Benutzer:Peter in s/Formelsamlung

Die Formelsammlung zur euklidischen Geometrie ist ein Teil der Formelsammlung, in der auch Formeln der anderen Fachbereiche zu finden sind.

Bezeichner und Schreibweisen

In den allermeisten Fällen gilt:

1. Punkte werden mit lateinischen Großbuchstaben $(A,B,C,\ldots )$ beschriftet.
2. Linien wie Geraden, Strecken und Bögen werden mit lateinischen Kleinbuchstaben $(a,b,c,\ldots )$ beschriftet.
3. Winkel werden mit griechischen Kleinbuchstaben $(\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots )$ beschriftet.

Im Folgenden werden Winkel im Gradmaß angegeben.

Geometrie in der Ebene

Grundlagen

Winkel

Nebenwinkel Die Summe von Nebenwinkeln beträgt immer 180°. α + β = 180°
Scheitelwinkel Scheitelwinkel sind immer gleich groß. α = β
Stufenwinkel Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind immer gleich groß.
Wechselwinkel Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind immer gleich groß.
Außenwinkel Im Dreieck ist ein Außenwinkel gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.
Winkelsummen Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck ist immer 180° Die Summe der Innenwinkel in einem $n$-Eck ist immer $(n-2)\cdot 180^{\circ }$ Die Summe der Außenwinkel beträgt in einem konvexen $n$-Eck stets 360° (unabhängig von der Eckenzahl $n$)

Teilung einer Strecke

Verhältnisteilung: Um eine Strecke $AB$ in einem bestimmten Verhältnis (in $n$ gleiche Teile) zu teilen, zeichnet man zunächst einen beliebigen Strahl von $A$ aus, der nicht parallel zu $AB$ ist. Auf diesem trage man $n$ mal eine beliebig lange Strecke ab. Den erhaltenen Endpunkt $C$ verbinde man mit $B$ und zeichne die Parallelen zu $BC$ durch die bei der Unterteilung von $AC$ entstandenen Punkte. Deren Schnittpunkte mit $AB$ teilen $AB$ in $n$ gleiche Teile.

Flächen und Umfänge

Ein Dreieck mit Standardbezeichnung

Die Standardbezeichnung für Dreiecke:

Eckpunkte

$A,B$ und $C$. Die Ecke $C$ ist beim gleichschenkligen Dreieck der Treffpunkt der gleichen Seiten und beim rechtwinkligen Dreieck der Scheitel des rechten Winkels.

Seiten

$a$ ist die der Ecke $A$ gegenüberliegende Seite, entsprechendes gilt für $b$ und $c$. Beim gleichseitigen Dreieck werden alle Seiten mit $a$ bezeichnet.

Winkel

$\alpha$ ist der (Innen-)Winkel in Ecke $A$, $\beta$ der Winkel in Ecke $B$ und $\gamma$ der Winkel in Ecke $C$.

