ist er separabel. (Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.)[1]
  • Für einen metrischen Raum gilt sogar:[2]
    • Dafür, dass eine abzählbare Basis besitzt, ist es notwendig und hinreichend, dass separabel ist.
  • Ein total beschränkter metrischer Raum ist stets separabel.[3]
  • Insbesondere ist jeder kompakte, metrisierbare Raum separabel. Genauer gilt:[4]
    • Ist ein metrisierbarer topologischer Raum, so sind die drei Eigenschaften,
      • (1) eine abzählbare Basis zu besitzen,
      • (2) lindelöfsch zu sein,
      • (3) separabel zu sein,
    äquivalent.[5]
  • Ein topologischer Vektorraum ist genau dann separabel, wenn es eine abzählbare Teilmenge gibt, sodass der davon erzeugte Untervektorraum dicht liegt.
  • Ist ein Hilbertraum von unendlicher Dimension, so sind stets die folgenden drei Bedingungen gleichwertig:[6][7]
    • (1) ist separabel.
    • (2) Alle Orthonormalbasen von sind abzählbar.
    • (3) In gibt es eine abzählbare Orthonormalbasis.
  • Für eine unendliche und mit der Ordnungstopologie versehene linear geordnete Menge sind die folgenden drei Bedingungen stets gleichwertig:[8]
  • Ist ein metrischer Raum zusammenhängend und lokal euklidisch, so ist er lindelöfsch und damit separabel.[9]

Beispiele für separable Räume sind etwa:

  • Die Räume sind für separabel, da abzählbar ist und dicht in liegt.[10]
  • Die Räume Lp() mit einer beschränkten, offenen Teilmenge und sind separabel.
  • Die Folgenräume für sind separabel.[10]
  • Der Raum der (reellen oder komplexen) Nullfolgen ist mit der Supremumsnorm ein separabler Banachraum.[11]
  • Der Raum der abbrechenden Folgen () ist mit der -Norm für separabel.
  • Für offene Teilmengen und natürliche Zahlen sind die Räume stets separabel.
  • Jede unendliche Menge mit kofiniter Topologie ist separabel, weil eine beliebige abzählbar unendliche Teilmenge als einzige abgeschlossene Obermenge den gesamten Raum hat.[12]
  • Die Niemytzki-Ebene (oder Moore-Ebene) ist ein separabler Raum, da die enthaltene abzählbare (!) Teilmenge der Punkte mit rationalen Koordinaten darin dicht liegt.[13][14]

Es gibt einige bekannte Beispiele für nicht-separable Räume:

Permanenzeigenschaften

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  • Bilder von separablen Räumen unter stetigen Funktionen sind wieder separabel.[18]
  • Offene Unterräume separabler Räume sind stets ebenfalls separabel.[19]
  • Im Allgemeinen sind Unterräume separabler Räume nicht separabel. So enthält die erwähnte separable (!) Niemytzki-Ebene beispielsweise einen nicht-separablen Unterraum.[13]
  • Es gilt aber, dass Unterräume separabler metrischer Räume wieder separabel sind.[20]
  • Separabilitätssatz von Marczewski: Ist eine Familie separabler Räume und ist die Mächtigkeit von höchstens gleich der Mächtigkeit des Kontinuums , so ist mit der Produkttopologie ebenfalls separabel. Um dieses Resultat einzusehen, genügt es, die Separabilität von zu beweisen. Dazu überlegt man sich leicht, dass die abzählbare Menge der endlichen Summen von Funktionen aus dicht liegt, wobei die charakteristische Funktion des Intervalls ist.

Zusammenhang mit anderen Begriffen

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  • In der englischen Fachliteratur wird ein topologischer Raum mit (höchstens) abzählbarer Basis von manchen Autoren als completely separable oder perfectly separable, also als vollständig separabel bzw. als vollkommen separabel bezeichnet.[21]
  • Lässt sich die Topologie eines separablen Raumes durch eine vollständige Metrik erzeugen, so nennt man einen polnischen Raum.[22]
  • Der Begriff des separablen Raumes steht in keiner Beziehung zum Begriff des separierten Raums.[23]
  • Das Konzept des separablen Raumes geht zurück auf Maurice René Fréchet und seine Publikation Sur quelques points de calcul fonctionnel aus dem Jahre 1906.[24]
  • P. S. Alexandroff zufolge ist der Terminus separabel eine höchst unglückliche Bezeichnung ... , die sich bedauerlicherweise jedoch eingebürgert hat und allgemeine Verbreitung fand.[25]
  • Wie Horst Schubert im Jahre 1975 schrieb, bestanden ... Tendenzen, ihn [den Terminus separabel] abzuschaffen.[23][26]

Einzelnachweise

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KKKategorie:Topologischer Raum]] KKKategorie:Funktionalanalysis]]

Fortsetzungslemma

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Das Fortsetzungslemma (englisch Extension Lemma) ist ein Lehrsatz, der dem Übergangsfeld der beiden mathematischen Teilgebiete Topologie und Funktionalanalysis zuzurechnen ist. Das Lemma behandelt die grundlegende Frage der Fortsetzung stetiger Funktionale auf gewissen topologischen Räumen und ist daher verwandt mit (und sogar eine Folgerung aus) dem Fortsetzungssatz von Tietze.[27]

Das Lemma lässt sich wie folgt formulieren:[27]

Gegeben seien ein vollständig regulärer topologischer Raum und darin eine kompakte Teilmenge .
Es seien dabei und die zugehörigen Funktionenräume der stetigen Funktionale von beziehungsweise in den Grundkörper , welcher entweder der Körper der reellen Zahlen oder der Körper der komplexen Zahlen sein soll, jeweils versehen mit der durch die Betragsfunktion erzeugten topologischen Struktur.
Dann gilt:
Zu jedem Funktional gibt es ein Funktional mit
(i) .
(ii) .

In der in Rede stehenden Situation betrachtet man als Teilraum seiner Stone-Čech-Kompaktifizierung und wendet den Tietze'schen Fortsetzungssatz an, dabei berücksichtigend, dass ein Hausdorff-Raum ist und als kompakter Teilraum sowohl von als auch von dort zu den abgeschlossenen Mengen zählt.[27][23]

Klaus Jänich benutzt in seiner Topologie im Zusammenhang mit dem Fortsetzungssatz von Tietze ebenfalls das Stichwort Lemma, indem er vom Tietzeschen Erweiterungslemma spricht. Das oben formulierte Fortsetzungslemma und das Tietzesche Erweiterungslemma fallen jedoch nicht zusammen.[28]

Einzelnachweise

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Satz von Morita

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Der Satz von Morita ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Topologie. Der Satz geht zurück auf eine wissenschaftliche Arbeit des japanischen Mathematikers Kiiti Morita aus dem Jahre 1948 und behandelt das Problem, unter welchen Bedingungen ein topologischer Raum die Eigenschaft der Parakompaktheit besitzt. Er ist verwandt mit dem Satz über Metrisierbarkeit und Parakompaktheit des britischen Mathematikers Arthur Harold Stone.[29]

Formulierung des Satzes

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Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:[30][31]

Unter der allgemeinen Annahme des abzählbaren Auswahlaxioms gilt:
Jeder reguläre Lindelöf-Raum ist parakompakt.
Dabei gilt im Einzelnen:
Ist ein regulärer Lindelöf-Raum und eine beliebige offene Überdeckung von , so lässt sich durch eine Mengenfolge offener -Teilmengen so überdecken, dass eine lokal-endliche Verfeinerung von bildet.