Figur	Flächeninhalt A	Umfang U	Bemerkung, Weiteres
Dreieck
Allgemeines Dreieck	${\frac {1}{2}}gh={\frac {1}{2}}bc\sin(\alpha )$ $={\frac {abc}{4R}}=k\cdot r$ $={\sqrt {k(k-a)(k-b)(k-c)}}$	$a+b+c$	Letztere Flächenformel wird als Satz des Heron bezeichnet. $k$ ist der halbe Umfang, $R$ der Umkreisradius und $r$ der Inkreisradius.
Gleichseitiges Dreieck	${\frac {1}{4}}a^{2}{\sqrt {3}}$	$3\cdot a$	Alle Seiten sind gleich lang. Alle Winkel sind gleich groß (60°). Höhenlinien = Symmetrieachsen = Winkelhalbierende = Seitenhalbierende= Mittennormale
Gleichschenkliges Dreieck	${\frac {1}{2}}c{\sqrt {a^{2}-{\frac {1}{4}}c^{2}}}$	$2a+c$	Zwei Seiten sind gleich lang (Schenkel $a$ und $b$); die dritte Seite heißt Basis $c$ Die beiden Basiswinkel ($\alpha$ und $\beta$) sind gleich groß. Die Höhenlinie durch $C$ halbiert den Winkel $\gamma$ und die Basis $c$.
Rechtwinkliges Dreieck	${\frac {1}{2}}ab$	$a+b+c$	$\gamma =\alpha +\beta =90^{\circ }$. Hypotenuse = längste Seite = Seite gegenüber dem 90°-Winkel. Katheten = Seiten, die den rechten Winkel bilden. Es gilt die Satzgruppe des Pythagoras (s.u.)
Viereck
Quadrat	$a^{2}$	$4\cdot a$	Diagonale $d=a\cdot {\sqrt {2}}$
Rechteck	$a\cdot b$	$2\cdot (a+b)$	Diagonale $d={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$
Raute (Rhombus)	${\frac {1}{2}}ef=a^{2}\cdot \sin(\beta )$	$4\cdot a$	$e,f$ = Diagonalen, $\beta$ = Schnittwinkel der Diagonalen.
Parallelogramm	$a\cdot h_{a}$	$2\cdot (a+b)$	$h_{a}$ ist die Höhe zur Seite a.
Trapez	$m\cdot h={\frac {1}{2}}(a+c)\cdot h$	$a+b+c+d$	$a,c$ = parallele Seiten, $m={\tfrac {1}{2}}(a+c)$ = Mittellinie
symmetrischer Drachen (Deltoid)	${\frac {1}{2}}ef$	$2\cdot (a+b)$	$e,f$ = Diagonalen.
Sehnenviereck	${\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$ $={\frac {e\cdot (ab+cd)}{4R}}={\frac {f\cdot (ad+bc)}{4R}}$	$a+b+c+d$	Viereck mit Umkreis, $R$ Umkreisradius $={\frac {1}{4A}}{\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}$, $s$ halber Umfang; $e,f$ Diagonalen: $e={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}$, $f={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}}$
Tangentenviereck	$r\cdot (a+c)=r\cdot (b+d)$	$a+b+c+d$	Viereck mit Inkreis mit Inkreisradius $r$. Es gilt $a+c=b+d$
Polygone
Regelmäßiges Polygon	${\frac {n\cdot r_{\mathrm {u} }^{2}\cdot \sin {\frac {360^{\circ }}{n}}}{2}}$ $=n\cdot r_{\mathrm {i} }^{2}\cdot \tan {\frac {180^{\circ }}{n}}$ $={\frac {n\cdot l_{\mathrm {k} }^{2}\cdot \cot {\frac {180^{\circ }}{n}}}{4}}$	$2\cdot n\cdot r_{\mathrm {u} }\cdot \sin {\frac {180^{\circ }}{n}}$ $=2\cdot n\cdot r_{\mathrm {i} }\cdot \tan {\frac {180^{\circ }}{n}}$ $=n\cdot l_{\mathrm {k} }$	$n$ – Anzahl der Ecken $r_{u}$ – Radius des Umkreises, d. h. Entfernung vom Mittelpunkt zu einer Ecke $r_{i}$ – Radius des Inkreises, d. h. Entfernung vom Mittelpunkt zu einer Seitenmitte $l_{k}$ – Kantenlänge einer Seite des Polygons
Kreis
Kreis	$\pi \cdot r^{2}={1 \over 4}\cdot \pi \cdot d^{2}$	$2\cdot \pi \cdot r=\pi \cdot d$	Es bezeichnet $\pi =3{,}14159\ldots$ die Kreiszahl.
Kreisring	$\pi \cdot (R^{2}-r^{2})$	$2\cdot \pi \cdot (R+r)$	$R$ = Außenradius, $r$ = Innenradius
Kreisausschnitt	$\pi \cdot r^{2}\cdot {\alpha \over 360^{\circ }}={\frac {1}{2}}r^{2}\cdot \varphi$ $={\frac {1}{2}}\cdot b\cdot r$	$\pi \cdot r\cdot {\alpha \over 180^{\circ }}+2r=r(\varphi +2)$	b = $\pi \cdot r\cdot {\alpha \over 180^{\circ }}=r\cdot \varphi ;\quad \varphi =\alpha \cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}$ (Winkel im Bogenmaß)
Kreisabschnitt (Segment)	${\frac {1}{2}}r^{2}\cdot (\varphi -\sin \varphi )$	$r\cdot \left(2+{\sqrt {2-2\cos(\varphi )}}\right)$	$\varphi =\alpha \cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}$ (Winkel im Bogenmaß)
Kegelschnitte
Ellipse	$\pi ab$ $={\frac {1}{4}}\pi \cdot D\cdot d$	$4a\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}(\sin t)^{2}}}\ \mathrm {d} t=4a\;E(\varepsilon )$	Menge der Punkte, für die die Summe der beiden Abstände zu zwei gegebenen Punkten (Brennpunkten) konstant ($2a$) ist. Der Umfang lässt sich nicht mit elementaren Funktionen angeben (→ Elliptisches Integral). D,d großer und kleiner Durchmesser. Kartesische Koordinaten: ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$
Hyperbel	Keine geschlossene Fläche	Keine geschlossene Kurve	Menge aller Punkte, für die die absolute Differenz der Abstände zu den Brennpunkten konstant 2a ist. Kartesische Koordinaten: ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$
Parabel	Keine geschlossene Fläche	Keine geschlossene Kurve	Menge aller Punkte, deren Abstand zu einem speziellen festen Punkt (dem Brennpunkt) und einer speziellen Geraden (der Leitgeraden l) konstant ist. Kartesische Koordinaten: $y^{2}=2px\,$.