Eine etwas andere, jedoch eng verwandte Formulierung des Satzes findet man in der Monographie Topology von James Dugundji. Sie besagt:[32]

In einem hausdorffschen Lindelöf-Raum sind Regularität und Parakompaktheit gleichwertige Konzepte.

Aus dem moritaschen Satz lassen sich folgende Korollare ziehen:[33]

Korollar 1 (Satz von Stone für separable Räume):
In einem separablen metrischen Raum besitzt jede offene Überdeckung eine lokal-endliche abzählbare Verfeinerung .
Korollar 2:
Ein hausdorffscher regulärer Lindelöf-Raum ist stets ein T4-Raum. Dies gilt insbesondere für jeden regulären Hausdorff-Raum, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt.

Einzelnachweise

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KKKategorie:Topologie]] KKKategorie:Satz (Mathematik)|Morita]]


Separabilitätssatz von Marczewski

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Der Separabilitätssatz von Marczewski (englisch Marczewski’s separability theorem[34]) – auch als Satz von Marczewski[35] bezeichnet – ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Allgemeinen Topologie. Er geht auf eine Arbeit des polnischen Mathematikers Edward Marczewski aus den Jahren 1947 zurück und behandelt das Problem der Separabilität des Produkts gewisser topologischer Räume.[35]

Formulierung des Satzes

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Der Satz lässt sich zusammengefasst angeben wie folgt:[35][31]

Gegeben sei eine nichtleere Familie von Hausdorffräumen, welche allesamt aus zwei oder mehr Elementen bestehen sollen, und es sei
deren topologisches Produkt.
Dann gilt:
Der Produktraum ist separabel genau dann, wenn jeder der Räume separabel ist und wenn darüber hinaus die Indexmenge höchstens die Mächtigkeit des Kontinuums hat.

Verwandter Satz

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Ein dem Separabilitätssatz von Marczewski eng verwandter Satz ist der folgende, der von manchen Autoren Satz von Hewitt–Marczewski–Pondiczery (englisch Hewitt–Marczewski–Pondiczery theorem) genannt wird: [36]

Ist eine unendliche Kardinalzahl und ist das Produkt von topologischen Räumen und enthalten diese Räume allesamt dichte Teilmengen, deren Mächtigkeit höchstens ist, so umfasst der Produktraum seinerseits eine dichte Teilmenge, deren Mächtigkeit höchstens ist.

Anmerkung zur Namensgebung

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Kenneth Allen Ross und Arthur Harold Stone rechnen den Separabilitätssatz dem US-amerikanischen Mathematiker Ralph Boas zu, in dessen Arbeit aus dem Jahre 1944 – die Boas unter dem Pseudonym E. S. Pondiczery veröffentlichte – dieses Resultat auch enthalten ist.[37]

Einzelnachweise

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KKKategorie:Topologie]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Marczewski, Separabilitätssatz von]]

Zum Artikel Zusammenziehbarer Raum

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Zusammenziehbare Räume - auch als kontrahierbare bzw. kontraktible Räume bezeichnet - werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtet. Aus Sicht der Homotopietheorie gelten zusammenziehbare Räume als trivial. ....

Ein topologischer Raum heißt zusammenziehbar oder kontrahierbar oder kontraktibel, wenn er homotopieäquivalent zu einem einpunktigen Unterraum ist, wenn ...

.... .... ....


Weitere Resultate

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Es liegen die folgenden Resultate vor:

Einzelnachweise

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Zum Satz von Heine

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Weitere Beweisskizze für metrische Räume

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Der Satz lässt sich - etwa nach Otto Forster[43] - auch beweisen unter Zugrundelegung der Heine-Borel-Eigenschaft - und zwar ohne Widerspruchsbeweis!

Dieser Beweis ist sizzierbar wie folgt:

Zu dem kompakten metrischer Raum (mit der Metrik ), dem metrischen Raum (mit der Metrik ) und der stetigen Abbildung fixiert man ein beliebiges . Hierzu ist das für den Nachweis der gleichmäßigen Stetigkeit benötigte zu bestimmen.

Dies gewinnt man, indem man zunächst die Stetigkeitseigenschaft von heranzieht und aus ihr zu jedem ein festlegt derart, dass für mit stets erfüllt ist.

Dann betrachtet man die aus lauter Punktumgebungen bestehende offene -Überdeckung . Wegen der Kompaktheit von ergibt sich infolge der Heine-Borel-Eigenschaft, dass schon endlich viele dieser Umgebungen überdecken, etwa für ein gewisses .

Schließlich setzt man:

.

Den Nachweis der in der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit auftretenden Ungleichung führt man unter Anwendung der Dreiecksungleichung.

Verallgemeinerung auf kompakte Hausdorffräume

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Der heinesche Satz lässt sich über die kompakten metrischen Räume hinaus sogar auf beliebige kompakte Hausdorffräume ausdehnen. Dies ist eine direkte Folge der Tatsache, dass der topologischen Struktur eines kompakten Hausdorffraums eine eindeutig bestimmte uniforme Struktur unterliegt. Deren Nachbarschaftssystem besteht aus allen Umgebungen der Diagonalen im zugehörigen Produktraum , wobei die in offenen Nachbarschaften ein Fundamentalsystem bilden, wodurch sogar eine vollständige uniforme Struktur gegeben ist.[44][45]

Es gilt also:[46][47]

Eine stetige Abbildung des kompakten Hausdorffraums in den uniformen Raum ist stets auch gleichmäßig stetig.

Aus dem Satz von Heine gewinnt man einen Fortsetzungssatz:[46][47]

Ist eine dichte Teilmenge des kompakten Hausdorffraums und ist eine Abbildung von in den separierten und vollständigen uniformen Raum , so ist stetig und dabei fortsetzbar zu einer stetigen Abbildung auf ganz genau dann, wenn - bezüglich der von auf induzierten uniformen Struktur[48] - gleichmäßig stetig ist.

KKKategorie:Analysis]]

KKKategorie:Topologie]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Heine]]

Zusammenhängende Teilräume

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Besonderheiten zusammenhängender Teilräume des reellen Koordinatenraums

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Im reellen Koordinatenraum haben zusammenhängende Teilräume mehrere Besonderheiten. Hervorzuheben sind vor allem zwei davon.

Zusammenhängende Teilräume der reellen Zahlen

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Hier handelt es sich um die reellen Intervalle. Es gilt nämlich:[49][50]

Die zusammenhängenden Teilräume von sind die reellen Intervalle jeden Typs. Es handelt sich im Einzelnen also um die der leere Menge , die einpunktigen Teilmengen sowie um alle offenen, halboffenen, abgeschlossenen, beschränkten und unbeschränkten Intervalle mit mindestens zwei Punkten, selbst eingeschlossen.
Es lässt sich nämlich zeigen, dass ein Teilraum     dann und nur dann zusammenhängend ist, wenn für je zwei Punkte auch gilt.

Hinsichtlich der zusammenhängenden Teilräume des ist vor allem die folgende Besonderheit bemerkenswert:[51][52]

Eine nichtleere offene Menge bildet genau dann einen zusammenhängenden Teilraum (und damit ein Gebiet), wenn sie wegzusammenhängend (s. u.) ist.[53]
Dabei gilt sogar schärfer, dass sich in einem solchen Gebiet je zwei Punkte stets durch einen ganz in diesem Gebiet liegenden Streckenzug verbinden lassen.

Besonderheit kompakter metrischer Räume

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Diese Besonderheit besteht in folgender Eigenschaft:[54][55]

Ist ein metrischer Raum kompakt, so ist er genau dann zusammenhängend, wenn je zwei seiner Punkte für jedes -verkettet in dem Sinne, dass endlich viele Punkte existieren mit und sowie .

Einzelnachweise und Fußnoten

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KKKategorie:Mengentheoretische Topologie]]

Kettensatz (Allgemeine Topologie)

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In der Allgemeinen Topologie, einem der Teilgebiete der Mathematik, behandelt der Kettensatz die Frage, unter welchen Bedingungen in einem topologischen Raum die Vereinigung zusammenhängender Unterräume ihrerseits zusammenhängend ist.[56]

Formulierung des Satzes

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Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:[56][57][58][59]

Gegeben seien ein topologischer Raum und darin eine Familie zusammenhängender Unterräume.
Die Unterraumfamilie sei verkettet in folgendem Sinne:
Zu je zwei Indizes gebe es darin stets eine endliche Teilfamilie mit:
(a) und
(b) Je zwei aufeinanderfolgende Mengen der endlichen Teilfamilie mögen sich überschneiden; m. a. W.: Für gelte stets .
Dann gilt:
Die Vereinigung
bildet einen zusammenhängenden Unterraum von .

Die obige Bedingung (b) lässt sich - bei gleicher Behauptung! - dahingehend abschwächen, dass man lediglich folgendes fordert:[59]

(b') Von je zwei aufeinanderfolgende Unterräumen der endlichen Teilfamilie enthalte stets mindestens einer der beiden einen Berührpunkt des anderen; m. a. W.: Für gelte stets oder .

Der Kettensatz zieht - schon in seiner einfachen Version! - folgende Resultate unmittelbar nach sich:

(1) Hat in einem topologischen Raum eine Familie zusammenhängender Unterräume nichtleeren Durchschnitt, so bildet die Vereinigung dieser Unterräume ihrerseits einen zusammenhängenden Unterraum. [57][60][61]
(2) Wenn je zwei Punkte eines topologischen Raums in einem zusammenhängenden Unterraum dieses Raums enthalten sind, so ist dieser Raum zusammenhängend. [62]
(3) In einem topologischen Raum ist die Zusammenhangskomponente eines Punktes gleich der Vereinigung all derjenigen zusammenhängenden Unterräume, welche diesen Punkt enthalten, also der größte unter allen zusammenhängenden Unterräumen, denen dieser Punkt zugehört. [63][57][62][64]

In der verschärften Version des Kettensatzes ergibt sich auch sogleich das folgende Resultat:

(4) In einem topologischen Raum bildet eine Vereinigung zusammenhängender Unterräume, bei denen von je zweien stets mindestens einer der beiden einen Berührpunkt des anderen enthält, einen zusammenhängenden Unterraum.[65]

Einzelnachweise und Fußnoten

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Satz von Mazurkiewicz (Dimensionstheorie)

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Der Satz von Mazurkiewicz ist ein mathematischer Lehrsatz der Topologie und ist als solcher dem Teilgebiet der Dimensionstheorie zuzurechnen. Der Satz behandelt die Abhängigkeit von Dimension und Zusammenhangseigenschaften von Unterräumen des .[66][67]

Formulierung des Satzes

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Er besagt:

Gegeben seien im zwei Teilmengen mit .
Hierbei sei ein Gebiet und habe die Urysohn-Menger-Dimension .
Dann gilt:
Eine solche Teilmenge zerlegt nicht.

Einzelnachweise und Fußnoten

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Verklebungslemma

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Das Verklebungslemma (englisch Glueing lemma (bzw. Gluing lemma) oder Pasting lemma) ist ein elementarer Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Allgemeinen Topologie.[68] Es zeigt, wie unter gewissen Bedingungen stetige Abbildungen auf topologischer Räumen aus solchen auf Unterräumen stückweise zusammengefügt und damit gewissermaßen "zusammengeklebt" werden können.[69][70]

Formulierung des Lemmas

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Es lässt sich zusammengefasst und in allgemeiner Darstellung formulieren wie folgt:[71][72][69][70][73]

Gegeben seien zwei topologische Räume und .
Weiter gegeben seien eine Überdeckung von und dazu eine Familie stetiger Abbildungen [74].
Dabei möge gelten:
(1) Für und sei stets .
(2) Die seien entweder allesamt offene Teilmengen oder aber allesamt abgeschlossene Teilmengen von , wobei letzterenfalls zusätzlich gelten solle, dass die Familie eine lokalendliche Überdeckung von darstelle.
Dann gilt:
Durch die Zuordnungsvorschrift
ist eine Abbildung
gegeben und diese ist stetig.

Das Lemma schließt das folgende häufig benutzte Kriterium in sich ein:[75]

Hat ein topologischer Raum eine offene Überdeckung oder eine endliche abgeschlossene Überdeckung , so ist eine auf ihm gegebene Abbildung in einen weiteren topologischen Raum genau dann stetig, wenn jede einzelne eingeschränkte Abbildung stetig ist.

Der Beweis des Lemmas beruht wesentlich auf der folgenden, für jede Teilmenge gültigen Gleichung

sowie der Tatsache, dass (unter den jeweiligen Bedingungen!) eine Teilmenge offen (beziehungsweise abgeschlossen) in ist dann und nur dann, wenn jede der Schnittmengen offen (beziehungsweise abgeschlossen) in ist.

Einzelnachweise und Fußnoten

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Verbindbarkeitssatz von Menger

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Der Verbindbarkeitssatz von Menger ist ein mathematischer Lehrsatz über eine grundlegende Fragestellung der Theorie der metrisch konvexen Räume und als solcher angesiedelt im Übergangsfeld zwischen den beiden mathematischen Gebieten Topologie und Geometrie. Der Satz geht (ebenso wie das Konzept des metrisch konvexen Raums) auf eine Arbeit des österreichischen Mathematikers Karl Menger aus den Jahren 1928 zurück.[76][77][78]

Formulierung des Satzes

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Der Satz lässt sich angeben wie folgt:[76][77][78]

Gegeben sei ein vollständiger metrischer und zugleich metrisch konvexer Raum .
Dann gilt:
Zwischen je zwei Raumpunkten eines beliebigen Abstands gibt es stets eine kürzeste Verbindung in dem Sinne, dass das zugehörige reelle Intervall eine isometrische Einbettung gestattet, welche die reelle Zahl auf und die reelle Zahl auf abbildet.

Verwandte Resultate

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Mit dem mengerschen Verbindbarkeitssatz verwandt ist ein anderer Satz, dem eine ähnliche Fragestellung zugrundeliegt und der auf Stefan Mazurkiewicz zurückgeht:[79]

In einem topologischen Raum , der vollständig metrisierbar, zusammenhängend und lokal zusammenhängend ist, gibt es zu je zwei verschiedenen Raumpunkten stets eine offene Jordan-Kurve , welche mit verbindet.

Im Zusammenhang damit - und nicht weniger auch im Zusammenhang mit dem Verbindbarkeitssatz von Menger - ist ein weiterer Satz erwähnenswert, der unmittelbar folgt und von Ákos Császár in dessen Monographie General Topology als Satz von Mazurkiewicz-Moore-Menger (englisch Mazurkiewicz-Moore-Menger theorem) bezeichnet wird. Dieser Satz lautet:[80][81]

Ist ein vollständiger metrischer Raum sowohl zusammenhängend als auch lokal zusammenhängend, so ist er schon bogenweise zusammenhängend und lokal bogenweise zusammenhängend.