Dreiecksgeometrie

Ausgezeichnete Punkte

Seitenhalbierende und Schwerpunkt

• Seitenhalbierende (Schwerlinien)
  • teilen einander im Verhältnis 2:1.
  • schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt S des Dreiecks.
  • teilen die Dreiecksfläche in je zwei gleich große Teilflächen.

• Schnittpunkt der Mittelsenkrechten (Mittennormalen) = Mittelpunkt des Umkreises.

Winkelhalbierende und Inkreis

• Schnittpunkt der Winkelhalbierenden = Mittelpunkt des Inkreises.

Höhen

• Höhenlinien
  • schneiden einander in einem Punkt H, dem Höhenschnittpunkt des Dreiecks.
  • Die Höhe h_c ist der Normalabstand des Punktes C zur Seite c (rechter Winkel bei D).

Satzgruppe des Pythagoras

• Satz des Pythagoras

  Im rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den Katheten:

  $a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$

• Kathetensatz

  Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete flächengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und der Projektion dieser Kathete auf die Hypotenuse (für diese Formel zur unteren Skizze ist a links oben und b rechts oben):

  $a^{2}=p\cdot c,\ b^{2}=q\cdot c$

• Höhensatz

  Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe auf der Hypotenuse flächengleich mit dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten.

  $h^{2}=q\cdot p$

  

Dreiecksungleichung

Die Summe zweier Seiten eines Dreiecks ist stets größer als die dritte Seite.

Kongruenz- und Ähnlichkeitssätze

Zwei Dreiecke sind kongruent bzw. deckungsgleich, wenn sie übereinstimmen in

1. drei Seiten z. B. a, b, c = n (sss)
2. zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws)
3. zwei Seiten und dem Gegenwinkel der längeren Seite (Ssw)
4. einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln (wsw)

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn

1. drei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhältnis haben
2. zwei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhältnis haben und die von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen
3. zwei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben und die Gegenwinkel der längeren Seiten übereinstimmen
4. zwei Winkel übereinstimmen

Strahlensätze

1. Strahlensatz: Wird ein Zweistrahl durch zwei parallele Geraden geschnitten, so stehen die Strahlenabschnitte des ersten Strahles im gleichen Verhältnis wie die entsprechenden Abschnitte des zweiten Strahles.
2. Strahlensatz: Wird ein Zweistrahl durch zwei parallele Geraden geschnitten, so stehen die Parallelabschnitte im gleichen Verhältnis, wie die vom Scheitelpunkt aus gemessenen zugehörigen Strahlenabschnitte.