Anmerkungen zum Beweis des Satzes

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Karl Menger hat den Verbindbarkeitssatz unter Anwendung der Transfiniten Induktion hergeleitet. Im Jahre 1935 gab Nachman Aronszajn einen Beweis ohne Transfinite Induktion.[76] Kazimierz Goebel und William A. Kirk[82] haben in ihrer 1990er Monographie Topics in Metric Fixed Point Theory gezeigt, dass man in Anlehnung an den Originalbeweis von Menger einen Beweis führen kann, der anstelle der Transfiniten Induktion einen Fixpunktsatz benutzt. Wie Goebel und Kirk darstellen, ist dieser Fixpunktsatz eine Verallgemeinerung des banachschen Fixpunktsatzes und geht auf eine Publikation von James Caristi aus dem Jahre 1976 zurück. Sie bezeichnen diese Verallgemeinerung als Satz von Caristi (englisch Caristi's theorem).[83][84]

Der Satz von Caristi

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Der Satz besagt das Folgende:[85]

Gegeben seien ein vollständiger metrischer Raum sowie eine unterhalbstetige und zudem nach unten beschränkte reellwertige Funktion .
Hier sei eine beliebige Abbildung, welche die folgende Bedingung erfüllen möge:
Dann besitzt einen Fixpunkt.

Einzelnachweise und Fußnoten

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KKKategorie:Topologie]]

KKKategorie:Geometrie]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Menger, Verbindbarkeitssatz von]]



Metrisierbarkeitssatz von Urysohn

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Der Metrisierbarkeitssatz von Urysohn - oder auch Metrisationssatz von Urysohn (englisch Urysohn's metrization theorem) - ist ein klassischer mathematischer Lehrsatz auf dem Gebiet der Topologie, welcher auf den russischen Mathematiker Paul Urysohn zurückgeht. Der Satz behandelt die Frage der Metrisierbarkeit topologischer Räume im Zusammenhang mit Abzählbarkeitsbedingungen.[86][87] Dem Mathematiker Lutz Führer zufolge ist der Metrisierbarkeitssatz eines der berühmtesten Ergebnisse von P. Urysohn.[71]

Formulierung des Satzes

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Der Satz lässt sich zusammengefasst angeben wie folgt:[86][87][71]

Für einen Hausdorff-Raum, welcher dem Zweiten Abzählbarkeitsaxiom genügt, sind Regularität, vollständige Regularität, Normalität und Metrisierbarkeit gleichwertige Eigenschaften.
Es gilt sogar:
Für einen T1-Raum sind die folgenden Bedingungen gleichwertig:
(1) ist ein regulärer Raum und genügt dem Zweiten Abzählbarkeitsaxiom.
(2) ist ein separabler und metrisierbarer Raum.
(3) lässt sich einbetten in den Hilbertwürfel .

Aus dem Metrisierbarkeitssatz von Urysohn ergeben sich drei unmittelbare Folgerungen:

(1) Ein kompakter Hausdorff-Raum ist genau dann metrisierbar, wenn er dem Zweiten Abzählbarkeitsaxiom genügt.[71]
(2) Ein lokalkompakter Hausdorff-Raum, der dem Zweiten Abzählbarkeitsaxiom genügt, ist ein σ-kompakter Raum und als solcher - ebenso wie seine Einpunkt-Kompaktifizierung - metrisierbar.[71][88]
(3) Das stetige Bild eines kompakten metrischen Raums in einem Hausdorff-Raum ist stets ein metrisierbarer Raum.[87]

Einzelnachweise

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KKKategorie:Topologie]] KKKategorie:Satz (Mathematik)|Urysohn, Metrisationssatz von]]



Interpolationssatz von Katětov

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Der Interpolationssatz von Katětov (englisch : Katětov's interpolation theorem) ist ein Lehrsatz, welcher dem mathematischen Teilgebiet der Topologie zuzurechnen ist. Er geht zurück auf den tschechischen Mathematiker Miroslav Katětov und gibt eine Verallgemeinerung des bekannten Fortsetzungssatzes von Tietze.[11]

Formulierung des Satzes

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Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:[11]

Gegeben sei ein normaler topologischer Raum .[89]
Seien weiter gegeben zwei halbstetige reellwertige Funktionen und es sei vorausgesetzt, dass oberhalbstetig sei, dass unterhalbstetig sei und dass dabei stets die Ungleichung bestehe.[90]
Dann existiert eine stetige Funktion , welche und interpoliert,
für welche also punktweise die Ungleichung
besteht.
  • Der Interpolationssatz von Katětov zieht den tietzeschen Fortsetzungssatz als Folgerung nach sich. Dazu zeigt man den Fortsetzungssatz mit Hilfe des Interpolationssatzes zunächst für stetige Funktionen, die eine abgeschlossene Teilmenge eines normalen topologischen Raumes in das Intervall abbilden. Daran anschließend gewinnt man – mit bekannten Methoden – den Fortsetzungssatz für alle stetigen Funktionen, die eine abgeschlossene Teilmenge eines normalen topologischen Raumes nach oder (noch allgemeiner) in einen aus reellen Intervallen bestehenden Produktraum abbilden.[16][23][91]
  • In seiner Arbeit aus dem Jahre 1951 war Katětov bei der Herleitung seines Interpolationssatzes ein Fehler unterlaufen, welcher von Hing Tong mit dessen Arbeit aus dem Jahre 1952 bereinigt wurde. In der englischsprachigen Literatur wird der Interpolationssatz daher oft beiden genannten Autoren zugerechnet und dann – etwa von Tomasz Kubiak (s. u.) – als Katětov-Tong insertion theorem bezeichnet.
  • Der Interpolationssatz lässt sich auch mit Hilfe des Lemmas von Urysohn herleiten.[11] Da das Lemma von Urysohn und der Tietzesche Fortsetzungssatz im Wesentlichen gleichwertig sind und da der Interpolationssatz den Fortsetzungssatz – wie gesehen – nach sich zieht, erweisen sich alle drei Lehrsätze damit sogar als gleichwertig. Wie sich (nicht zuletzt anhand der genannten Arbeiten) zeigt, bedeuten diese im Kern, dass ein normaler Raum stets die in den drei Lehrsätzen behaupteten funktionalen Eigenschaften besitzt und dass ihn diese charakterisieren.[92]

Einzelnachweise

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Binormaler Raum

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Binormaler Raum ist ein Terminus aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. Der Terminus hat unter anderem Bedeutung für Homotopieuntersuchungen im endlich-dimensionalen reellen Koordinatenraum.

Ein topologischer Raum heißt binormal, wenn er ein normaler Hausdorffraum ist und zugleich abzählbar parakompakt in dem Sinne, dass jede höchstens abzählbare offene Überdeckung eine lokalendliche Verfeinerung besitzt.[93][94]

Ein metrischer Raum ist nach dem Satz von Arthur Harold Stone stets parakompakt, folglich auch abzählbar parakompakt und darüber hinaus auch stets normal.[42][95] Daher ist jeder metrische Raum binormal.

Charakterisierungssatz

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Es gilt der folgende Charakterisierungssatz, der im Wesentlichen auf eine Arbeit des kanadischen Mathematikers Clifford Hugh Dowker aus dem Jahre 1951 zurückgeht:[96][97][98][99]

Für einen Hausdorffraum sind die folgenden Bedingungen gleichwertig:
(1) ist binormal.
(2) Ist ein beliebiger kompakter metrischer Raum, so ist der zugehörige Produktraum stets ein normaler Raum .
(3) Es existiert zumindest ein unendlicher kompakter metrischer Raum , für den der zugehörige Produktraum ein normaler Raum ist.
(4) Der mit dem abgeschlossenen Einheitsintervall gebildete Produktraum ist ein normaler Raum.
(5) Der aus und dem Hilbertwürfel gebildete Produktraum ist ein normaler Raum.
(6) Zu je zwei halbstetigen reellwertigen Funktionen derart, dass oberhalbstetig und unterhalbstetig ist und dass stets die Ungleichung gilt, existiert eine stetige Funktion , welche stets die Beziehung erfüllt.

Homotopie-Fortsetzungssatz

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Im Zusammenhang mit der Binormalitätseigenschaft gilt der borsuksche Homotopie-Fortsetzungssatz, der auf eine Arbeit des polnischen Mathematikers Karol Borsuk aus dem Jahre 1937 zurückgeht.[100] Dieser lässt sich formulieren wie folgt:[101]

Gegeben seien eine binormaler Raum und darin ein abgeschlossener Unterraum sowie zwei stetige Abbildungen von in die -Sphäre .
Dabei seien und homotop und besitze eine stetige Fortsetzung .
Dann gilt:
Auch besitzt eine stetige Fortsetzung , welche zudem homotop zu ist.

Allerdings haben im Jahre 1975 Kiiti Morita und Michael Starbird unabhängig voneinander bewiesen, dass dieser auch dann noch Gültigkeit hat, wenn man die Binormalitätseigenschaft beiseite lässt, wenn man also lediglich als normalen Hausdorffraum voraussetzt.[102][103]

Der Lebesgue'sche Pflastersatz zieht eine direkte Folgerung nach sich. Sie besagt:[104]

Für und für jedes beliebige n-Simplex gibt es stets ein mit folgender Eigenschaft:
Ist eine endliche Menge abgeschlossener Teilmengen des , die überdecken, und hat jedes einen Durchmesser , so gibt es unter den mindestens Mengen mit nichtleerer Schnittmenge.

Das dowkersche Problem

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Clifford Hugh Dowker warf in seiner Arbeit von 1951 folgende Frage auf:[96][105][94][99]

  • Ist ein normaler Hausdorffraum immer auch ein abzählbar parakompakter Raum?

Anders gefragt:

  • Ist jeder normale Hausdorffraum schon binormal?

Das zu dieser Frage gehörige Problem wird als dowkersches Problem (englisch Dowker’s problem) bezeichnet. Einen Hausdorffraum, der ein Gegenbeispiel dazu liefert, also ein normaler, nicht abzählbar parakompakter Hausdorffraum, wird ein Dowker-Raum (englisch Dowker space) genannt. Die US-amerikanische Mathematikerin Mary Ellen Rudin hat im Jahre 1971 das dowkersche Problem insoweit gelöst, als sie im Rahmen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom (ZFC) einen Dowker-Raum konstruieren konnte.[105][106][99][107]

Einzelnachweise und Fußnoten

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Satz von Hanner

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Der Satz von Hanner ist ein mathematischer Lehrsatz aus dem Teilgebiet der Topologie, welcher auf den schwedischen Mathematiker Olof Hanner zurückgeht. Der Satz behandelt eine wichtige Eigenschaft absoluter Umgebungsretrakte.[108]

Formulierung des Satzes

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Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:[108]

Wird ein topologischer Raum von endlich vielen offenen Teilräumen überdeckt, welche allesamt absolute Umgebungsretrakte sind, so ist seinerseits ein absoluter Umgebungsretrakt.

Der Satz von Hanner zieht unmittelbar den folgenden Lehrsatz nach sich:[108]

Jede kompakte topologische Mannigfaltigkeit ist ein absoluter Umgebungsretrakt.

Einzelnachweise und Fußnoten

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Kreferences />

KKKategorie:Topologie]] KKKategorie:Mengentheoretische Topologie]] KKKategorie:Satz (Mathematik)|Hanner, Satz von]]

Satz von Zoretti (Unfertig)

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Der Satz von Zoretti gehört zu den Lehrsätzen der Topologie, einem der Teilgebiete der Mathematik. Er geht auf den französischen Mathematiker Ludovic Zoretti zurück und gibt eine topologische Charakterisierung der Zahlengeraden und des reellen Einheitsintervalls.[109][110]

Formulierung des Satzes

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Die beiden Teile des Satzes von Zoretti lassen sich angeben wie folgt:

Ein topologischer Raum     ist genau dann homöomorph zur Zahlengeraden     , wenn er den folgenden sechs Bedingungen genügt:

(B1)     erfüllt das Trennungsaxiom T1.
(B2)     ist ein zusammenhängender Raum.
(B3)     ist ein lokal zusammenhängender Raum.
(B4)     ist ein separabler Raum.
(B5)   Von je drei verschiedenen Punkte    lassen sich stets zwei durch den dritten voneinander trennen; d. h.: Ein     ist stets so gelegen, dass die beiden anderen Punkte     zu verschiedenen Zusammenhangskomponenten von     gehören.
(B6)   Jeder Punkt     ist Zerlegungspunkt; d. h.:     hat stets zwei Zusammenhangskomponenten.

Ein topologischer Raum     ist genau dann homöomorph zum Einheitsintervall     , wenn er den folgenden sechs Bedingungen genügt:

(B1)     erfüllt das Trennungsaxiom T1 .
(B2)     ist ein zusammenhängender Raum.
(B3)     ist ein lokal zusammenhängender Raum.
(B4)     ist ein separabler Raum.
(B5)   Es existieren zwei verschiedene Punkte     , zwischen denen     irreduzibel zusammenhängend ist, welche also so beschaffen sind, dass jeder von     verschiedene Punkt diese beiden voneinander trennt.
  • Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975.
  • Ludovic Zoretti: La notion de ligne. In: Annales scientifiques de l’ École Normale Supérieure. Band 26, 1909, S. 485–497.[4]

Einzelnachweise und Fußnoten

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KK references /LL

XXKategorie:Topologie]]


Hauptsatz der kombinatorischen Topologie (Unfertig)

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Der Hauptsatz der kombinatorischen Topologie besagt folgendes:

Zwei Triangulationen desselben Polyeders haben stets isomorphe Homologiegruppen [111]

Einzelnachweise und Fußnoten

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K references />

KK Kategorie:Topologie]]


Hahnscher Einschiebungssatz / in Arbeit

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Inhalt: Auf metrischen Räumen lässt zwischen eine oberhalb-stetige Funktion g und eine unterhalb-stetige Funktion h stets eine stetige Funktion f einschieben, also so dass g ≤ f ≤ h ist. (Satz 32-2-6 bei Hahn). Folgerung aus dem Baireschen Satz, wonach auf metrischen Räumen jede halbstetige Funktion als Grenzfunktion eine monotonen Folge von stetigen Funktionen darstellbar ist.

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Satz von Hausdorff zur Totalbeschränktheit

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Der Satz von Hausdorff ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. Er wurde 1927 von Felix Hausdorff in seiner Grundzüge der Mengenlehre vorgestellt[112][113][114]. Der Satz formuliert ein Kriterium für die Kompaktheit metrischer Räume.

Formulierung des Satzes

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In metrischen Räumen ist die Existenz von Cauchy-Teilfolgen in Folgen gleichbedeutend mit der Totalbeschränktheit des zugrundeliegenden Raums.