Geometrie der Körper

Körper	Volumen V	Oberfläche O	Bemerkungen, Weiteres
Prismen
Parallelepiped (Spat)	$G\cdot h$	$2\cdot (ah_{a}+bh_{b}+ch_{c})$
Quader	$a\cdot b\cdot c$	$2\cdot (ab+ac+bc)$	Raumdiagonalenlänge $={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$
Allgemeines Prisma	$A_{G}\cdot h$	$2A_{G}+A_{M}\,$	$A_{M}$ Mantelfläche
Säulen
Rundsäule (Zylinder)	$\pi \cdot r^{2}\cdot h$	$2\pi r\cdot (r+h)$
Hohlzylinder	$\pi R^{2}h-\pi r^{2}h=\,$ $\pi h(R+r)(R-r)\,$	$2\pi ((R+r)h+R^{2}-r^{2})\,$	$R,r$ Außen-,Innenradius $M_{\text{aussen}}=2\pi Rh$ $M_{\text{innen}}=2\pi rh$
Pyramide
Allgemeine Pyramide	${\frac {1}{3}}A_{G}h$	$A_{G}+A_{M}\,$
Pyramidenstumpf	${\frac {1}{3}}h\left(A_{G}+{\sqrt {A_{G}A_{D}}}+A_{D}\right)$	$A_{G}+A_{D}+A_{M}\,$	$A_{G}$ Grundfläche $A_{D}$ Deckfläche
Kegel
Kreiskegel	${\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot h$	nur für senkrechte Kegel: $r\cdot \pi \cdot (r+s)$	Zusammenhang von Radius, Höhe und Seitenhöhe: $s^{2}=r^{2}+h^{2}\,$
gerader Kegelstumpf	${\frac {1}{3}}\pi h(r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2})$	$A_{G}+A_{D}+A_{M}\,$ $=\pi r_{2}^{2}+\pi r_{1}^{2}+\pi s(r_{1}+r_{2})$	$s=\mathrm {Mantellinie} ={\sqrt {(r_{2}-r_{1})^{2}+h^{2}}}$ $r_{1},r_{2}$ Radien
Platonische Körper
Tetraeder	${\frac {1}{12}}a^{3}{\sqrt {2}}$	$a^{2}{\sqrt {3}}$
Hexaeder (Würfel)	$a^{3}\,$	$6\cdot a^{2}$	Raumdiagonalenlänge $=a{\sqrt {3}}$
Oktaeder	${\frac {1}{3}}a^{3}{\sqrt {2}}$	$2a^{2}{\sqrt {3}}$
Dodekaeder	${\frac {1}{4}}a^{3}(15+7{\sqrt {5}})$	$3a^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}$
Ikosaeder	${\frac {5}{12}}a^{3}(3+{\sqrt {5}})$	$5a^{2}{\sqrt {3}}$
Kugel und Kugelteile
Kugel	${4 \over 3}\cdot \pi \cdot r^{3}={1 \over 6}\cdot \pi \cdot d^{3}$	$4\cdot \pi \cdot r^{2}=\pi \cdot d^{2}$
Kugelkalotte (Kugelmütze, Kugelkappe)		$2\cdot r\cdot \pi \cdot h$
Kugelsegment (Kugelabschnitt)	${h^{2}\cdot \pi \over 3}\cdot (3r-h)$	$2\cdot r\cdot \pi \cdot h+\rho ^{2}\pi$	mit $\rho ^{2}=h\cdot (2r-h)$
Kugelzone (Kugelschicht)	${\frac {1}{6}}\pi \cdot h(3\cdot a^{2}+3\cdot b^{2}+h^{2})$	$\pi \cdot (2\cdot r\cdot h+a^{2}+b^{2})$	mit $2\cdot a$ = Durchmesser des unteren Schnittkreises und $2\cdot b$ = Durchmesser des oberen Schnittkreises
Drehkörper
Ellipsoid	${\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot a\cdot b\cdot c\,$		Halbachsen a,b,c
Torus	$2\pi ^{2}\cdot R\cdot r^{2}$	$4\pi ^{2}\cdot R\cdot r$

siehe auch: Eulerscher Polyedersatz, Prinzip von Cavalieri

Trigonometrie

siehe: Trigonometrie, Formelsammlung Trigonometrie

Analytische Geometrie

siehe Analytische Geometrie, Formelsammlung Analytische Geometrie

Einheiten

SI-Einheiten

Basisgröße und Dimensionsname	Größen- symbol	Dimensions- symbol	Einheit	Einheiten- zeichen	Definition der Einheit
Länge	l	L	Meter	m	Länge der Strecke, die das Licht im Vakuum während der Dauer von 1 / 299 792 458 Sekunde zurücklegt.
Masse	m	M	Kilogramm	kg	Das Kilogramm ist gleich der Masse des Internationalen Kilogrammprototyps.
Zeit	t	T	Sekunde	s	Das 9 192 631 770-fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Caesium-Isotops 133Cs entsprechenden Strahlung.
Stromstärke	I	I	Ampere	A	Stärke eines konstanten elektrischen Stromes, der, durch zwei parallele, geradlinige, unendlich lange und im Vakuum im Abstand von 1 Meter voneinander angeordnete Leiter von vernachlässigbar kleinem, kreisförmigem Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern pro Meter Leiterlänge die Kraft 2·10−7 Newton hervorrufen würde.
Thermodynamische Temperatur	T	Θ	Kelvin	K	1 / 273,16 der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunkts von Wasser genau definierter isotopischer Zusammensetzung.
Stoffmenge (Substanzmenge)	n	N	Mol	mol	Die Stoffmenge eines Systems, das aus ebenso vielen Einzelteilchen besteht, wie Atome in 12 Gramm des Kohlenstoff-Isotops 12C in ungebundenem Zustand enthalten sind. Bei Benutzung des Mol müssen die Einzelteilchen spezifiziert sein und können Atome, Moleküle, Ionen, Elektronen sowie andere Teilchen oder Gruppen solcher Teilchen genau angegebener Zusammensetzung sein.
Lichtstärke	IV	J	Candela	cd	Die Lichtstärke in einer bestimmten Richtung einer Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung der Frequenz 540·1012 Hz aussendet und deren Strahlstärke in dieser Richtung 1 / 683 Watt pro Steradiant beträgt.