  • Felix Hausdorff: Felix Hausdorff. Gesammelte Werke. Band III. Mengenlehre (1927, 1935); Deskriptive Mengenlehre und Topologie. Herausgegeben von U. Felgner, H. Herrlich, M. Hušek, V. Kanovei, P. Koepke, G. Preuß, W. Purkert und E. Scholz. Springer-Verlag, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-76806-7.


Fortsetzungssatz von Dugundji

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Der Fortsetzungssatz von Dugundji (engl. Dugundji extension theorem oder Dugundji extension formula) ist ein mathematischer Lehrsatz, der angesiedelt ist im Übergangsfeld zwischen Allgemeiner Topologie und der Theorie der topologischen Vektorräume. Er geht auf eine wissenschaftliche Publikation des US-amerikanischen Mathematikers James Dugundji aus dem Jahre 1951 zurück[115][116][117] und ist direkt verknüpft mit dem Satz von Tietze-Urysohn über die Fortsetzung stetiger Abbildungen normaler Räume, von dem er in gewissem Sinne eine Verallgemeinerung[118] darstellt.

Formulierung des Satzes

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Der Satz lässt sich wie folgt formulieren:[119][120][121]

Gegeben seien ein metrischer Raum und darin eine abgeschlossene Teilmenge sowie ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum .
Dann existiert zu jeder stetigen Abbildung eine stetige Fortsetzung auf , also eine stetige Abbildung mit , welche so beschaffen ist, dass der Bildbereich von der konvexen Hülle von umfasst wird.

In etwas abgewandelter, aber gleichwertiger Form lässt sich der Fortsetzungssatz von Dugundji auch so darstellen:[122]

Gegeben seien ein metrischer Raum und darin eine abgeschlossene Teilmenge sowie ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum und darin eine konvexe Teilmenge . Weiterhin sei eine stetige Abbildung.
Dann besitzt eine stetige Fortsetzung .

Einordnung des Satzes

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Der Tietze-Urysohnsche Fortsetzungssatz garantiert für normale topologische Räume allein die Existenz einer stetigen Fortsetzung in dem Fall, dass der Wertebereich der zugrundeliegenden stetigen Abbildung ein aus Intervallen von zusammengesetzter Produktraum, etwa ein , ist.[123] Der Fortsetzungssatz von Dugundji liefert nun eine erhebliche Ausweitung dieser Aussage, die jedoch erst dadurch möglich wird, dass statt eines normalen topologischen Raums ein metrischer Raum zugrundegelegt wird: Die Verallgemeinerung des Wertebereichs im Satz von Dugundji ist durch eine Spezialisierung des Definitionsbereichs erkauft.[124]

Originalarbeiten

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Einzelnachweise

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KKKategorie:Satz (Mathematik)|Dugundji, Fortsetzungssatz von]]

KKKategorie:Mengentheoretische Topologie]]

KKKategorie:Topologischer Vektorraum]]

Lemma von Sperner

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Das Lemma von Sperner, oft Spernersches Lemma genannt, englisch Sperner’s Lemma[125], ist ein mathematisches Resultat aus dem Teilgebiet der Topologie. Es geht zurück auf den deutschen Mathematiker Emanuel Sperner, der es im Jahr 1928 veröffentlicht hat.[126] Die Bedeutung des Lemmas liegt darin, dass mit seiner Hilfe – und damit lediglich mittels elementarer kombinatorischer Methoden – eine ganze Anzahl wichtiger mathematischer Lehrsätze zu beweisen sind, wie der brouwersche Fixpunktsatz[127][128] und verwandte Resultate[129][130] oder auch der Satz von der Invarianz der offenen Menge[126] und nicht zuletzt der Pflastersatz von Lebesgue.[131][132][133]

Begrifflichkeit im Zusammenhang

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Im Folgenden wird durchgängig ein euklidischer Raum der endlichen Dimension über dem Körper der reellen Zahlen zugrundegelegt.

Bildet man in zu gegebenen affin unabhängigen Punkten () die konvexe Hülle dieser Punkte, so erhält man das n-Simplex . Die heißen die Eckpunkte oder Ecken des zugehörigen n-Simplexes und seine Dimension.[134][135][136] Im Folgenden wird für die Menge der Eckpunkte des n-Simplexes auch geschrieben.

Seite eines Simplexes

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Bildet man für eine Teilmenge mit in gleicher Weise die konvexe Hülle, so erhält man ein Untersimplex , welches man als (r-dimensionale) Seite von bezeichnet.[137]

Simplizialer Komplex und Eckenmenge

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Ein (endlicher) simplizialer Komplex[138][139] in dem euklidischen Raum ist eine Familie von Simplexen von mit folgenden Eigenschaften:

  1. Mit jedem Simplex gehört auch jede Seite von zu .
  2. Der Schnitt zweier Simplexe von ist leer oder gemeinsame Seite beider Simplexe .
  3. ist eine endliche Menge.

Die Familie der Seiten eines n-Simplexes bildet stets einen endlichen simplizialen Komplex.

Bildet man die Vereinigungsmenge , so erhält man die Eckenmenge von , nämlich die Menge aller Eckpunkte der in vorkommenden Simplexe.

Polyeder und Triangulation

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Die Vereinigungsmenge , gebildet über alle Simplexe eines simplizialen Komplexes , nennt man das zu gehörige Polyeder und seine Triangulation. Man sagt dann, das Polyeder werde durch trianguliert. Da hier vorausgesetzt ist, dass eine endliche Familie ist, handelt es sich bei einem solchen Polyeder stets um eine kompakte Teilmenge des zugrundeliegenden euklidischen Raumes .[140]

Seitpunkt und mittlerer Punkt

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Ein Punkt heißt ein Seitpunkt von , wenn in einer echten Seite (mit ) enthalten ist. Andernfalls wird er als mittlerer Punkt von bezeichnet.

ist also ein mittlerer Punkt von dann und nur dann, wenn seine bzgl. der Eckpunkte gebildeten baryzentrischen Koordinaten alle größer sind. Dementsprechend ist ist genau dann ein Seitpunkt von , wenn eine seiner bzgl. gebildeten baryzentrischen Koordinaten gleich ist.[141]

Für einen Punkt existiert stets exakt eine Seite , von welcher ein mittlerer Punkt ist. Es ist die Seite kleinster Dimension unter all den Seiten , in denen enthalten ist. Dieses nennt man kurz das Trägersimplex von (in ).[142]

Die zu den Ecken dieser Seite gehörige Indexmenge wird im Folgenden mit     bezeichnet.

Spernersche Eckpunktbezifferung und komplette Simplexe

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Ist ein n-Simplex fest vorgegeben und dazu ein (endlicher) simplizialer Komplex , welcher dieses Simplex trianguliert, und ist weiter eine Abbildung, welche die Bedingung für jede -Ecke erfüllt (Sperner-Bedingung), so bezeichnet man ein solches als Eckpunktbezifferung[142] oder Spernersche Eckpunktbezifferung (engl. Sperner labelling[143]).

Für jedes Simplex setzt man dann .

Es ist offenbar stets . Gilt sogar , so bezeichnet man ein solches Simplex als komplett.[144]

Formulierung des Spernerschen Lemmas

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Das Spernersche Lemma kann man formulieren wie folgt:[144]

Für jede Spernersche Eckpunktbezifferung ist die Anzahl der kompletten Simplexe ungerade. Insbesondere hat jede Spernersche Eckpunktbezifferung stets mindestens ein komplettes Simplex.

Anwendung des Lemmas: Der Pflastersatz von Lebesgue

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Zu den bedeutenden topologischen Sätzen, welche mit dem Spernerschen Lemma zu gewinnen sind, zählt als einer der wichtigsten der Pflastersatz von Lebesgue, der eine wesentliche Rolle in der Dimensionstheorie spielt:[104]

Es seien sowie ein gegebenes n-Simplex mit den Eckpunkten . Für sei die dem Eckpunkt in gegenüberliegende -dimensionale Seite, also diejenige Seite, deren Eckenmenge aus allen besteht.
Weiter sei eine endliche Menge von abgeschlossenen Teilmengen des gegeben, welche überdecken.
Dann gilt:
Gibt es zu jedem mindestens ein derart, dass die Schnittmenge die leere Menge ist, so gibt es in stets Mengen, die eine nichtleere Schnittmenge haben.

Der Lebesgue'sche Pflastersatz zieht eine direkte Folgerung nach sich. Sie besagt:[104]

Für und für jedes beliebige n-Simplex gibt es stets ein mit folgender Eigenschaft:
Ist eine endliche Menge abgeschlossener Teilmengen des , die überdecken, und hat jedes einen Durchmesser , so gibt es in stets Mengen mit nichtleerer Schnittmenge.

Artikel

  • B. Knaster, K. Kuratowski, S. Mazurkiewicz: Ein Beweis des Fixpunktsatzes für n-dimensionale Simplexe. In: Fund. Math. Band 14, 1929, S. 132–137.
  • Emanuel Sperner: Neuer Beweis für die Invarianz der Dimensionszahl und des Gebietes. In: Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. Band 6, 1928, S. 265–272.
  • Francis Edward Su: Rental Harmony: Sperner’s Lemma in Fair Division. In: Amer. Math. Monthly. Band 106, 1999, S. 930–942.

Monographien

  • Wolfgang Franz: Topologie I: Allgemeine Topologie (= Sammlung Göschen. Band 1181). Walter de Gruyter & Co., Berlin 1968, S. 132–135 (MR0264578).
  • Egbert Harzheim: Einführung in die kombinatorische Topologie. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X.
  • Michael Henle: A Combinatorial Introduction to Topology. überarbeitete Auflage. Dover Publications, New York 1994, ISBN 0-486-67966-7 (Erstausgabe: 1979).
  • Erich Ossa: Topologie. Eine anschauliche Einführung in die geometrischen und algebraischen Grundlagen. 2. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0874-5.
  • Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975.
  • Michael J. Todd: The computation of fixed points and applications (Lecture notes in economics and mathematical systems 124). Springer, Berlin 1976, ISBN 3-540-07685-9.

Einzelnachweise

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rreferences> [127] [126] [130] </references>


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Einzelnachweise und Fußnoten