Man kann erkennen, dass nur die drei Basiseinheiten Kilogramm, Sekunde und Kelvin unabhängig von anderen Basiseinheiten definiert sind, während die Definitionen der übrigen vier Basiseinheiten Abhängigkeiten von anderen Basiseinheiten aufweisen:

• Meter von Sekunde
• Mol von Kilogramm
• Ampere sowie Candela von Meter, Kilogramm und Sekunde

Des Weiteren fällt auf, dass nur die Einheit Kilogramm anhand eines Prototyps definiert wird. Alle anderen Einheiten werden über unveränderliche Naturkonstanten festgelegt, was aber nicht schon immer der Fall war. So gab es bis 1960 beispielsweise ein Urmeter als Prototyp für die Einheit Meter. Da sich die Masse des Urkilogramms aber theoretisch ändern könnte (und dies wahrscheinlich sogar tut) arbeitet man daran, auch die Einheit Kilogramm eindeutig zu definieren (siehe auch Neudefinition des Kilogramms).

Abgeleitete SI-Einheiten mit besonderem Namen

22 kohärenten abgeleiteten SI-Einheiten wurden eigene Namen und Einheitenzeichen (Symbole) zugeordnet, die selbst wieder mit allen Basis- und abgeleiteten Einheiten kombiniert werden können. So eignet sich zum Beispiel die SI-Einheit der Kraft, das Newton (= kg·m/s²), um die Einheit der Energie, das Joule als Newton mal Meter (N·m) auszudrücken. Die folgende Tabelle listet diese 22 Einheiten in derselben Reihenfolge wie Tabelle 3 der SI-Broschüre (8. Auflage).

Größe	Einheit	Einheiten- zeichen	in anderen SI-Einheiten ausgedrückt	in SI-Basiseinheiten ausgedrückt
ebener Winkel	Radiant	rad	m/m	1
Raumwinkel	Steradiant	sr	m2/m2	1
Frequenz	Hertz	Hz		s−1
Kraft	Newton	N	J/m	m·kg·s−2
Druck	Pascal	Pa	N/m2	m−1·kg·s−2
Energie, Arbeit, Wärmemenge	Joule	J	N·m; Ws	m2·kg·s−2
Leistung	Watt	W	J/s; VA	m2·kg·s−3
elektrische Ladung	Coulomb	C		A·s
elektrische Spannung (elektrische Potentialdifferenz)	Volt	V	W/A; J/C	m2·kg·s−3·A−1
elektrische Kapazität	Farad	F	C/V	m−2·kg−1·s4·A2
elektrischer Widerstand	Ohm	Ω	V/A	m2·kg·s−3·A−2
elektrischer Leitwert	Siemens	S	1/Ω	m−2·kg−1·s3·A2
magnetischer Fluss	Weber	Wb	V·s	m2·kg·s−2·A−1
magnetische Flussdichte, Induktion	Tesla	T	Wb/m2	kg·s−2·A−1
Induktivität	Henry	H	Wb/A	m2·kg·s−2·A−2
Celsius-Temperatur	Grad Celsius	°C		K
Lichtstrom	Lumen	lm	cd·sr	cd
Beleuchtungsstärke	Lux	lx	lm/m2	m−2·cd
Radioaktivität	Becquerel	Bq		s−1
Energiedosis	Gray	Gy	J/kg	m2·s−2
Äquivalentdosis	Sievert	Sv	J/kg	m2·s−2
katalytische Aktivität	Katal	kat		s−1·mol