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  1. Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. 2006, S. 34.
  2. P. S. Alexandroff: Einführung in die Mengenlehre und in die allgemeine Topologie. 1984, S. 121.
  3. Joseph Muscat: Functional Analysis. 2014, S. 68.
  4. Leszek Gasiński, Nikolaos S. Papageorgiou: Exercises in Analysis. Part 1. 2014, S. 8.
  5. Da Kompaktheit ein Spezialfall der Lindelöf-Eigenschaft ist, ergibt sich die zuvor genannte Aussage aus dieser Äquivalenz als Folgerung.
  6. Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. 1970, S. 261.
  7. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 2007, S. 235.
  8. Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. 1977, S. 129.
  9. Charles O. Christenson, William L. Voxman: Aspects of Topology. 1998, S. 420.
  10. a b Heine, op. cit., S. 72.
  11. a b c d G. J. O. Jameson: Topology and Normed Spaces. 1970, S. 159. Referenzfehler: Ungültiges <ref>-Tag. Der Name „GJOJ-001“ wurde mehrere Male mit einem unterschiedlichen Inhalt definiert.
  12. Camps/Kühling/Rosenberger, op. cit., S. 18.
  13. a b Lynn A. Steen, J. Arthur Seebach, Jr.,: Counterexamples in Topology. 1970, S. 7, S. 100–103.
  14. Heine, op. cit., S. 86.
  15. Heine, op. cit., S. 72.
  16. a b Jameson, op. cit., S. 158. Referenzfehler: Ungültiges <ref>-Tag. Der Name „GJOJ-002“ wurde mehrere Male mit einem unterschiedlichen Inhalt definiert.
  17. Stephen Willard: General Topology. 1970, S. 114.
  18. Als dichte Teilmenge im Bild dient einfach das Bild der dichten Teilmenge im Definitionsbereich.
  19. Führer, op. cit., S. 128.
  20. Dies folgt aus der oben genannten Äquivalenz, denn letztere überträgt sich offensichtlich auf die metrischen Unterräume.
  21. Steen/Seebach, op. cit., S. 162.
  22. Gasiński/Papageorgiou, op. cit., S. 226.
  23. a b c d Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 58. Referenzfehler: Ungültiges <ref>-Tag. Der Name „HS-001“ wurde mehrere Male mit einem unterschiedlichen Inhalt definiert.
  24. Willard, op. cit., S. 303.
  25. Alexandroff, op. cit., S. 120–121.
  26. Was jedoch offenbar nicht geschah.
  27. a b c Hans Jarchow: Locally Convex Spaces. 1981, S. 29
  28. Klaus Jänich: Topologie. 2005, S. 140 ff
  29. Väth: Topological Analysis. 2012, S. 96 ff.
  30. Väth, op. cit., S. 96
  31. a b Stephen Willard: General Topology. 1970, S. 146 Referenzfehler: Ungültiges <ref>-Tag. Der Name „SW-01“ wurde mehrere Male mit einem unterschiedlichen Inhalt definiert.
  32. James Dugundji: Topology. 1973, S. 174–175
  33. Väth, op. cit., S. 97–98
  34. W. W. Comfort: A short proof of Marczewski's separability theorem. Amer. Math. Monthly 76 , S. 1041 ff
  35. a b c J. Heine: Topologie und Funktionalanalysis. 2002, S. 157
  36. A. A. Gryzlov: On dense subsets of Tychonoff products., Topology Appl. 170, S. 86 ff
  37. K. A. Ross, A. H. Stone: Products of separable spaces., Amer. Math. Monthly 71 , S. 399
  38. Stephen Willard: General Topology. 1970, S. 224
  39. Thorsten Camps et al.: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. 2006, S. 112
  40. a b Willard, op. cit., S. 226
  41. a b Thorsten Camps et al., op. cit., S. 111
  42. a b Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 162 Referenzfehler: Ungültiges <ref>-Tag. Der Name „HS-1“ wurde mehrere Male mit einem unterschiedlichen Inhalt definiert.
  43. Otto Forster: Analysis 2. 2005, S. 34
  44. Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 128 ff
  45. Nicolas Bourbaki: General Topology. Part I 1966, S. 198 ff
  46. a b Schubert, op. cit., S. 129
  47. a b Bourbaki, op. cit., S. 201
  48. Das Nachbarschaftssystem dieser auf induzierten uniformen Struktur rührt her von der Inklusionsabbildung und besteht aus den Schnittmengen von mit den Nachbarschaften aus (Schubert, op. cit., S. 110).
  49. Camps et al., op. cit., S. 88
  50. Schubert, op. cit., S. 38
  51. P. Alexandroff, H. Hopf: Topologie. 1974, S. 50
  52. Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. 1975, S. 150
  53. Camps et al., op. cit., S. 98
  54. Führer, op. cit., S. 125
  55. B. v. Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 1979, S. 96
  56. a b Thorsten Camps et al.: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. 2006, S. 87
  57. a b c Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. 1977, S. 86
  58. P. Alexandroff, H. Hopf: Topologie. 1974, S. 48
  59. a b Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. 1975, S. 141–142
  60. Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 38
  61. Tatsächlich folgt aus (1) auch direkt der Kettensatz in seiner einfachen Version; vgl. Thorsten Camps et al., op. cit., S. 86–87.
  62. a b Alexandroff/Hopf, op. cit., S. 49
  63. Thorsten Camps et al., op. cit., S. 94
  64. Schubert, op. cit., S. 39
  65. K. D. Joshi: Introduction to General Topology. 1983, S. 145
  66. Ryszard Engelking: Theory of Dimensions Finite and Infinite. 1995, S. 62
  67. Engelking et al.: Topology: A Geometric Approach. 1992, S. 317
  68. In dem Lehrbuch von Camps/Kühling/Rosenberger (S. 57 & 519) ist im Zusammenhang mit diesem Lehrsatz auch die Rede von ein[em] Fortsetzungssatz.
  69. a b Fred H. Croom: Principles of Topology. 1989, S. 151
  70. a b I. M. Singer, J. A. Thorpe: Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. 1976, S. 51
  71. a b c d e Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. 1977, S. 43 Referenzfehler: Ungültiges <ref>-Tag. Der Name „LF-I“ wurde mehrere Male mit einem unterschiedlichen Inhalt definiert.
  72. Thorsten Camps et al.: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. 2006, S. 57
  73. In der Fachliteratur - so etwa bei Camps/Kühling/Rosenberger wie auch bei Croom und bei Singer/Thorpe - wird häufig allein der Fall von Überdeckungen mit zwei Teilmengen betrachtet.
  74. Hier ist stets Stetigkeit in Bezug auf die induzierte Unterraumtopologie gemeint.
  75. Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 27–28
  76. a b c Leonard M. Blumenthal: Theory and Applications of Distance Geometry. 1953, S. 32 ff, S. 41
  77. a b Kazimierz Goebel, W. A. Kirk: Topics in Metric Fixed Point Theory. 1990, S. 23–26
  78. a b Willi Rinow: Die innere Geometrie der metrischen Räume. 1961, S. 146ff, S. 148
  79. J. van Mill: The Infinite-dimensional Topology of Function Spaces. 2002, S. 55
  80. Ákos Császár: General Topology. 1978, S. 428
  81. Der Name "Moore" verweist auf Robert Lee Moore, der in einer Arbeit aus dem Jahr 1916 schon derartige Verbindbarkeitsfragen behandelt hat. Siehe hierzu auch die Monographie Allgemeine Topologie mit Anwendungen. von Lutz Führer (Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, S. 153 ff)!
  82. Vgl. Artikel "William Arthur Kirk" (englischsprachige Wikipedia)!
  83. Goebel et al., op. cit., S. 9,13,24–25
  84. In der anglo-amerikanischen Fachliteratur wird der Satz auch Caristi fixed-point theorem genannt. Vgl. Artikel "Caristi fixed-point theorem" (englischsprachige Wikipedia)!
  85. Goebel et al., op. cit., S. 13
  86. a b Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 97
  87. a b c Stephen Willard: General Topology. 1970, S. 166
  88. Dieses Resultat geht laut Lutz Führer auf Paul Alexandroff zurück.
  89. ist also ein topologischer Raum, in dem je zwei beliebige disjunkte abgeschlossene Mengen durch disjunkte offene Umgebungen getrennt werden.
  90. Man sagt in Bezug auf die letztgenannte Voraussetzung, dass die Ungleichung punktweise oder elementweise bestehe.
  91. Diese allgemeine Fassung des Fortsetzungssatzes nennt man auch den Satz von Tietze-Urysohn.
  92. Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 76–83
  93. Stephen Willard: General Topology. 1978, S. 155
  94. a b Gregory Naber: Set-theoretic Topology. 1978, S. 184
  95. Willard, op. cit., S. 147
  96. a b Clifford Hugh Dowker: On countably paracompact spaces. In: Canadian J. Math. 3, S. 219–224
  97. Willard, op. cit., S. 157
  98. Naber, op. cit., S. 185
  99. a b c Paul J. Szeptycki: Small Dowker spaces. In: Elliott Pearl (Hrsg.): Open Problems in Topology II., S. 233–239 ([1])
  100. Karol Borsuk: Sur les prolongements des transformations continues. In: Fund. Math. 28, S. 203
  101. Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie. 1978, S. 199
  102. Kiiti Morita: On generalizations of Borsuk's homotopy extension theorem. In: Fund. Math. 88, S. 1–6
  103. Michael Starbird: The Borsuk homotopy extension theorem without the binormality condition. In: Fund. Math. 87, S. 207–211
  104. a b c Harzheim, S. 64
  105. a b Willard, op. cit., S. 158
  106. Naber, op. cit., S. 207-227
  107. Jun-iti Nagata: Modern General Topology. 1985, S. 214
  108. a b c Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 158-160
  109. Zoretti: In: Ann. E. N. S. Band 26, S. 485 ff.
  110. Rinow: S. 155–159.
  111. Harzheim: S. 224.
  112. Hausdorff: S. 152.
  113. Neumark: S. 61.
  114. Willard: S. 182.
  115. Dugundji: An extension of Tietze’s theorem. 1951, S. 353–367, hier S. 353 ff.
  116. Bessaga, Pełczyński: Selected Topics in Infinite-dimensional Topology. 1975, S. 57 ff.
  117. Granas, Dugundji: Fixed Point Theory. 2003, S. 163–164.
  118. Mayer: Algebraische Topologie. 1989, S. 56.
  119. Dugundji: An extension of Tietze’s theorem. 1951, S. 353–367, hier S. 357.
  120. Borsuk: Theory of Retracts. 1967, S. 77–78.
  121. Mayer: Algebraische Topologie. 1989, S. 54, 56
  122. Dugundji: Topology. 1973, S. 189.
  123. Schubert: Topologie. 1975, S. 83.
  124. Mayer: Algebraische Topologie. 1989, S. 56.
  125. Henle, S. 36 ff.
  126. a b c Sperner: Neuer Beweis für die Invarianz der Dimensionszahl und des Gebietes. In: Abh. Math. Sem. Hamburg. Nr. 6, 1928, S. 265 ff.
  127. a b Knaster, Kuratowski, Mazurkiewicz: Ein Beweis des Fixpunktsatzes für n-dimensionale Simplexe. In: Fund. Math. Nr. 14, 1929, S. 132 ff.
  128. Dargestellt in Aigner, Ziegler, Das Buch der Beweise, Kapitel 25.
  129. Todd, S. 1 ff.
  130. a b Su: Rental Harmony: Sperner’s Lemma in Fair Division. In: Amer. Math. Monthly. Nr. 106, 1999, S. 930 ff.
  131. Harzheim, S. 56 ff.
  132. Rinow, S. 341 ff.
  133. Franz, S. 132 ff.
  134. Harzheim, S. 26 ff
  135. Ossa, S. 7 ff.
  136. Rinow, S. 298 ff.
  137. Harzheim, S. 29
  138. Harzheim, S. 33 ff
  139. In den meisten Quellen, vgl. etwa Harzheim, S. 34, wird die Endlichkeit des Komplexes grundsätzlich vorausgesetzt.
  140. Harzheim, S. 37.
  141. Harzheim, S. 30.
  142. a b Harzheim, S. 37.
  143. Henle, S. 38.
  144. a b Harzheim, S. 57.